三角形与多边形及镶嵌讲解

1、三角形与多边形及镶嵌、知识结构框图：二、知识要点：1三角形的分类：2三角形的三种重要线段： 三角形的高线、中线、角平分线。3三角形的三边之间的关系：（1）三角形任意两边的和大于第三边；（2）三角形任意两边的差小于第三边4三角形的内、外角性质：（ 1）三角形的内角和等于 180；（ 2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；（3）三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角； （ 4）三角形的外角和等于 3605作图6三角形的稳定性、典型例题：1如图，图中共有多少个三角形分析：根据三角形的概念， 不重复、 无遗漏地找出所有的三角形， 关键在于按照某种顺 序去找。解：共 8个，分别为： B

2、CE ， CDE， BFE ； BCF ， BCD ， ACF, ADB ；BCA2在 ABC 中，AB=AC ，AC 边上的中线 BD 把三角形的周长分为 12cm 和 15cm 的两部分，求三角形各边的长。分析：因为中线 BD 中的点 D 为 AC 边的中点，所以 AD=DC ，造成所分的两部分不等 的原因就在于 BC 边与 AB 边的不等，故应分类讨论。（1）若 AB+AD=12 ，即 ，得 x=8即 AB=AC=8则 DC=4 ，故 BC=15-4=11 此时 AB+ACBC ，可构成三角形（2）若 AB+AD=15 ， x=10即 AB=AC=10 ，则 DC=5 ，故 BC=12-

3、5=7 显然此时可构成三角形综上，三边长为： 8，8，11 或 10 ，10， 7.3（ 1）已知三角形的两边分别为 5cm 和 6cm，求第三边 c 的取值范围及三角形 周长的取值范围；（2）已知三角形的三边分别为 14，4x和 3x，求 x的取值范围；（ 3）已知三角形的三边分别为， 和 ，求 的取值范围。分析： 根据三角形的三边关系， 可得第三边的取值范围是： 两边之差第三边两边之 和，所以较容易确定第三边的取值范围解：（1）（6-5）cm c （6+5） cm 1cmc11cm 设周长为 pcm 又因另两边分别为 5cm 和 6cm （5+6） +1cm p 11+ （5+6） cm即

4、 12cm p AC+BC 。AB ，得点拨：解决几条线段间的不等关系，应利用三角三边关系性质，为此，连接BD+DAAB ， CA+CBAB ，但仍无法得出结论，故可考虑构造另外的三角形，找到所证线段之间的相互关系。解答：延长 AC 交 BD 于点 E，由三角形的三边关系： 在 ADE 中， AD+DEAC+CE 在 CBE 中， CE+BEBC 由和得： AD+DE+BE+CEAC+BC+CE 所以： AD+BDAC+BC四、多边形及其平面镶嵌： 1多边形及其内角和：（ 1）n 边形的内角和：（ 2）多边形的外角和等于 360 （3）多边形的对角线：从 n 边形的一个顶点作对角线有： （n-

5、3 ）条；n 边形共有： 条对角线。（4）正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。2正多边形的概念： 正多边形的概念一般说来必须同时满足“各边相等” 和“各角相等” ，只有三角形例外， 满足其一即可说明：（ 1）只满足“各边相等”的反例：菱形； （2）只满足“各角相等”的反例：矩形3多边形的内外角和的推导思路： （1）通过对多边形内角和公式的探究和推导，充分体会三角形在研究多边形问题的过 程中所发挥的重要作用，在探究的过程中应与同学们充分讨论，发现不同的证法说明：可以将各种证法统一起来，即点 O 在不同的位置（2）利用内角和以及邻补角的定义，推导外角和公式，体会变与不变的关系

6、五、例题选讲：5一个多边形的内角和是 540，那么这个多边形的对角线的条数是（）（ A ）5（B）4（C）3（D）2答案： A6己知一个多边形的内角和与外角和共2160，求这个多边形的边数。答案： 127一个凸多边形的内角和与它的一个外角的和为2005 ，求多边形的边数。答案： 13 提示：用 2005180=11 余 25，n 一 2=11，n=138若多边形最多有四个钝角，那么此多边形的边数最多是 答案：七 提示：从外角考虑，外角和中最多有三个钝角，加上四个锐角，最多有七个外角，所以 也就最多有七个内角或七条边。9如果一个凸多边形，除了一个内角以外，其它内角的和为2570 ，求这个没有计算

7、在内的内角的度数答案： 130 提示：用 2570 180=14 余 50， 180-50 =130六、课题学习 镶嵌： 1本节课是探索并推导平面图形的镶嵌问题，通过这个过程可以加深对多边形内角和 的理解2用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边 形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题。3通过探究和实验，总结出平面镶嵌的必要条件是：（ 1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360；（2）相邻的多边形有公共边4主要解决的问题是：（ 1）什么样的正多边形可以实现平面镶嵌?假定有正 n 边形，则此正 n（ n3）边形的每一个内角等于，如果在一个顶点周围有 k 个正 n 边形的

8、内角 ，由于这些角的和应 为 360，因此有，化简得，所以此不定方程有且只有三组正整数解：即分别用 6 个正三角形或4 个正方形或 3 个正六边形可平面镶嵌（2）用全等的任意 n 边形进行平面镶嵌，易证三角形和四边形可以，当n5 时，只对于特殊的全等 n 边形还可能，如下图，是圣地亚哥的一位妇女玛乔里赖斯于 1977 年 12 月找到的。（3）利用（ 1）的办法，研究用两种正多边形进行镶嵌，可能的结果有以下几种：3 个正三角形和 2 个正方形，或 4个正三角形和 1个正六边形，或 2个正三角形和 2 个正六边形， 或 1 个正三角形和 2 个正 12 边形，或 1 个正四边形和 2 个正 8

9、边形图形如下：初一数学周末练习 8（三角形与多边形及镶嵌） 周末练习： 基础练习：1如图，己知 AB CD ，直线 EF分别交 AB ，CD于点 E，F，EG平分BEF，若 l=50，则 2 的度数为（ ）A)50B)60C)65( D) 702若直角三角形的三边长分别为（ A ）1 个（B） 2 个2，4， x，则 x 的可能值有（ ）（C）3个（D）4 个3如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角A 是 120，第二次拐的角B 是 150 ,第三次拐的角是 C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则 C 是（ ）A)120B)1304如图，在 RtABC 中， B=

10、90， A=30 ， AC=3 ，将 BC向BA 方向折过去， 使点 C 落在 BA 上的 点 ,折痕为 BE ，则的长是5如图， ABE 和 ADC 是 ABC 分别沿着 AB 、 AC 边翻折 180形成的若 1：2： 3：=28： 5：3，则 的度数为 6如图， A 、 B 是平面上两个定点，在平面上找一点C，使 ABC 构成等腰直角三角形，且 C 为直角顶点 ,请问这样的点有几个？并在图中作出所有符合条件的点 （要求： 用尺规作图， 保留 作图痕迹，不写作法）7判断下列三条线段能否构成三角形（1）3k，4k，5k（k0）2）m+1，2m，m+1（ m0）3） a， b， a+b+1（

11、a0， b0）8（ 1）已知等腰三角形的一边等于8cm，一边等于 6cm，求它的周长（ 2）一个等腰三角形的周长为 30cm，一边长为 6cm，求其它两边的长9已知：如图 2， ABC 中，D是 AB 上除顶点外的一点 求证： AB+ACDB+DC 10已知：如图 3，点 P为 ABC 内任一点求证：11已知：如图 4，D、E 是ABC 内的两点求证： AB+ACBD+DE+EC12已知： 如图 5，在 ABC 中，AB=AC ，周长为 16cm，AC 边上的中线 BD 把 ABC 分成周长差为 2cm 的两个三角形，求 ABC 各边的长。13下列四个图中能说明 12 的图是（ ）14已知：如

12、图 7，直线 AB CD ，直线 EF分别交 AB、CD 于点 E、F， BEF 的平 分线与 DFE 的平分线相交于点 P，试说明： P=90。15如图 8，在锐角三角形 ABC 中， CD、BE 分别是 AB 、AC 边上的高，且 CD、BE 交于一点 P，若 A=50 ，求 BPC 的度数。16如图 9，D 是 ABC 内任一点，试说明： ADB= 1+2+C17如图 10，若 P为B、C 平分线的交点，求的值。18如图 11， ABC 的两条外角平分线交于点 D，则下列等式成立的是（ ）（A）（B）（ C）（ D ）19如图， ABC 中， ABC 的平分线与ACE 的平分线交于点D

13、，试探求 D 与A 之间的大小关系。20已知：如图 12，在 ABC 中， D、E 分别是 BC、AC 上的点， AD、BE 相交于点F求： C+ 1+2+321已知：如图 13，把 ABC 纸片沿 DE折叠，当点 A落在四边形 BCDE 内部时， A 与 l+ 2 之间有什么关系，请猜想并证明22把一副三角板按如图 14 方式放置，则两条斜边所形成的钝角=度23某零件的形状如图 15 所示，图纸上要求 A=90 ， B=32， C=21 ，当检 验员量得 BDC=145 就断定这个零件不合格。请你解释一下，这是为什么 ?24已知：如图 16， ABC 中，ABC=C=BDC，A=ABD，求

14、A25如图 17，在 ABC 中，AE BC 于 E，AD 为BAC 的平分线，B=50，C=70 求 DAE 的度数。基础练习参考答案：1C 2B 3D45806有 2个 作图：连结 AB ，作 AB 的垂直平分线，以 AB 为直径作圆， 该圆与 AB 的中垂线的交点就是所求作的点。7（1）能 （ 2）能 （3）不能8（ 1） 20 cm或 22 cm（ 2） 12cm， 12 cm9证明略10证明略11. 提示：延长 BD 、CE，交于F12. 6cm， 6cm， 4cm 或，13C14略1513016证明略179018C1920180212 A=1+ 22216523 BDC=143 2

15、4362510中考链接：1如图，直线ABCD，EFCD，F为垂足如果 GEF=20，那么 l的度数是 度。2如图 1，已知 ABC 为直角三角形， C=90，若沿图中虚线剪去 C，则 1+ 2 等于 3已知一个三角形三个内角度数的比是1：5： 6，则其最大内角的度数为（）A 60B 75C90D1204如图 3所示，每个小方格都是边长为 1的正方形， 点 A ，B是方格纸的两个格点 （即 正方形的顶点） ，在这个 66 的方格纸中，找出格点 C，使 ABC 的面积为 1 个平方单位的直角三 角形的个数是 5三角形的两边长为 4cm 和 7cm，则这个三角形面积的最大值为 cm26八边形的内角和

16、为 度7在下列四组多边形地板砖中，正三角形与正方形；正三角形与正六边形；正 六边形与正方形；正八边形与正方形将每组中的两种多边形结合，能密铺地面的是（ ） A BCD8拼图与设计：如图 22-1，四边形 ABCD 是一位师傅用地板砖铺设地板尚未完工的地板图形， 为了节 省材料，他准备在剩余的六块砖中（如图 22-2 所示）挑选若干块进行铺设， 请你在下列网格纸上帮他设计 3 种不同的铺法示意图9（辽宁大连旅顺）如图， ABC为等边三角形，面积为S ， ， 分别是ABC 三边上的点，且，连结 ， ， ，可得 （1）用 S 表示的面积 ， 的面积 ；（ 2）当 ， ， 分别是等边 ABC 三边上的

17、点， 且 时， 如图，求的面积 和 的面积是 ；（ 3）按照上述思路探索下去，当， ， 分别是等边 ABC 三边上的点，且为正 整数）， 的面积时（n 。 的面积 10若一个多边形的内角和等于720，则这个多边形的边数是（）A5B6C 7D811一幅图案 在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是 12如图所示， 有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长分别为 1和2，另一种纸片的两条直角边长都为2图a、图 b、图c是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1请用三种方法将图中所给四块直

18、角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形） ，每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全 部用上，互不重叠且不留空隙，三种方法所拼得的平行四边形（非矩形）的周长互不相等， 并把你所拼得的图形按实际大小画在图a、图 b、图 c 的方格纸上。要求：（ 1）所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合。（2）画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹。13如图所示，中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的，中多边形是由正方形“扩展”而来的，依此类推，则由 n 边形“扩展”而来的多边形的边数为14将一张等边三角形纸片沿着一边上的高剪开， 可以拼成不同形状的四边形， 试写出 其中一种四边形的名称 15如图 2，ABCD，1=105，EAB=65，则 E的度数是（ ）（A）30（B）40（ C）50（D）6016若一个正多边形的一个外角是40，则这个正多边形的边数是A 10B9C8D617如果三角形的两边分