波函数[稻谷书苑]

1、第二章第二章 波函数波函数 和和 Schrodinger Schrodinger 方程方程 1 1 波函数的统计解释波函数的统计解释 2 2 态叠加原理态叠加原理 3 3 力学量的平均值和算符的引进力学量的平均值和算符的引进 4 Schrodinger 4 Schrodinger 方程方程 5 5 粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律 6 6 定态定态SchrodingerSchrodinger方程方程 1教育教学 1 1 波函数的统计解释波函数的统计解释 （一）波函数（一）波函数 （二）波函数的（二）波函数的解释解释 （三）波函数的性质三）波函数的性质 2教育教学 )(exp

2、Etrp i A 3 3个问题？个问题？ 描写自由粒子的描写自由粒子的 平平 面面 波波 ),(tr 如果粒子处于如果粒子处于随时间和位置变化的力场随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和能中运动，他的动量和能 量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波 描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为： 描写粒子状态的描写粒子状态的 波函数，它通常波函数，它通常 是一个是一个复函数复函数。 称为称为 dedeBroglie Broglie 波。此式称为自由粒子的波函数。波。此式称为自由粒子的波函数

3、。 (1) (1) 是怎样描述粒子的状态呢？是怎样描述粒子的状态呢？ (2) (2) 如何体现波粒二象性的？如何体现波粒二象性的？ (3) (3) 描写的是什么样的波呢？描写的是什么样的波呢？ （一）波函数（一）波函数 3教育教学 电子源电子源 感感 光光 屏屏 （1 1）两种错误的看法）两种错误的看法 1. 1. 波由粒子组成波由粒子组成 如如水波，声波水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布由分子密度疏密变化而形成的一种分布。 这种看法是与实验矛盾的，它这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验不能解释长时间单个电子衍射实验。 电子电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够

4、长，底片上增加呈一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈 现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在 一起时才有的现象，一起时才有的现象，单个电子就具有波动性单个电子就具有波动性。 波波由粒子组成的看法由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了夸大了粒子性的一面，而抹杀了 粒子的波动性的一面，具有片面性。粒子的波动性的一面，具有片面性。 P P O QQ O 事实上事实上，正是由于单个电子具有波动性，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子才能理解氢原子（只（只 含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子

5、化这样一些量含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量 子现象。子现象。 4教育教学 2. 2. 粒子由波组成粒子由波组成 l电子是波包电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连 续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的 大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。 l什么是波包？什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。波包是各种波数（长）平面波的迭加。 平面波描写自由粒子，其

6、特点是充满整个空间，这是因为平面波平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波 振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间， 这是没有意义的，这是没有意义的，与实验事实相矛盾。与实验事实相矛盾。 l实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内， 其广延不会超过原子大小其广延不会超过原子大小1 1 。 l电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ “ 电子既不是粒电子既不是粒 子也不是波子也不是波

7、”，既不是经典的粒子也不是经典的波，既不是经典的粒子也不是经典的波，但是我们但是我们 也可以说，也可以说，“ 电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统 一一。” 这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。 5教育教学 经典概念中经典概念中 1.1.有一定质量、电荷等有一定质量、电荷等“颗粒性颗粒性”的属性的属性; ; 粒子意味着粒子意味着 2 2有确定的运动轨道，每一时刻有一定有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。位置和速度。 经典概念中经典概念中 1.1.实在的物

8、理量的空间分布作周期性的变化实在的物理量的空间分布作周期性的变化; ; 波意味着波意味着 2 2干涉、衍射现象，即相干叠加性。干涉、衍射现象，即相干叠加性。 1.1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样; ; 电子源电子源 感感 光光 屏屏 QQ O P P 我们再看一下电子的衍射实验我们再看一下电子的衍射实验 2.2. 入射电子流强度大，很快显示衍射图样入射电子流强度大，很快显示衍射图样. . 6教育教学 l结论：结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是：衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的

9、统计结果，或者是一个许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个 电子在许多次相同实验中的统计结果。电子在许多次相同实验中的统计结果。 l波函数波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基 础上，础上，Born Born 提出了波函数意义的统计解释。提出了波函数意义的统计解释。 r r 点附近衍射花样的点附近衍射花样的强度强度 正比于该点附近感光点的数目，正比于该点附近感光点的数目， 正比于该点附近出现的电子数目，正比于该点附近出现的电子数目， 正比于电子出现在正比于电子出现在 r r 点附近的几率。点附近的几率。 在电子衍射实验中，在电子衍射实验

10、中，照相底片上照相底片上 7教育教学 据此，据此，描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运 动的一动的一 种统计规律性，波函数种统计规律性，波函数 (r) (r)有时也称为几率幅。有时也称为几率幅。 这就是首先由这就是首先由 BornBorn 提出的提出的波函数的几率解释波函数的几率解释，它是，它是量子量子 力学力学的基本原理的基本原理。 假设衍射波波幅用假设衍射波波幅用 (r) (r) 描述，与光学相似，描述，与光学相似， 衍射花纹的强度则用衍射花纹的强度则用 | (r)| (r)|2 2 描述，但意义与经典波不同。描述，但意义与经典波不同。

11、| | (r)| (r)|2 2 的意义是代表电子出现在的意义是代表电子出现在 r r 点附近几率的点附近几率的大小，大小， 确切确切的说，的说， | (r)| (r)|2 2 xx yy zz 表示在表示在 r r 点处，体积元点处，体积元xx yy zz中中找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅 绝对值绝对值 的平方）和在这点找到粒子的几率成比例，的平方）和在这点找到粒子的几率成比例， 8教育教学 （三）波函数的性质（三）波函数的性质 在在 t t 时刻，时刻， r r 点，点，d = d = dxdx dydy dzdz 体积内，找到由波

12、函数体积内，找到由波函数 ( (r,tr,t) ) 描写描写的粒子的几率是：的粒子的几率是： d W( r, t) = C| (d W( r, t) = C| (r,tr,t)|)|2 2 dd，其中其中C C是比例系数。是比例系数。 根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质： （1 1）几率和几率密度）几率和几率密度 在在 t t 时刻时刻 r r 点，单位体积内找到粒子的几率是点，单位体积内找到粒子的几率是： ( r, t ) ( r, t ) = = dWdW(r, t )/ (r, t )/ dd = = C C | (| (r,tr,t)

13、|)|2 2 称为称为几率密度。几率密度。 在体积在体积 V V 内，内，t t 时刻时刻找到粒子的几率为：找到粒子的几率为： W(t) = W(t) = V V dWdW = = V V( r, t ) ( r, t ) dd= C= CV V | ( | (r,tr,t)|)|2 2 dd 9教育教学 （2 2）平方可积平方可积 由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况），由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况）， 所以在全空间找到粒子的几率应为一，即：所以在全空间找到粒子的几率应为一，即： CC | (r , t)| | (r , t)|2 2 dd= 1= 1, ,

14、从而得常数从而得常数 C C 之值为：之值为： C = 1/ C = 1/ | (r , t)| | (r , t)|2 2 dd 这即是要求描写粒子量子这即是要求描写粒子量子 状态的波函数状态的波函数 必须是绝必须是绝 对值平方可积的函数。对值平方可积的函数。 若若 | (r , t)| | (r , t)|2 2 dd , 则则 C C 0 0, , 这是没有意义的。这是没有意义的。 )(exp),(Etrp i Atr 注意：自由粒子波函数注意：自由粒子波函数 不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归一化问题，以后再予以讨论。不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归一化问题，以后再予以讨

15、论。 10教育教学 （3 3）归一化波函数）归一化波函数 这这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的 2 2 倍），则相应的波倍），则相应的波 动能量将为原来的动能量将为原来的 4 4 倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一 化问题。化问题。 (r , t ) (r , t ) 和和 C (r , t ) C (r , t ) 所描写状态的相对几率是相同的，这里的所描写状态的相对几率是相同的，这里的 C C 是常数。是常数。 因为在因为在 t t 时刻，空间任意两点时刻，空间任意两点 r r1 1 和

16、和 r r2 2 处找到粒 处找到粒 子的相对几率之比是：子的相对几率之比是： 由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率 只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大 小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即 (r, t) (r, t) 和和 C (r, t) C (r, t) 描述同一状态描述同一状态 2 2 1 2 2 1 ),( ),( ),( ),(

17、 tr tr trC trC 可见，可见， (r , t ) (r , t ) 和和 C (r , t ) C (r , t ) 描述的是同一几率波，描述的是同一几率波， 所以波函数有一常数因子不定性。所以波函数有一常数因子不定性。 11教育教学 归一化常数 若若 (r , t ) (r , t ) 没有归一化，没有归一化， | (r , t )| | (r , t )|2 2 dd= A = A （A A 是大于零的常数），则有是大于零的常数），则有 | |(A) (A)-1/2 -1/2 (r , t ) (r , t )| |2 2 dd= 1 = 1 也就是说，也就是说，(A)(A)-

18、1/2 -1/2 (r , t ) (r , t )是归一化的波函数是归一化的波函数，与，与 (r , t ) (r , t )描写同一几描写同一几 率率波波， ( (A)A)-1/2 -1/2 称为归一化因子 称为归一化因子。 注意：对归一化波函数仍有一个注意：对归一化波函数仍有一个模为一的因子不定性模为一的因子不定性。若。若 (r , t ) (r , t )是是归一归一 化波函数化波函数，那，那末末expexpii (r , t )(r , t ) 也是归一化波函数（其中也是归一化波函数（其中是实数是实数），）， 与与前者描述同一几率波。前者描述同一几率波。 12教育教学 （4 4）平面

19、波归一化）平面波归一化 I Dirac 函数函数 定义：定义： 0 0 0 0 )( xx xx xx )0(1)()( 00 0 0 dxxxdxxx x x 或等价的表示为：对在或等价的表示为：对在x=xx=x0 0 邻域邻域 连续的任何函数连续的任何函数 f f（x x）有：）有： )()()( 00 xfdxxxxf 函数函数 亦可写成亦可写成 Fourier Fourier 积分形式：积分形式： )( 0 0 2 1 )( xxik edkxx 令令 k=pk=px x/ / , dk= dp, dk= dpx x/ / , , 则则 x xxp i dpexx x )( 0 0 2

20、 1 )( 性质：性质： )()()()( 000 xxxfxxxf )( | 1 )(x a ax )()(xx 0 x0 x )( 0 xx dxepp xpxp xpp i xx xx xx )( 0 2 1 )( ，则，则，作代换：作代换： 13教育教学 （4 4）平面波归一化）平面波归一化 I Dirac 函数函数 定义：定义： 0 0 0 0 )( xx xx xx )0(1)()( 00 0 0 dxxxdxxx x x 或等价的表示为：对在或等价的表示为：对在x=xx=x0 0 邻域邻域 连续的任何函数连续的任何函数 f f（x x）有：）有： )()()( 00 xfdxxx

21、xf 函数函数 亦可写成亦可写成 Fourier Fourier 积分形式：积分形式： )( 0 0 2 1 )( xxik edkxx 令令 k=pk=px x/ / , dk= dp, dk= dpx x/ / , , 则则 x xxp i dpexx x )( 0 0 2 1 )( 性质：性质： )()()()( 000 xxxfxxxf )( | 1 )(x a ax )()(xx 0 x0 x )( 0 xx dxepp xpxp xpp i xx xx xx )( 0 2 1 )( ，则，则，作代换：作代换： 14教育教学 II II 平面波平面波 归一化归一化 Et i p Et

22、rp i p erAetr )(),( 写成分量形式写成分量形式 3 2 1 )()()()( zp i yp i xp i ppp rp i p zyx zyx eAeAeA zyxAer t=0 t=0 时的平面波时的平面波 )(),(),( 22 * 22 xx t ppi pp ppedxtxtx xx xx 考虑一维积分考虑一维积分 dxxxe xx xx pp tEE i )()( * dxxxe xx xx pp t ppi )()( * 22 22 dxxx xx pp )()( * )(2 2 1xx ppA 若取若取 A A1 12 2 2 2 = 1 = 1，则，则 A

23、A1 1= 2= 2 -1/2 -1/2, , 于是于是 xp i p x x ex 2 1 )( )( xx pp 平面波可归一化为平面波可归一化为函数函数 )( xx pp dxtxtx xx pp ),(),( * )( xx pp dxeA xpp i xx 2 1 dxepp xpp i xx xx )( 2 1 )( )()()()( 000 xxxfxxxf 15教育教学 三维情况：三维情况： Et i p Etrp i p eretr )( 2 1 ),( 2/3 drredtrtr pp tEE i pp )()(),(),( * * )( )()()( )()( * pp

24、pppppp drr zzyyxx pp 2/3 321 2 1 AAAA )()( ppppe tEE i 其中其中 2/3 2 1 )( rp i p er 注意：注意：这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密度，这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密度， 依然只是表示平面波所描写的状态在空间各点找到粒子的几率依然只是表示平面波所描写的状态在空间各点找到粒子的几率 相同。相同。 16教育教学 作作 业业 补补 充充 题题 波波函函数数是是否否等等价价？ 两两种种情情况况，得得到到的的两两个个取取、对对 是是否否等等价价？和和、波波函函数数请请问问： 已已知知下下列列两两个个波波函

25、函数数： 2)( )()( , 3 ,2, 1 |0 |)( 2 sin )( , 3 ,2, 1 |0 |)( 2 sin )( )2( 1 21 2 1 nxII xxI n ax axax a n A x n ax axax a n A x .)24(,3, , )1 ( /2 6 / )2( 5 /2 4 /3 3 /2 2 /2 1 1 xixixi xixixi eiee eee 描描写写同同一一状状态态？些些与与请请问问下下列列波波函函数数中中，哪哪 17教育教学 2 2 态叠加态叠加原理 （一）（一）态叠加原理态叠加原理 （二）（二）动量空间（表象）的波函数动量空间（表象）的波

26、函数 18教育教学 （一）态叠加原理 微观粒子微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉和衍射的本质具有波动性，会产生衍射图样。而干涉和衍射的本质 在于在于波的叠加性波的叠加性，即可相加性，两个相加波的干涉的结果产生，即可相加性，两个相加波的干涉的结果产生 衍射衍射。因此。因此，同光学中波的叠加原理一样，同光学中波的叠加原理一样，量子力学中也存在量子力学中也存在 波叠加原理波叠加原理。因为量子力学中的波，即波函数决定体系的状态，。因为量子力学中的波，即波函数决定体系的状态， 称波函数为状态波函数，所以量子力学的波叠加原理称为称波函数为状态波函数，所以量子力学的波叠加原理称为态叠态叠 加原理加原

27、理。 19教育教学 考虑电子双缝衍射考虑电子双缝衍射 = C= C1 11 1 + C + C2 22 2 也是电子的可能状态。也是电子的可能状态。 空间找到电子的几率则是：空间找到电子的几率则是： |2 2 = |C = |C1 11 1+ C+ C2 22 2| |2 2 = (C = (C1 1* *1 1* *+ C+ C2 2* *2 2* *) (C) (C1 11 1+ C+ C2 22 2) ) = |C = |C1 1 1 1| |2 2+ |C+ |C2 22 2| |2 2 + C + C1 1* *C C2 21 1* *2 2 + C + C1 1C C2 2* *1

28、 12 2* * P 1 1 2 2 S1 S2 电子源电子源 感感 光光 屏屏 电子穿过狭缝电子穿过狭缝 出现在点出现在点 的几率密度的几率密度 电子穿过狭缝电子穿过狭缝 出现在点出现在点 的几率密度的几率密度 相干项相干项 正是由于相干项的正是由于相干项的 出现，才产生了衍出现，才产生了衍 射花纹。射花纹。 一个电子有一个电子有 1 1 和 和 2 2 两种可能的状两种可能的状 态，态， 是这两种状是这两种状 态的叠加。态的叠加。 20教育教学 其中其中C C1 1 和和 C C2 2 是复常数，这就是量子力学的态叠加原理。 是复常数，这就是量子力学的态叠加原理。 态叠加原理一般表述：态叠

29、加原理一般表述： 若若1 1 ，2 2 ,., ,., n n ,.,.是体系的一系列可能的状态，则是体系的一系列可能的状态，则 这些态的线性叠加这些态的线性叠加 = C= C1 11 1 + C + C2 22 2 + .+ + .+ C Cn nn n + .+ . ( (其中其中 C C1 1 , C , C2 2 ,., ,.,C Cn n ,.,.为复常数为复常数) )。也。也是体系的一个可能状是体系的一个可能状 态态。处于处于态的体系，部分的处于态的体系，部分的处于 1 1态，部分的处于态，部分的处于2 2态态. ，部分的处于，部分的处于n n，. 一般情况下，如果1和2 是体系的

30、可能状态，那末它们的线性叠 加 = C= C1 11 1 + C + C2 22 2 也是该体系的一个可能状态 也是该体系的一个可能状态. 21教育教学 例：例： )(expEtrp i A p ( , )()( , )( , )()( , ) pp p xyz r tc pr tr tc pr t dp dpdp dp dpp ， 其 中由 于是 连 续 变 化 的 ， 所 以 后 式 应 用 积 分 代 替 了 求 和 。 电子在晶体表面反射后，电子可能以电子在晶体表面反射后，电子可能以 各种不同的动量各种不同的动量 p p 运动。具有确定运动。具有确定 动量的运动状态用动量的运动状态用d

31、ede Broglie Broglie 平面平面 波表示波表示 根据叠加原理，在晶体表面反射后，电子的状态根据叠加原理，在晶体表面反射后，电子的状态可表示可表示 成成 p p 取各种可能值的平面波的线性叠加，即取各种可能值的平面波的线性叠加，即 而衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果。而衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果。 d p p 22教育教学 （二）（二）动量空间（表象）的波函数动量空间（表象）的波函数 l (r,t) (r,t)是以坐标是以坐标 r r 为自变量的波函数，为自变量的波函数， 坐标空间波函数，坐标空间波函数，坐标表象坐标表象波函数；波函数； lC(p, t)C(p, t

32、) 是以动量是以动量 p p 为自变量的波函数，为自变量的波函数， 动量空间波函数，动量空间波函数，动量表象动量表象波函数；波函数； l二者描写同一量子状态。二者描写同一量子状态。 exp 2 1 )( 2/3 rp i r p ）（ 波函数波函数 (r,t) (r,t) 可用各种不同动量的平面波表示，可用各种不同动量的平面波表示， 下面我们给出简单证明。下面我们给出简单证明。 rdtrrtpcp ),()(),( ( , )( , ) Fourier r tc p t 显然，二式互为变换式，故而总是成立的。 所以与一一对应，是同一量子态的两种不同描述方式。 展开系展开系 数数 pdrtpct

33、r p )(),(),( 令令 则则 可按可按p p 展开 展开 dxdydzrp i trexp),( 2 1 2/3 ）（ zyx dpdpdprp i tpcexp),( )2( 1 2/3 23教育教学 若若 (r,t) (r,t)已归一化，则已归一化，则 C(p, t)C(p, t)也是归一化的也是归一化的 pdtpctpcpdtpc ),(),(| ),(| 2 证证明明： pdrdrtrrdrtrp p ) (), ()(),( pdrrrdrdtrtrp p ) ()(), (),( ) (), (),(rrrdrdtrtr 1),(),(rdtrtr 函函数数的的目目的的。平

34、平面面波波归归一一化化为为由由此此我我们们也也可可以以看看出出把把 关关系系式式其其中中使使用用了了 ) () ()(rrpdrrp p rdtrrtpcp ),()(),( 24教育教学 体体积积元元内内的的几几率率； 点点附附近近时时刻刻粒粒子子出出现现在在 rd rt rdtrtrdW 2 |),(|),( 具有类似的物理含义具有类似的物理含义与与),(),(trtrc 体积元内的几率。体积元内的几率。 点附近点附近时刻粒子出现在动量时刻粒子出现在动量 pd pt pdtrctpdW 2 | ),(|),( 25教育教学 3 3 力学量的平均值和算符的引进力学量的平均值和算符的引进 （一

35、）力学量平均值（一）力学量平均值 （1 1）坐标平均值）坐标平均值 （2 2）动量平均值）动量平均值 （二）力学量算符（二）力学量算符 （1 1）动量算符）动量算符 （2 2）动能算符）动能算符 （3 3）角动量算符）角动量算符 （4 4）Hamilton Hamilton 算符算符 26教育教学 （一）（一）力学量平均值力学量平均值 在在统计物理中知道，当可能值为离散值时统计物理中知道，当可能值为离散值时: 一个物理量的平均值等一个物理量的平均值等 于物理量出现的各种可能值乘上相应的几率求和；于物理量出现的各种可能值乘上相应的几率求和； 当可能值为连续当可能值为连续 取值时：一个物理量出现的

36、各种可能值乘上相应的几率密度求积分。取值时：一个物理量出现的各种可能值乘上相应的几率密度求积分。 基于波函数的几率含义，我们马上可以得到粒子坐标和动量的平均基于波函数的几率含义，我们马上可以得到粒子坐标和动量的平均 值。先考虑一维情况，然后再推广至三维。值。先考虑一维情况，然后再推广至三维。 27教育教学 （1 1）坐标平均值）坐标平均值 dxxxxx 2 |)(| drxxx 2 |)(| 为简单计，剩去时间变量（或者说，先不考虑随时间的变化）为简单计，剩去时间变量（或者说，先不考虑随时间的变化） 设设(x)(x) 是归一化波函数，是归一化波函数，| (x)| (x)|2 2 是粒子出现在是

37、粒子出现在x x点的几率密度，点的几率密度， 则则 对三维情况对三维情况，设，设(r) (r) 是归一化波函数，是归一化波函数，|(r)|(r)|2 2是粒子出现是粒子出现 在在 r r 点的几率密度，则点的几率密度，则x x的平均值为的平均值为 （2 2）动量平均值）动量平均值 一维情况一维情况：令：令(x)(x)是归一化波函是归一化波函 数，相应动量表象波函数为数，相应动量表象波函数为 xxxxx xx xx dppcppp ppc dxxipxpc 2 2 2/1 |)(| |)(| )/exp()( )2( 1 )( 的的几几率率密密度度，则则粒粒子子动动量量为为 28教育教学 （二）

38、力学量算符（二）力学量算符 简言之简言之，由于量子力学和经典力学完全不同，它是用波函数，由于量子力学和经典力学完全不同，它是用波函数 描写状态，所以力学量也必须改造成与经典力学不同的算符描写状态，所以力学量也必须改造成与经典力学不同的算符 形式（称为第一次量子化）。形式（称为第一次量子化）。 x p （1 1）动量算符）动量算符 既然既然(x)(x) 是归一化波函数，相应动量表象波函是归一化波函数，相应动量表象波函 数为数为c(c(p px x) ) 一一 一一 对应，相互等价的描述粒子的同一状对应，相互等价的描述粒子的同一状 态，那末动量的平均值也应可以在坐标表象用态，那末动量的平均值也应可

39、以在坐标表象用(x)(x)表示表示 出来。但是出来。但是(x)(x)不含不含p px x变量，为了能由变量，为了能由(x)(x)来确定动来确定动 量平均值，动量量平均值，动量 p px x必须改造成只含自变量必须改造成只含自变量 x x 的形式，的形式， 这种形式称为动量这种形式称为动量 p px x的算符形式，记为的算符形式，记为 29教育教学 一维情况：一维情况： xxxxxxxxx dppcppcdppcppp)()(| )(| 2 xxx xp i dppcpdxex x )()( 2 1 xxx xp i dxdppcpex x )()( 2 1 xx xp i dxdppce dx

40、 d ix x )()( 2 1 )( 2 1 )( xx xp i dppce dx d ixdx x dxxpxdxx dx d ix x )()()()( 30教育教学 比较上面二式得两点结论：比较上面二式得两点结论： i z k y j x iip rr xx 体系状态用坐标表象中的波函数体系状态用坐标表象中的波函数 (r) (r) 描写时，坐标描写时，坐标 x x 的算符就的算符就 是其自身，即是其自身，即 说明力学量在自身表象中的算符形式最简单。说明力学量在自身表象中的算符形式最简单。 dx d ip x 而动量而动量 p px x 在坐标表象（非自身表象）中的形式必须改造成动量算

41、在坐标表象（非自身表象）中的形式必须改造成动量算 符形式：符形式： 三维情况：三维情况： 31教育教学 由由归一化波函数归一化波函数(r)(r)求求 力学量平均值时，必须把该力学力学量平均值时，必须把该力学 量的算符夹在量的算符夹在* *(r)(r)和和(r)(r)之间之间, ,对全空间积分，即对全空间积分，即 dxxFxFF dxxpxpp dxxxxxx xxx )( )( )()( )()( 一维情况：一维情况： rdrr rdrFr FF )()( )( )( 若波函数未归一化，则若波函数未归一化，则 F 是任一是任一 力力 学量算符学量算符 rdrFrFF rdrprpp rdrxr

42、xx xxx )( )( )()( )()( 三三维维情情况况： 32教育教学 （2 2）动能算符）动能算符 rdrTrTT m p T m p T )( )( 2 2 22 则则 所所以以动动能能算算符符在在经经典典力力学学中中， （3 3）角动量算符）角动量算符 prLprL )( )( )( x y y xipypxL z x x zipxpzL y z z yipzpyL xyz zxy yzx 三个分量：三个分量： rdrLrL )( )( 33教育教学 2 2 ( ) ( )( ) 2 V r HTV HTV rV r m 在势场中的粒子 对于有经典对应的力学量， 相应算符的写法以

43、及力学量与 算符之间更深刻的关系将在第 四章中讨论。 （4 4）Hamilton Hamilton 算符算符 34教育教学 作作 业业 补充题补充题 22 / 2 10. (2)( ) x x p xAe IAII （ ）证明：如果波函数是实函数，则 一维谐振子处于状态中， 其中为实常量，求： 、归一化系数 ；、动能平均值。 35教育教学 4 Schrodinger 4 Schrodinger 方程方程 （一）（一）引引 （二）（二）引进方程的基本考虑引进方程的基本考虑 （三）（三）自由粒子满足的方程自由粒子满足的方程 （四）（四）势场势场 V (r) V (r) 中运动的粒子中运动的粒子 （

44、五）（五）多粒子体系的多粒子体系的SchrodingerSchrodinger方程方程 36教育教学 这些这些问题在问题在19261926年年Schrodinger Schrodinger 提出了波动方程之后得到提出了波动方程之后得到 了圆满解决。了圆满解决。 微观粒子量子状态用波函数完全描述，波函数确定微观粒子量子状态用波函数完全描述，波函数确定 之后，粒子的任何一个力学量的平均值及其测量的可能值和之后，粒子的任何一个力学量的平均值及其测量的可能值和 相应的几率分布也都被完全确定，波函数完全描写微观粒子相应的几率分布也都被完全确定，波函数完全描写微观粒子 的状态。因此量子力学最核心的问题就是

45、要解决以下两个问的状态。因此量子力学最核心的问题就是要解决以下两个问 题：题： (1)(1)在各种情况下，找出描述系统的各种可能的波函数；在各种情况下，找出描述系统的各种可能的波函数； (2)(2)波函数如何随时间演化。波函数如何随时间演化。 （一）（一）引引 37教育教学 （二）（二）引进方程的基本考虑引进方程的基本考虑 从从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻 t t 粒子的状态粒子的状态 r r 和和 p p 。 因为初条件知道的是坐标及其对时间的一阶导数，所以方程是时间的因为初条件知道的是坐标及其对时间的一阶导数，所以方程是时间的 二阶常微分方程。二阶常

46、微分方程。 让我们先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我们以启发。让我们先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我们以启发。 （1 1）经典情况）经典情况 0 000 , tt dt rd mprtt 时时刻刻，已已知知初初态态是是： 2 2 dt rd mF 方程：方程：粒子满足的方程是牛顿粒子满足的方程是牛顿 38教育教学 （2 2）量子情况）量子情况 3 3第三方面，方程第三方面，方程不能包含状态参量不能包含状态参量，如，如 p p, , E E等，否则等，否则 方程只能被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的方程只能被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的 状态所满足。状态所满足。

47、 1 1因为，因为，t = tt = t0 0 时刻，已知的初态是时刻，已知的初态是( r, t( r, t0 0) ) 且只知道且只知道 这样一个初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方这样一个初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方 程程只能含只能含对时间对时间 的一阶导数的一阶导数。 2 2另一方面，另一方面，要满足态叠加原理要满足态叠加原理，即，若，即，若1 1( r, t )( r, t ) 和和 2 2( r, t )( r, t )是方程的解，那末。是方程的解，那末。 ( r, t)= C( r, t)= C1 11 1( r, t ) + C( r, t ) + C2

48、22 2( r, t ) ( r, t ) 也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程 中只能包含中只能包含, , 对时间的一阶导数对时间的一阶导数和和对坐标各阶导数的一次对坐标各阶导数的一次 项项，不能含它们的平方或开方项。，不能含它们的平方或开方项。 39教育教学 （三）（三）自由粒子满足的方程自由粒子满足的方程 这这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量 E E 。将。将对对 坐标二次微商，得：坐标二次微商，得： ）（1 E t iE i t )(expEtrp i A 描写自由粒子波

49、函数描写自由粒子波函数: : 应是所要建立的方程的解。应是所要建立的方程的解。 将上式对将上式对 t t 微商，得：微商，得： ， 2 2 2 2 )( x x Etzpypxp i p x p i Ae xx zyx (1)(1)(2)(2)式式 1 222 22 2 2 2 2 2 zyx ppp zyx 2 2 2 2 2 2 2 2 z y p z p y 同理有同理有 )2( 22 1 2 2 2 2 2 2 p p 或或 40教育教学 ) 2 () 2 ( 2 2 2 p E t i 满足上述构造方程满足上述构造方程 的三个条件的三个条件 讨论：讨论： 通过引出自由粒子波动方程的过

50、程可以看出，通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出， 如果能量关系式如果能量关系式 E = pE = p2 2/2/2 写成如下方程写成如下方程 形式：形式： 2222 4 pp ipp t iE ）（ 做做算符替换（算符替换（4 4）即得自由粒子满足即得自由粒子满足 的方程（的方程（3 3）。）。 ）（所以所以3 2 2 2 t i 2 2 p E 对自由粒子，对自由粒子， 0) 2 ( 2 p E (1)(1)(2)(2)式式 41教育教学 （四）势场（四）势场 V(r) V(r) 中运动的粒子中运动的粒子 该该方程称为方程称为 Schrodinger Schrodinger 方程，也常称

51、为波动方程。方程，也常称为波动方程。 量量。算算符符，亦亦常常称称为为是是体体系系的的式式中中HamiltonHamiltonH trH trrVtr t i ),( ),()( 2 ),( 2 2 若粒子处于势场若粒子处于势场 V(r)V(r) 中运动，则能动量关系变为：中运动，则能动量关系变为： HrV p E )( 2 2 )( 2 2 rV p E 将其作用于波函数得：将其作用于波函数得： 做（做（4 4）式的算符替换得：）式的算符替换得： 42教育教学 （五）多粒子体系的（五）多粒子体系的 Schrodinger Schrodinger 方程方程 设设体系由体系由 N N 个粒子组成

52、，个粒子组成， 质量分别为质量分别为 i i ( (i i = 1, 2,., N) = 1, 2,., N) 体系波函数记为体系波函数记为 ( r( r1 1, r, r2 2, ., , ., r rN N ; t) ; t) 第第i i个粒子所受到的外场个粒子所受到的外场 U Ui i( (r ri i) ) 粒子间的相互作用粒子间的相互作用 V(rV(r1 1, r, r2 2, ., , ., r rN N) ) 则多粒子体系的则多粒子体系的 Schrodinger Schrodinger 方程可表示为：方程可表示为： );,(),()( 2 );,( 21 1 21 2 2 21

53、trrrrrrVrU trrr t i N N i Niii i N 43教育教学 多粒子体系多粒子体系 Hamilton Hamilton 量量 Z ji ji Z rr e rrrV | ),( 2 21 i ii r Ze rU 2 )( 对有对有 Z Z 个电子的原子，电子间相互作用为个电子的原子，电子间相互作用为 Coulomb Coulomb 排斥作用：排斥作用： 而原子核对第而原子核对第 i i 个电子的个电子的 Coulomb Coulomb 吸引能为：吸引能为： 假定原子核位于坐标原点，无穷远为势能零点。假定原子核位于坐标原点，无穷远为势能零点。 N i Niii i rrr

54、VrUH 1 21 2 2 ),()( 2 例如：例如： 44教育教学 5 5 粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律 （一）定域几率守恒（一）定域几率守恒 （二）再论波函数的性质（二）再论波函数的性质 45教育教学 （一）（一） 定域几率守恒定域几率守恒 考虑考虑低能非相对论实物粒子情况，因没有粒子的产生和湮灭问低能非相对论实物粒子情况，因没有粒子的产生和湮灭问 题，粒子数保持不变。对一个粒子而言，在全空间找到它的几题，粒子数保持不变。对一个粒子而言，在全空间找到它的几 率总和应不随时间改变，即率总和应不随时间改变，即 2 |),(|),(),(),(trtrtrtr 0),(

55、 dtr dt d 在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后，我们进一在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后，我们进一 步讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间步讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间 变化。粒子在变化。粒子在 t t 时刻时刻 r r 点周围单位体积内粒子出现的点周围单位体积内粒子出现的 几率即几率密度是：几率即几率密度是： 46教育教学 证： 考虑考虑 Schrodinger Schrodinger 方程及其共轭式：方程及其共轭式： )5( 2 2 2 V t i )6( 2 2 2 V t i 式式得得：将将)6()5( 2 22 2 t i t i 2 2

56、 ）（ t i 取共轭取共轭 47教育教学 dd dt d i 2 2 ）（ 在空间闭区域在空间闭区域中将上式积分，则有：中将上式积分，则有： 闭区域闭区域 上找到粒上找到粒 子的总几子的总几 率在单位率在单位 时间内的时间内的 增量增量 J J是几率流密是几率流密 度，是一矢度，是一矢 量。量。 所以所以(7)(7)式是几率（粒子数）式是几率（粒子数） 守恒的积分表示式。守恒的积分表示式。 令令 Eq.Eq.（7 7）趋于趋于 ，即让积分对全空间进行，即让积分对全空间进行， 考虑到任何真实的波函数应该是平方可积的，波函考虑到任何真实的波函数应该是平方可积的，波函 数在无穷远处为零，则式右面积

57、分趋于零，于是数在无穷远处为零，则式右面积分趋于零，于是 Eq.Eq.（7 7）变为：）变为： 0),( dtr dt d 0 J t 其微分形式与其微分形式与 流体力学中连流体力学中连 续性方程的形续性方程的形 式相同式相同 d i d dt d 2 ）（ dJdtr dt d ),( 的表面。的表面。是体积是体积 ）（ S tr SdJdtr dt d S ),( 7),( 使用使用 Gauss Gauss 定理定理 单位时间内通过单位时间内通过的封闭表面的封闭表面 S S 流入（面积分前面的负号）流入（面积分前面的负号）内内 的几率的几率 2 i J Sd S 48教育教学 0),( d

58、tr dt d 讨论： 表明，波函数归一化不随表明，波函数归一化不随 时间改变，其物理意义是时间改变，其物理意义是 粒子既未产生也未消灭。粒子既未产生也未消灭。 （1 1） 这里的几率守恒具有定域性质，当空间某处这里的几率守恒具有定域性质，当空间某处 几率减少了，必然另外一些地方几率增加，使总几率几率减少了，必然另外一些地方几率增加，使总几率 不变，并伴随着某种流来实现这种变化。不变，并伴随着某种流来实现这种变化。 （2 2） 以以乘连续性方乘连续性方 程等号两边，得到：程等号两边，得到： 0 J t 量子力学的质量量子力学的质量 守恒定律守恒定律 同理可得量子力学同理可得量子力学 的电荷守恒

59、定律：的电荷守恒定律： 0 ee J t 表明电荷总量表明电荷总量 不随时间改变不随时间改变 )( 2 | ),(| 2 i JJ tr 质量密度质量密度 和和 质量流密度矢量质量流密度矢量 )( 2 | ),(| 2 i eJeJ tree e e 电荷密度电荷密度 和和 电流密度矢量电流密度矢量 49教育教学 （二）再论波函数的性质（二）再论波函数的性质 1. 1. 由由 Born Born 的统计解释可知，描写粒子的波函数已知后，就知道了粒子在空的统计解释可知，描写粒子的波函数已知后，就知道了粒子在空 间的几率分布，即间的几率分布，即 d (r, t) = |(r, t)|d (r, t

60、) = |(r, t)|2 2 d d 2. 2. 已知已知 (r, t)(r, t)， 则任意力学量的平均值、可能值及相应的几率就都知道则任意力学量的平均值、可能值及相应的几率就都知道 了，也就是说，描写粒子状态的一切力学量就都知道了。所以波函数又称了，也就是说，描写粒子状态的一切力学量就都知道了。所以波函数又称 为状态波函数或态函数。为状态波函数或态函数。 3.3.知道体系所受力场和相互作用及初始时刻体系的状态后，由知道体系所受力场和相互作用及初始时刻体系的状态后，由SchrodingerSchrodinger方方 程即可确定以后时刻的状态。程即可确定以后时刻的状态。 （1 1）波函数完全