不定积分例题及答案

1、第 4 章 不定积分内容概要名称主要内容不定 积 分不定 积 分 的 概 念设 f(x) ， x I ，若存在函数 F(x) ，使得对任意 x I 均有 F ( x) f ( x)或dF(x) f (x)dx ，则称 F(x)为 f (x)的一个原函数。f (x)的全部原函数称为 f (x)在区间I 上的不定积分，记为注：(1)若 f(x) 连续，则必可积；(2)若F ( x), G( x)均为 f (x) 的原函 数，则 F(x) G(x) C 。故不定积分的表达式不唯一。性质性质 1： d f(x)dx f(x)或d f(x)dx f (x)dx； dx性质 2： F (x)dx F(x)

2、 C 或 dF(x) F(x) C ；性质 3： f ( x) g(x)dxf (x)dxg( x) dx ， , 为非零常数。计算方第一换元积分法(凑微分法)设 f (u) 的 原函数为 F(u) ，u (x) 可导，则有换元公式：法第二类换元积分法设x (t )单调、可导且导数不为零， f (t) (t) 有原函 数 F (t) ， 则1f (x)dx f ( (t) (t)dt F (t) C F ( 1(x) C分部积分法有理函数积分若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理按情况确定。本章的地位与作用在下一章定积分中由微积分基本公式可知 - 求定积分的问题，实

3、质上是 求被积函数的原函数问题；后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积 分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程 更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理 论中起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎 完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢 体会到！课后习题全解习题 4-1 1. 求下列不定积分：知识点： 直接积分法的练习求不定积分的基本方法。(1)思路分析 ：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！思路:被积函数1 x2 x5x2，由积分表中的公式( 2)可解解：dx5x 2 dx

4、2x 32x2Cx2 x3(2)(3 x 1)dxdx x2 x思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分1 1 1 1 4 1 解： (3 x 1 )dx(x3x2 )dxx3dxx2dx3 x32x2Cx4 (3) (2x x2)dx思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分x解：(2x x2)dx 2xdx x2dx 2 1x3 Cln 2 3(4) x(x 3)dx思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分解： x (x 3)dx3x2 dx1x2 dx522x2532x 2 C (5)3x4 3 x22x1dx1思路: 观察到3x

5、43 x2 1 x2 13x21后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。解 ： 3x 23xx2dx3x2dx2 dx x23xarctan x C2(6) 1 xx2dx思路:注意到12x2x112x11 2 ，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分x别积分。2解： x 2 dx1xdx12 dx1xarctan x C .注：容易看出 (5)(6) 两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分 式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 (7) ( x - + 3 - 4 )dx2 x x x134dx 3 x dx 4 x dx

6、 x思路 : 分项积分。x 1 3 4 1 解：(2x- 1x + x33 - x44 )dx 12 xdx(8) ( 3 21x1 x2 )dx思路: 分项积分解： (1 3x21 x2 )dx 31 1x2 dx 21 dx 3arctan x1 x22arcsin x C . (9)dx思路 : x x x ？看到 x x x1x2178 x 8，直接积分。dx7x 8 dx8x815C. (10)2 2 dx x2(1 x2 )思路: 裂项分项积分。解：x2(112 dxx2)11 x2 )dx12 dxx22 dx1x 2xarctan x C.2x e (11) x e11dx解：

7、(ex e1x)(e1x 1)dx(ex 1)dxx C. (12) 3x ex dx思路: 初中数学中有同底数幂的乘法：指数不变，底数相乘。显然 3x ex (3e)x解： 3x exdx3e)xdx (ln3(e3)e) C. (13) cot2 xdx思路: 应用三角恒等式“ cot2 xcsc2 x 1 ”。解 ： cot2xdx (csc2 x 1)dxcot x x C2 3 x 5 2x (14) 2 3 3x5 2 dx思路: 被积函数2 3x 5 2x3x22 （5 32）x ，积分没困难解：2 3x 5 2x3xdx2 x(23)x2 (5 32)x)dx 2x 5ln23

8、 ln3 C. (15) cos2 x dx2思路: 若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分解： cos2 x d2cosxdxsin x C.2 (16)cos2xdx思路: 应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分解：dx1 cos 2x12cos 2dxx1 sec2 xdx2tan x C.2(17)cos2xdxcos x sin x(cos x sin x )(cos x sin x ) ”。思路 : 不难，关键知道“ cos2x cos2 x sin2 x解： cos 2x dx cos x sin x(cos x sin x) dxsin x cos x C.(18)2

9、cos 2x 2 dxcos2 x sin 2 x思路: 同上题方法，应用“ cos2xcos2 x sin 2 x ”，分项积分。解：cos2x2 2 dx cos x sin x22cos x sin x2 2 dxcos x sin x112 dx 2 x sin x cos x(19) ( 11 xx 11 xx )dx思路: 注意到被积函数12x2 ，应用公式(5)即可。解：21 dx1x22arcsin xC.思路: 注意到被积函数2cos x1 cos2 x2x22cos x1 cos1 sec2，则积分易得。解： 121 cos x dx cos2xsec2 xdxtan x

10、dxx C.2、设xf ( x)dxarccosx C ，求 f ( x) 。知识点： 考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析 ：直接利用不定积分的性质 1： d f ( x)dx f (x)即可。dx解：等式两边对 x 求导数得：3、设 f (x) 的导函数为 sin x ，求 f (x) 的原函数全体。知识点： 仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系。思路分析 ：连续两次求不定积分即可。 解：由题意可知， f (x) sin xdx cosx C1 所以 f (x) 的原函数全体为： ( cosx C1)dx sinx C1x C2。1 ex4、证明函数 1 e2x , exs

11、hx和 ex chx都是 e 的原函数2chx- shx知识点： 考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。思路分析 ：只需验证即可。解：Q ee2x，而 d ( 1 e2x) d ex shx d exchx e2xchx shx dx 2 dx dx 5、一曲线通过点 (e2,3) ，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此 曲线的方程。知识点：属于第 12 章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数(不定 积分)与被积函数的关系。思路分析 ：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。解：设曲线方程为 y f (x) ，由题意可知： d f(

12、x) 1， f(x) ln |x| C； dx x又点 (e2,3) 在曲线上，适合方程，有 3 ln(e2) C, C 1，所以曲线的方程为 f (x) ln |x| 1. 6、一物体由静止开始运动，经 t秒后的速度是 3t2(m/s) ，问：(1) 在 3秒后物体离开出发点的距离是多少？( 2) 物体走完 360 米需要多少时间？知识点： 属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。思路分析 ：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。解：设物体的位移方程为： y f(t)，则由速度和位移的关系可得： d f (t) 3t2 f (t)

13、 t3 C ，dt又因为物体是由静止开始运动的， f (0) 0, C 0, f (t) t3 。(1) 3秒后物体离开出发点的距离为 : f (3) 33 27米；(2) 令t3 360 t 3360 秒。习题 4-21、填空是下列等式成立。知识点： 练习简单的凑微分 思路分析 ：根据微分运算凑齐系数即可。111解： (1)dx d(7x 3);(2) xdxd(1 x2);(3) x3dxd(3x4 2);72122、求下列不定积分。知识点：(凑微分)第一换元积分法的练习。思路分析 ：审题看看是否需要凑微分。直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有 没有成块的形式作为一个整体变量，这种

14、能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式 的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效，这在课外例题中 专门介绍！(1) e3t dt思路: 凑微分。解：e3t dt 1 e3td(3t)1 e3t C33(2)3(3 5x) dx思路:凑微分。解：3 (3 5 x) dx115 (33 1 45x) d(3 5x) (3 5x) 4 C20(3)1 dx3 2 x思路: 凑微分9 x (xueOpxQuei xpxoasxuei :搦。岳劉事：刼苗xpx 08SX 0 uel (z)9 护 ws乙(j)pysoo 乙:。搦曾（少）P用事（扩）P底皇第呵畜血：刼苗（9）0e

15、qqg xe soo -(-)pqQXXeq (xe) pxe uis 一 xp( ns xe uis):刼苗xp(fXxe uis)g),、乙zgA gx浊0(X 9)-1 (x g)Pe (x g)-(X G P-XfIzIz)Iz: (沖乙乂乙乙乂乙9 |x乙 Cl u|- (x乙 c)p - x ：搦VVVV (8)dxxln xlnln x思路:连续三次应用公式 (3) 凑微分即可解： dx d(ln | x|)x ln x ln ln xln x ln ln xd(ln |ln x|)ln ln xln |ln ln x | C(9) tan 1 x 1 x2思路 : 本题关键是能

16、够看到xdx是什么，是什么呢？就是d 1 x2 ！这有一定难度！解： tan 1 x2 1xdxx2tan 1 x2d 1 x2ln | cos 1 x2 | C (10)dxsin xcos x思路: 凑微分 解： 方法一： 倍角公式 sin2x 2sin xcosx 。方法二： 将被积函数凑出 tanx的函数和 tanx 的导数。方法三：三角公式 sin2 x cos2x 1，然后凑微分。 (11)dx思路: 凑微分：dxxxeeex dx dexe2x 1 1 e2xdexx21 (ex )2pxMu|g (/t7t717 xp丄秽 ：Xxp-(1 )soo p(;)严)ujs(;)SO

17、O乙1P(1 )uis(; )soo :搦乙)r事鈴1P(1 Ms。严乡9 （严乙）p r乙XP异S89 xeuepje 气)soo (艸)乙X乙户 帀厂甲：刼苗7 xp(2x)soox :搦xp(2x)soox (乙”XP戶(16) sin3x dxcos3 x思路: 凑微分。解： sin3x dxcos3 x13 dcos x cos3 x112 cos2 xC.9dx20x (17)x2思路: 经过两步凑微分即可。9 解： 2 x20 dx1110 220xdx101010 10x 1 x10 d arcsin( ) C10 2 2 10 21 (18)1 x9 4x2dx思路: 分项后

18、分别凑微分即可2 dxdx4x2解： 1 x 2 dx 19 4x 29 4x (19)d2x2x 2 1思路: 裂项分项后分别凑微分即可解： 2xd2xdx1 ( 2 x 1)( 2 x 1)11( 21x 1 21x 1)dx(20)xdx2(4 5x)2思路: 分项后分别凑微分即可解：xdx(4 5x) 21( 4 5x 4) ( 2 ) 5 (4 5x)2dx1 1 1( 42 ) d(4 5x)25 4 5x (4 5x)2(21)x2dx100 ( x 1)思路: 分项后分别凑微分即可解：x2dx(x 1)1002(x 1 1)2 dx100(x 1)2( ( x 1)2 2 (

19、x 1) (x 1)100 2( x 1)1001100 ( x 1)dx (22)xdxx8 1思路: 裂项分项后分别凑微分即可解：xdxx8 1xdx44 ( x4 1)(x4 1)14x)xdx11)dx2 (23) cos3 xdx思路: 凑微分。 cosxdx dsinx。解： cos3 xdx cos2x cosxdx cos2 xd sin x (1 sin2 x)d sin x (24) cos2 ( t )dt思路: 降幂后分项凑微分。解： cos2( t )dt 1 cos 2( t ) dt 1dt 1 cos2( t )d2( t )2 2 4 (25) sin 2x

20、cos3xdx思路: 积化和差后分项凑微分解： sin 2x cos3 xdx(sin 5 x sin x) dx2sin 5xd 5x10sin xdx2 (26) sin5x sin 7xdx思路: 积化和差后分项凑微分解： sin 5x sin 7xdx(cos 2x cos12x)dxcos2xd2x41 cos12xd(12x)243 (27) tan x secxdx思路:凑微分 tanxsecxdx d secx 。3 2 2 2解： tan3 x secxdx tan2 x tan x secxdx tan2 xd secx(sec2 x 1)d secx1 思路:凑微分 11

21、x2 dx d( arccosx)。解：10arccosxdx1 x2arccosx10 d arccosx10arccos xln10C. (29)dx(arcsinx) 2 1 x2dx解：d arcsinx(arcsin x)2 1 x2(arcsinx)arcsin x (30) arctan xdx x(1 x)思路:凑微分 arctan xdx 2arctan 2x d x 2arctan xd(arctan x)。 x(1 x) 1 ( x) 2解 ： arctan x dx 2arctan 2x d x 2arctan xd (arctan x) x(1 x) 1 ( x)2

22、(31)ln tan xcos x sin xdx2sec x ，思路: 被积函数中间变量为 tan x ，故须在微分中凑出 tanx ，即被积函数中凑出ln tanxln tanxln tanx解： dx 2 dx d tanxln tan xd (ln tanx)cos x sin xcos2 x tan xtan x (32) 1 ln x2 dx(xln x)2思路: d(xln x) (1 ln x)dx解： 1 ln x2dx 1 2d(xln x) 1C(x ln x)2(xln x)2xln x (33) dx x1 ex解：方法一：思路: 将被积函数的分子分母同时除以ex ，

23、则凑微分易得方法二：思路 : 分项后凑微分方法三：裂项后凑微分思路: 将被积函数的分子分母同时乘以 ex ， (34)d6 xx(x6 4)解：方法 思路： 分项后凑积分 方法二：思路: 利用第二类换元法的倒代换11令 x 1 ，则 dx12 dt 。t t 2 (35)dxx8(1 x2 )解：方法 思路： 分项后凑积分 方法二： 思路 : 利用第二类换元法的倒代换11令 x ，则 dx2 dt 。(t6t4t2 1)dt(t2C.(或 arcsin x 1 1 x C ) x1)dt(t6 t 41715131t111t7t5t3 tln |C77532t17 x7t2 1)dt 12 (

24、t 11 t 11)dt3、求下列111111ln21x|11 xx | C5 x53 x3x不定积分 知识点：（真正的换元，主要是三角换元）第二种换元积分法的练习。思路分析 ：题目特征是 被积函数中有二次根式， 如何化无理式为有理式？三角函数中，下列二恒等式起到了重要的作用。为保证替换函数的单调性，通常将交的范围加以限制，以确保函数单调。不妨将角的范围统统限制在锐角范围内，得出新变量的表达式，再形式化地换回原变量即可。 (1)dx112x思路:令xsin t, t2 ，先进行三角换元，分项后，再用三角函数的升降幂公式。解 ：令 xsint,t2 ，则dx costdtt tan t C ar

25、csin x2万能公式tan t2sin t1 cost1 cos t ， sin t又 sint x 时， cost 1 x2 ) (2)x 2 9 dxx思路: 令 x 3sec t , t (0, ) ，三角换元。2解：令 x 3sect,t (0, ) ，则 dx 3sect tan tdt 。2x 3secx时， cosx 3,sin xx2 9,tanx x2 9 )xx (3)dx思路:令xtan t, t2 ，三角换元。解 ：令 xtant, t ，则 dx sec2 tdt 。 (4)dx(x2 a2)3思路:令xatant, t ，三角换元。解 ：令 xatant,t 2，

26、则dx asec2tdt 。 (5)思路: 先令ux2 ，进行第一次换元；然后令tant , t，进行第二次换元。22解：Q * x1 dx 1 x 1 dx2，令 ux x4 1 2 x2 x4 1x2得：x 1 dx 1 u 1 du ，令 u tan t , tx x4 1 2 u u2 12，则du sec2 tdt ，与课本后答案不同） (6) 5 4 x x2 dx思路: 三角换元 ，关键配方要正确。解：Q 5 4x x2 9 (x 2)2，令 x 2 3sin t, t ，则 dx 3costdt 。 4、求一个函数 f(x) ,满足 f (x) 1 ，且 f(0) 1。1x思路

27、:求出 1 的不定积分，由条件 f(0) 1确定出常数C 的值即可。1x11解：Qdxd (x 1) 2 1 x C.1 x 1 x令 f (x) 2 1 x C ，又 f (0) 1，可知 C 1 ， 5、设 Intann xdx, ，求证： In1 tann 1x I n-2 ，并求 tan5 xdx。n1思路:由目标式子可以看出应将被积函数 tann x 分开成 tann 2 xtan2 x ，进而写成：tann 2 x(sec2 x 1) tann 2 xsec2 x tann 2 x ，分项积分即可。证明：Intann xdx (tann 2 xsec2 x tann 2 x)dx

28、tann 2 xsec2 xdx tann 2 xdx习题 4-31 、求下列不定积分：知识点： 基本的分部积分法的练习。思路分析 ：严格按照“反、对、幂、三、指顺序，越靠后的越优先纳入到微分号下凑微 分。”的原则进行分部积分的练习x0优先(1) arcsin xdx思路: 被积函数的形式看作 x0 arcsin x ，按照“反、对、幂、三、指”顺序，幂函数纳入到微分号下，凑微分后仍为 dx解： arcsin xdx x arcsin x (2) ln(1 x2)dx思路：同上题。解： ln(1 x2)dx x ln(1 x2 )2x 2 dxx22x ln(1 x2)2x2x2dx （3）

29、arctanxdx思路：同上题。解： arctan xdx xarctan xdxx 1 x21 d (1 x2)x arctan x 22 1 x2(4) e 2x sin x2dx思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解：Q e 2x sin xdx sin xd( 1e2x)1e2xsinx 1 e 2x1cosxdx2 2 2 2 2 2 2 2 (5) x2 arctanxdx思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可解：2x31 3 1 3 1x2 arctan xdxarctan xd ( )x3 arctan xx32dx3 3 3 1 x2(6)xx c

30、os dx2思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解：x cos xdx2 xd sin x 2 xsin x2 sin xdx2x sin x4 sin xdx2 2 2 2 2 22 (7) x tan2 xdx思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可2 2 2 2解： x tan2 xdxx(sec2 x 1)dx (x sec2 x x)dx xsec2 xdx xdx (8) ln 2 xdx思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可解： ln 2 xdx xln2 x1 2 2 1 2ln x dx xln x 2 ln xdx xln x 2xln

31、 x 2 x dx x (9) x ln(x 1)dx思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可解： x ln(x 1)dx2x ln( x 1)d21 2 1 xx 2 ln( x 1) dx2 2 x 1 (10) ln 2xdxx2思路：严格按照“反、对、幂、指”顺序凑微分即可解：ln22xdxxln 2 xd( 1)x1 2 111 2 ln xln x 2ln x dx ln x 2 2 dxx xxx x (11) cosln xdx思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可解：Q cosln xdx x cosln x x sin ln x dx xcosln x

32、 sin ln xdx x (12) ln2xdxx2思路：详见第 (10) 小题解答中间，解答略 (13) xn lnxdx (n 1)思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。xn 11 1 1n n 1 n1 解： xn ln xdxln xd xn 1 ln xxn 1 dxn 1 n 1 (14) x2e xdx 思路：严格按照“反、对、幂、三、 解： x2e xdx x2e x e x2xdx (15) x3(ln x)2dx 思路：严格按照“反、对、幂、三、 解： x3(ln x)2dx(lnx)2d( x4)n 1 x指”顺序凑微分即可。x2e x 2xe x 2 e

33、 xdx 指”顺序凑微分即可。1 4 2 1 4 1x (ln x) x 2ln x dx4 4 x4(16) lnln xdxx思路：将积分表达式 ln ln x dx写成ln ln xd(ln x)，将ln x看作一个整体变量积分即可。 x解： ln ln x dxln ln xd (ln x) lnxlnlnx lnx 1 1dx ln x ln ln x 1dxx ln x x x (17) x sin x cosxdx思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可解： x sin x cos xdx1x sin 2xdx211xd(cos 2 x)2211xcos2xcos 2

34、xdx44 (18) x2 cos2 xdx2思路：先将cos2 x降幂得1 cos x ，然后分项积分；第二个积分严格按照“反、对、 幂、三 22指”顺序凑微分即可。解： x2 cos2 2xdx12x221x2cosx)dx1 x2dx 1 x2 cosxdx22 (19) (x2 1)sin 2xdx思路：分项后对第一个积分分部积分解： (x2 1)sin 2xdxx2 sin 2xdx sin 2xdxx2d(1 cos2 x)2cos2x2 (20) e x dx思路：首先换元，后分部积分 解：令t 3 x ，则x t3,dx 3t2dt, (21) (arcsin x)2dx思路：

35、严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可解： (arcsin x)2dx x(arcsin x)2x 2arcsin2 xdx1 x2x(arcsinx)2 2 1 x2 arcsin x 2 1 x21 dx1 x2 x(arcsinx)2 2 1 x2 arcsin x 2 dx x(arcsin x)2 2 1 x2 arcsin x 2x C.(22) ex sin 2 xdx思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解：方法一：方法二： (23) ln(1 x)dxx思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解： ln(1 x)dx ln(1 x)d(2 x)

36、=2 xln(1 x) 2 x dxx 1 x令t x ，则dx 2tdt,所以原积分ln(1xx)dx 2 x ln(1 x) 4 x 4arctan x C (24)ln(1 xex)dxex思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可解： ln(1 x e )dxln(1 ex )d( e x)exxe x ln(1 ex )e x e x dxx1e注：该题中11 x dx 的其他计算方法可参照习题 4-2 ， 2（ 33）。1 e x (25)1xx lndx1x思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可 思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。1x解： x

37、 ln 1 xdx1xln11 xxd(12 x2)1 x2ln1 x1 2 1 x 1 x 1 xx 2 dx2 1 x (1 x)2注 ： 该题也可以化为x ln 1 xdx xln(1 x) ln(1 x)dx 再利用分部积分法计算 1x (26)dxsin 2x cos x思路 ：将被积表达式dxsin 2xcos x写成dx2sin x cos2 xsec2 xdx2sin xd tan x2sin x，然后分部积分即可解：dxsin 2x cosxdx2sin x cos2 xsec2 xdx2sin xd tan x2sin x解： xe3xdxxd(1e3x)1 xe3x1 e

38、3xdx1xe3x1 e3xd3x3 3339(2) ( x 1)ex dx 思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解： (x 1)exdx ( x 1)dex (x 1)ex exdx xex C 。2 (3) x2 cosxdx 思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解： x2cosxdxx2dsinx x2sinx 2 xsin xdx x2 sinx 2(4) (x2 1)e x dx思路：分项后分部积分即可。解： (x2 1)e xdx x2e xdx e xdx x2d( e x ) e x dx (5) xln( x 1)dx 思路：严格按照“反、对、

39、幂、三、指”顺序凑微分即可。1 2 1 2 1 x2解： xln(x 1)dx ln(x 1)d( x2)x2 ln(x 1)- dx2 2 2 x 11 (x 1)e3x C.33xd cosx(6) e x cos xdx条件告诉f (x)dx xf ( x) f (x) C.又Q f ( x)= e ,xf (x)= xexex( x 1)2xxf (x)= ex(x1) 5、设 Idx，(n n sin x2) ；证明：In1 cosxn1n 1 sin xn 2In 2。n1思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解：Q e 4、已知 f (x)= e ，求 xf ( x

40、)dx。x知识点： 仍然是分部积分法的练习。思路分析 ：积分 xf (x)dx中出现了 f ( x ) ，应马上知道积分应使用分部积分 解：Q xf (x)dx xd( f ( x) xf (x) cosxdx cos xd( e x) e xcosx e x sin xdx 3、已知 sin x 是 f (x) 的原函数，求 xf ( x)dx。x知识点： 考察原函数的定义及分部积分法的练习。思路分析 ：积分 xf ( x)dx中出现了 f (x) ，应马上知道积分应使用分部积分， 你 sin x 是 f (x) 的原函数，应该知道 f (x)dx sin x C.xx解：Q xf (x)d

41、x xd(f ( x)= xf ( x) f (x)dxsinx xcosx sinx xcosx sin x又Q f (x)dxC, f ( x)2 , xf (x) ;xx2x知识点： 仍然是分部积分法的练习思路分析：要证明的目标表达式中出现了 In， cons1x 和In 2 提示我们如何在被积函数的表 sin n 1 x达式 1n 中变出 cons1x 和 n1 2 呢？这里涉及到三角函数中 1的变形应用，初等数学 n n 1 n 2 sin x sin x sin x中有过专门的介绍，这里 1可变为 sin2 x cos2 x证明： Q 1= sin2 x cos2 xIndxsin

42、2 xInnsin x2cos xsin xInnsin x2cos2 xdx2cos xn dx sin x2sin xn dxsin x2cos xn dxsin xsinn12xdxcosxn sin x sin xcosxn-1sin xcosxn1sin xn1sin xIn2cosxcosxn d sin x sin xnsin x sin x n sin2cos xn dx sin xnI n nIn 2n1sin xn 2 Innn16、设 f( x) 为单调连续函数，x cos2 x2nsin xdxInInIn2.cosxsinn 1 xcosxn1sin xnIn(nf

43、-1(x) 为其反函数，且2sin xn dx I n sin x2)In 2f (x)dx F (x) C ，求： f 1( x)d x知识点： 本题考察了一对互为反函数的函数间的关系，还有就是分部积分法的练习思路分析 ：要明白 x f ( f 1(x) 这一恒等式，在分部积分过程中适时替换。解：Q f -1( x)d x=x f -1( x)- xd(f -1( x)又Q x f ( f 1( x)又Q f (x)dx F(x) C习题 4-41 、 求下列不定积分 知识点： 有理函数积分法的练习 思路分析 ：被积函数为有理函数的形式时， 要区分被积函数为有理真分式还是有理假分式， 若是假

44、分式，通常将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，然后再具体问题具 体分析。3 (1) x dx x3思路：被积函数为假分式，先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，然后分项积分解：3xQx3x 3 27 27x33x 927x354 (2)dxxx3xx思路：被积函数为假分式，先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，然后分 项积分。解：54xx83xx( x5 x3) (x4 x2 ) ( x3 x) x2 x 83xx2x x 83xx而 x3 x x( x 1)(x 1),2令 x 3 x 8 A B C ，等式右边通分后比较两边分子 x的同次项的系数得： x3 x

45、 x x 1 x 1A8ABCC B 1 解此方程组得： B 4A 8 C 33 (3) 33 dxx3 1思路：将被积函数裂项后分项积分。解：Q x3 1 ( x 1)(x2 x1)，令 33AB2 x C 等式右边通分后比较两边分子 xx3 1 x 1 x 2 x 1的同次项的系数得：A+B=0A1B+C-A=0解此方程组得：B1A+C=3C2 (4) x 13 dx( x 1)3思路：将被积函数裂项后分项积分解：令(xx11)3Ax1B( x 1)2C( x 1)3，等式右边通分后比较两边分子 x 的同次项的系数得：A 0,2A1, ABC1，解此方程组得：A 0,B 1, C 2 。 (5)3x 23 dxx(x 1)3思路：将被积函数裂项后分项积分解：Q x3(xx 12)3(x31)3x( x2 1)3，令 x(x 1)3Bx1CD23 (x 1)2 (x 1)3等式右边通分后比较两边分子 x 的同次项的系数得：AB0A23 A 2BC0B20 解此方程组得：3 A B CD0C2A2D2 (6)xdx2(x2)( x 3)2思