方差分析[高教书苑]

1、方差分析（方差分析（analysis of variance） 问题问题 为了研究三种不同教材的质量，抽取三为了研究三种不同教材的质量，抽取三 个实验班分别使用其中一种教材，而对其个实验班分别使用其中一种教材，而对其 他因素加以控制。经过一段时间的教学后他因素加以控制。经过一段时间的教学后 进行测试，得到三种实验处理的数据如下：进行测试，得到三种实验处理的数据如下： 教材教材A：70 74 72 68 71；平均数：；平均数：71 教材教材B：75 80 77 68 75；平均数：；平均数：75 教材教材C：70 72 66 72 70；平均数：；平均数：70 总平均数：总平均数：72 三种教

2、材的效果有无显著差异？三种教材的效果有无显著差异？ 1高级教育 方差分析方差分析 方差分析的必要性方差分析的必要性 多个样本的均值之差的显著性检验多个样本的均值之差的显著性检验 t 检验的误差检验的误差 2高级教育 方差分析的目的方差分析的目的 方差分析的基本功能就在于它能对多组方差分析的基本功能就在于它能对多组 平均数差异的显著性进行检验，而且可平均数差异的显著性进行检验，而且可 以避免多次逐对以避免多次逐对 t 检验所造成的错误概检验所造成的错误概 率的累积。率的累积。 3高级教育 方差分析中的几个概念方差分析中的几个概念 因素：实验中的自变量称为因素（因素：实验中的自变量称为因素（fac

3、tor）。）。 只有一个自变量的实验称为单因素实验，用只有一个自变量的实验称为单因素实验，用单因素单因素 方差分析方差分析（One-Way ANOVA）。）。 有两个或两个以上自变量的实验称为多因素实验，有两个或两个以上自变量的实验称为多因素实验， 用用多因素方差分析多因素方差分析。 水平：某一个因素的不同情况称为因素的水平水平：某一个因素的不同情况称为因素的水平 （level）。）。 包括包括量差量差或或质别质别两类情况。两类情况。 处理（处理（treatment）：按各个水平条件进行的重）：按各个水平条件进行的重 复实验称为各种处理。复实验称为各种处理。 4高级教育 方差分析的逻辑方差分析

4、的逻辑 5高级教育 方差分析的逻辑方差分析的逻辑 组间差异（组间差异（between-groups variance） 组内差异（组内差异（ within-groups variance ） 组间差异对组内差异的比值越大，则各组间差异对组内差异的比值越大，则各 组平均数的差异就越明显。通过对组间组平均数的差异就越明显。通过对组间 差异与组内差异比值的分析，来推断几差异与组内差异比值的分析，来推断几 个相应平均数差异的显著性。个相应平均数差异的显著性。 6高级教育 方差分析的前提方差分析的前提 独立性独立性 正态性正态性 方差齐性方差齐性 7高级教育 方差分析的数学模型方差分析的数学模型 可以解

5、释的和不能解释的可以解释的和不能解释的 General Linear Model )()(tii ijij XXXXe ijiij eX 8高级教育 单因素完全随机设计的方差分析单因素完全随机设计的方差分析 为了检验某一个因素多种不同水平间的为了检验某一个因素多种不同水平间的 差异的显著性，将从同一个总体中差异的显著性，将从同一个总体中随机随机 抽取的被试，再抽取的被试，再随机随机地分入各实验组，地分入各实验组， 各实验组各实验组随机随机接受不同的实验处理以后，接受不同的实验处理以后， 用方差分析法对这多个用方差分析法对这多个独立样本独立样本平均数平均数 差异的显著性进行检验。差异的显著性进行

6、检验。 Simple randomized participants design 9高级教育 单因素方差分析单因素方差分析(1) 计算（离差）平方和计算（离差）平方和 组间平方和：组间平方和： 组内平方和：组内平方和： 总平方和：总平方和： N T XXXSST k i n j ijt k i n j ij ii 2 11 22 11 )( N T n T XXnSSA k i i i ti k i i 2 1 2 2 1 )( k i i i k i n j iji k i n j ij n T XXXSSE ii 1 2 11 22 11 )( 10高级教育 计算计算 192 15 10

7、80 77952 )( 2 2 11 22 11 N T XXXSST k i n j ijt k i n j ij ii 70 15 1082 ) 5 350 5 375 5 355 ( )( 2222 2 1 2 2 1 N T n T XXnSSA k i i i ti k i i 122) 5 350 5 375 5 355 (77952 )( 222 1 2 11 22 11 k i i i k i n j iji k i n j ij n T XXXSSE ii 11高级教育 单因素方差分析单因素方差分析(2) 计算自由度计算自由度 组间自由度：组间自由度：K-1 组内自由度：组内

8、自由度：N-K 总自由度：总自由度：N-1 本例中：本例中： K-1=3-1=2 N-K=15-3=12 12高级教育 单因素方差分析单因素方差分析(3) 计算均方差计算均方差 组间方差：组间方差：MSA=SSA/(K-1) 组内方差：组内方差：MSE=SSE/(N-K) 计算计算 F 值：值：MSA/MSE 13高级教育 计算计算 计算均方差计算均方差 组间方差：组间方差： MSA=SSE/(K-1)=70/2=35 组内方差：组内方差：MSE=SSE/(N-K)=122/12=10.17 计算计算 F 值：值：MSA/MSE=35/10.17=3.44 查表：查表： F(0.05, 2,

9、12)=3.88 14高级教育 方差分析表方差分析表 - 差异来源平方和自由度方差差异来源平方和自由度方差F值值 Source SS df MS - 组间差异组间差异SSAdfA MSAMSA/MSE 组内差异组内差异SSEdfEMSE 总差异总差异SSTdft - 15高级教育 方差分析表方差分析表 - 差异来源平方和自由度方差差异来源平方和自由度方差F值值 - 组间差异组间差异 702353.44 组内差异组内差异122 1210.17 总差异总差异192 14 - 16高级教育 完全随机设计的逐对差异检验（一）完全随机设计的逐对差异检验（一） multiple comparison of

10、 the means t 检验（检验（LSD检验）检验） 比较：比较： ji ji nn MSE XX t 11 ) 11 ( 2 ) 1() 1( 2121 2 22 2 11 21 nnnn SnSn XX t 17高级教育 完全随机设计的逐对差异检验（二）完全随机设计的逐对差异检验（二） q 检验（检验（HSD检验）检验） ji ji nn MSE XX q 11 2 18高级教育 q值表值表 三个条件：三个条件： 组内方差的自由度组内方差的自由度 显著性水平显著性水平 等级数等级数 将要比较的平均数从小到大排序，并分别赋予等将要比较的平均数从小到大排序，并分别赋予等 级级R。 求两两逐

11、对比较的平均数的比较等级求两两逐对比较的平均数的比较等级 r （等级差（等级差 +1），），r 就是等级数。就是等级数。 19高级教育 多组方差的齐性检验多组方差的齐性检验 哈特莱（哈特莱（Hartley）最大）最大 F 值检验法值检验法 2 min 2 max max S S F 20高级教育 Fmax值表值表 三个条件：三个条件： 方差的组数方差的组数K 自由度（最大容量的样本自由度（最大容量的样本n-1） 显著性水平显著性水平 21高级教育 双因素方差分析双因素方差分析 (two-factor ANOVA)(two-factor ANOVA) 两个因素的情况下，因素两个因素的情况下，因素

12、A有有a个水平，个水平， 因素因素B有有b个水平，总共将有个水平，总共将有ab个处理。个处理。 通过双因素方差分析，可以推断这两个通过双因素方差分析，可以推断这两个 因素对平均数有无显著影响因素对平均数有无显著影响(main effect)， 以及两者之间有无交互作用以及两者之间有无交互作用(interaction)。 22高级教育 交互作用交互作用 教材教法因素是否造成显著差异？教材教法因素是否造成显著差异？ 教材教材A教材教材B 教法教法A7090 教法教法B9070 23高级教育 交互作用图解交互作用图解 24高级教育 无交互作用双因素方差分析无交互作用双因素方差分析 （1）提出假设：）

13、提出假设： H0：A因素的各种水平之间无显著差异，因素的各种水平之间无显著差异，B因素的因素的 各种水平之间亦无显著差异；各种水平之间亦无显著差异； H1：至少有一个因素的各种水平之间有显著差异。：至少有一个因素的各种水平之间有显著差异。 （2）进行离差平方和的分解：）进行离差平方和的分解：SST = SSA + SSB + SSE （3）计算自由度）计算自由度 组内自由度：组内自由度：(a 1) (b 1) = N a b + 1 A因素自由度：因素自由度：a 1B因素自由度：因素自由度：b 1 （4）计算均方差）计算均方差 MSA = SSA / (a 1)MSB = SSB / (b 1

14、)MSE = SSE / (a 1) (b 1) （5）计算）计算F值值FA = MSA / MSEFB= MSB / MSE （6）做出统计决断）做出统计决断 25高级教育 有交互作用双因素方差分析有交互作用双因素方差分析 （1）提出假设：）提出假设： H0：A因素的各种水平之间无显著差异，因素的各种水平之间无显著差异，B因素的各种水因素的各种水 平之间亦无显著差异，两因素间无交互作用；平之间亦无显著差异，两因素间无交互作用； H1：至少有一个因素的各种水平之间有显著差异，或两：至少有一个因素的各种水平之间有显著差异，或两 因素间有交互作用。因素间有交互作用。 （2）进行离差平方和的分解：）

15、进行离差平方和的分解： SST = SSA + SSB + SSA B + SSE （3）计算自由度）计算自由度 组内自由度：组内自由度：N abA因素自由度：因素自由度：a 1B因素自由度：因素自由度： b 1交互作用自由度交互作用自由度(a 1) (b 1) （4）计算均方差）计算均方差 MSA B= SSAB /(a 1) (b 1) （5）计算）计算F值值 FA B = MSAB / MSE （6）做出统计决断）做出统计决断 26高级教育 双因素方差分析双因素方差分析 计算平方和（一）计算平方和（一） N T XXXSST a i b j n r ijrt a i b j n r ij

16、r ijij2 111 22 111 )( N T n T XXnSSTr a i b j ij ij a i b j tijij 2 11 2 11 2 )( a i b j ij ij a i b j n r ijrij a i b j n r ijr n T XXXSSE ijij 11 2 111 22 111 )( 27高级教育 双因素方差分析双因素方差分析 计算平方和（二）计算平方和（二） SSAB= SSTr SSA SSB N T n X XXnSSA a i i b j n r ijr a i tii ij 2 1 2 11 1 2 )( N T n X XXnSSB b j

17、 j a i n r ijr b j tjj ij 2 1 2 11 1 2 )( 28高级教育 双因素方差分析双因素方差分析 计算自由度计算自由度 总自由度：总自由度：dft = N-1 组间自由度：组间自由度：dfb=k-1 组内自由度：组内自由度：dfw=N-k A因素自由度：因素自由度：dfA=A-1 B因素自由度：因素自由度：dfB=B-1 AB自由度：自由度：dfA*B= dfb - dfA - dfB =(A-1)(B-1) 29高级教育 双因素方差分析双因素方差分析 计算均方差计算均方差 A因素方差：因素方差：MSA=SSA/(A-1) B因素方差：因素方差：MSB=SSB/(

18、B-1) AB因素方差：因素方差：MSA*B=SSA*B/ dfA*B 组内方差：组内方差：MSE=SSE/(N-k) 30高级教育 双因素方差分析双因素方差分析 计算计算F值：值： FA= MSA/MSE FB= MSB/MSE FA*B= MSA*B /MSE 31高级教育 例题例题 教材教材A教材教材B总和总和 教法教法A 64, 62, 70, 60 (256) 67, 71, 70, 68 (276) 532 教法教法B 89, 76, 81, 92 (338) 82, 73, 78, 77 (310) 648 总和总和5945861180 32高级教育 例题例题 教法教法1教法教法

19、2教法教法3教法教法4总和总和 教材教材1 83 80 (163) 90 86 (176) 98 92 (190) 69 63 (132) 661 教材教材2 70 61 (131) 84 78 (162) 86 83 (169) 95 90 (185) 647 教材教材3 90 94 (184) 54 53 (107) 78 79 (157) 87 89 (176) 624 总和总和4784455164931932 33高级教育 方差分析表方差分析表 差异来源差异来源平方和平方和 自由度自由度方差方差FP A因素因素87.25243.633.88=.05 B因素因素443.003147.67

20、 13.13*.01 AB3038.756506.49 45.02*.01 误差误差135.001211.25 总计总计3704.0023 34高级教育 随机区组设计的方差分析随机区组设计的方差分析 用方差分析法对多个相关样本平均数差用方差分析法对多个相关样本平均数差 异所进行的显著性检验，称之为异所进行的显著性检验，称之为随机区随机区 组设计的方差分析组设计的方差分析。 randomized blocks design 35高级教育 相关样本的人数分配相关样本的人数分配 一个被试作为一个区组；一个被试作为一个区组； 每一区组内被试的人数是实验处理数的每一区组内被试的人数是实验处理数的 整数倍

21、；整数倍； 区组内以一个团体为一个基本单元。区组内以一个团体为一个基本单元。 36高级教育 计算计算 总平方和总平方和=组间平方和组间平方和+区组平方和区组平方和+误差平方和误差平方和 N T XXXSST a i b j ijt a i b j ij 2 11 22 11 )( N T b X XXbSSA a i b j ij a i ti 2 1 2 1 1 2 )( N T a X XXaSSR b j a i ij b j tj 2 1 2 1 1 2 )( 37高级教育 例题例题 为了比较四种中学语文实验教材的教学为了比较四种中学语文实验教材的教学 效果，按随机区组实验设计原则，将中效果，按随机区组实验