第三讲离散时间系统

1、第1章 离散时间信号与系统 第三讲离散时间系统 1.2 连续时间信号的采样连续时间信号的采样 1.3 离散时间系统时域分析离散时间系统时域分析 1.4 常系数差分方程常系数差分方程 第三讲第三讲 离散时间系统离散时间系统 第1章 离散时间信号与系统 第三讲离散时间系统 采样器可以看成是一个电子开关采样器可以看成是一个电子开关,设开关每隔设开关每隔T秒短暂地闭秒短暂地闭 合一次，一般开关闭合时间都是很短的，每次闭合的时间为合一次，一般开关闭合时间都是很短的，每次闭合的时间为 秒秒,而且而且越小，采样输出脉冲的幅度就越准确地反映输入信号越小，采样输出脉冲的幅度就越准确地反映输入信号 在离散时间点上

2、的瞬时值。当在离散时间点上的瞬时值。当2h），这就），这就 是奈奎斯特采样定理。是奈奎斯特采样定理。 即即 fs2fh 频率频率h一般称为奈奎斯特频率，而频率一般称为奈奎斯特频率，而频率2h称为奈奎斯特率。称为奈奎斯特率。 采样频率必须大于奈奎斯特率。采样频率必须大于奈奎斯特率。 在实际工作中，为了避免频谱混淆现象发生，采样频率总在实际工作中，为了避免频谱混淆现象发生，采样频率总 是选得比奈奎斯特频率更大些，例如选到是选得比奈奎斯特频率更大些，例如选到(34)h。同时为了避。同时为了避 免高于折叠频率的杂散频谱进入采样器造成频谱混淆，一般在免高于折叠频率的杂散频谱进入采样器造成频谱混淆，一般在

3、 采样器前加入一个保护性的前置低通滤波器，称为防混叠滤波采样器前加入一个保护性的前置低通滤波器，称为防混叠滤波 器，其截止频率为器，其截止频率为s/2，以便滤除掉高于，以便滤除掉高于s/2 的频率分量。的频率分量。 第1章 离散时间信号与系统 第三讲离散时间系统 同样方法，可以证明（将同样方法，可以证明（将j=s代入），理想采样后，使信代入），理想采样后，使信 号的拉普拉斯变换在号的拉普拉斯变换在S平面上沿虚轴周期延拓。平面上沿虚轴周期延拓。 也就是说也就是说, 在在S平面虚轴上是周期函数。即有平面虚轴上是周期函数。即有 )( sX a k saa jksX T sX)( 1 )( 式中：式中

4、： dtetxsX dtetxsX st aa st aa )()( )()( 即即 分别是分别是 的双边拉普拉斯变换。的双边拉普拉斯变换。)( )(sXsX aa 、 )()(txtx aa 、 k saa jkjX T jX)( 1 )( 第1章 离散时间信号与系统 第三讲离散时间系统 1.2.3 采样的恢复采样的恢复 如果理想采样满足奈奎如果理想采样满足奈奎 斯特定理，则采样后不会产斯特定理，则采样后不会产 生频谱混叠生频谱混叠 2 |)( 1 )( s aa jX T jX Xa(j) o ss2s S(j) s o s2s s o s2s )j ( a X )j ( a X (a)

5、(b) (c) (d) s o s2s 2 T 2 T k saa jkjX T jX)( 1 )( 第1章 离散时间信号与系统 第三讲离散时间系统 图1-12 采样的恢复 H(j) h(t) H(j) T s / 2 )(atxy(t) xa(t) o 故将故将 通过一个理想低通滤波器，这个理想低通滤波器应通过一个理想低通滤波器，这个理想低通滤波器应 该只让基带频谱通过，因而其带宽应该等于折叠频率，它的特该只让基带频谱通过，因而其带宽应该等于折叠频率，它的特 性如图性如图1-12所示。所示。 )( jX a Xa(j) o ss2s S(j) s o s2s s o s2s )j ( a X

6、 )j ( a X (a) (b) (c) (d) s o s2s 2 T 2 T 第1章 离散时间信号与系统 第三讲离散时间系统 2 |0 2 | )( s s T jH 采样信号通过这个滤波器后，就可滤出原模拟信号的频谱采样信号通过这个滤波器后，就可滤出原模拟信号的频谱 )()()( )(jXjHjXjY aaa 因此，在输出端可以得到原模拟信号因此，在输出端可以得到原模拟信号 )()(txty aa 理想低通滤波器虽不可实现，但是在一定精度范围内，可用一个理想低通滤波器虽不可实现，但是在一定精度范围内，可用一个 可实现的滤波器来逼近它。可实现的滤波器来逼近它。 第1章 离散时间信号与系统

7、 第三讲离散时间系统 1.2.4 由采样信号序列重构带限信号由采样信号序列重构带限信号 理想低通滤波器的冲激响应为理想低通滤波器的冲激响应为 Tt Tt t de T dejHth s s tjtj s s / )/sin( 2/ ) 2/sin( 2 )( 2 1 )( 2/ 2/ 由由 与与h(t)的卷积积分，即得理想低通滤波器的输出为的卷积积分，即得理想低通滤波器的输出为 )( t xa 第1章 离散时间信号与系统 第三讲离散时间系统 )()( )()()( )()()( )()()( nTthnTx dnTthx dthnTtx dthxty a n a n n a aa 这里这里h(

8、t-nT)称为内插函数：称为内插函数： TnTt TnTt nTth / )( / )(sin )( 第1章 离散时间信号与系统 第三讲离散时间系统 它的波形如图它的波形如图1-13所示，其特点为：在采样点所示，其特点为：在采样点nT上，函数上，函数 值为值为1; 其余采样点上，函数值都为零。其余采样点上，函数值都为零。 图图 1-13 内插函数内插函数 (n3) T (n2) T (n1) T nT (n1) T (n2) T (n3) T t TnTt TnTt / )( / )(sin 第1章 离散时间信号与系统 第三讲离散时间系统 由于由于ya(t)=xa(t)，因此以上卷积结果也可以

9、表示为，因此以上卷积结果也可以表示为 TnTt TnTt nTxtx n aa / )( / )(sin )()( (1-36) 式（式（1-36）称为采样内插公式，即信号的采样值）称为采样内插公式，即信号的采样值xa(nT)经此公式而经此公式而 得到连续信号得到连续信号xa(t)。 也就是说，也就是说，xa(t)等于各等于各xa(nT)乘上对应的内插乘上对应的内插 函数的总和。在每一采样点上，只有该点所对应的内插函数不为零，函数的总和。在每一采样点上，只有该点所对应的内插函数不为零， 这使得各采样点上信号值不变，而采样点之间的信号则由加权内插这使得各采样点上信号值不变，而采样点之间的信号则由

10、加权内插 函数波形的延伸叠加而成。这个公式说明了，只要采样频率高于两函数波形的延伸叠加而成。这个公式说明了，只要采样频率高于两 倍信号最高频率，则整个连续信号就可以完全用它的采样值来代表，倍信号最高频率，则整个连续信号就可以完全用它的采样值来代表， 而不会丢掉任何信息。这就是奈奎斯特采样定理的意义。由上面讨而不会丢掉任何信息。这就是奈奎斯特采样定理的意义。由上面讨 论可看出采样内插公式只限于使用到限带（频带有限）信号上。论可看出采样内插公式只限于使用到限带（频带有限）信号上。 第1章 离散时间信号与系统 第三讲离散时间系统 1.3 离散时间系统时域分析离散时间系统时域分析 一个离散时间系统是将

11、输入序列变换成输出序列的一种运 算。若以T来表示这种运算，则一个离散时间系统可由图 1-15来表示，即 )()(nxTny 离散时间系统中最重要、 最常用的是“线性时不变系统”。 T x(n)y(n) 第1章 离散时间信号与系统 第三讲离散时间系统 1.3.1 线性系统线性系统 满足叠加原理的系统称为线性系统，即若某一输入是由满足叠加原理的系统称为线性系统，即若某一输入是由N个个 信号的加权和组成，则输出就是系统对这几个信号中每一个的响信号的加权和组成，则输出就是系统对这几个信号中每一个的响 应的同样加权和组成。应的同样加权和组成。 )()( )()( 22 11 nxTny nxTny )(

12、)()()()()( 212121 nynynxTnxTnxnxT )()()(naynxaTnaxT )()()()()()( 221122112211 nyanyanxTanxTanxanxaT kk kkkk k kk nxanxTanxaT)()()( 第1章 离散时间信号与系统 第三讲离散时间系统 例例1-1 以下系统是否为线性系统：以下系统是否为线性系统： y(n)=2x(n)+3 很容易证明这个系统不是线性的，很容易证明这个系统不是线性的， 因为此系统不满足叠加原理。因为此系统不满足叠加原理。 3)()( 2)()( 22112211 nxanxanxanxaT 212211 2

13、2112211 33)()( 2 3)(23)(2)()( aanxanxa nxanxanyanya 证证 很明显，很明显， 在一般情况下在一般情况下 )()()()( 22112211 nyanyanxanxaT 所以此系统不满足叠加性，所以此系统不满足叠加性， 故不是线性系统。故不是线性系统。 在证明一个系统是线性系统时，必须证明此系统同时在证明一个系统是线性系统时，必须证明此系统同时 满足可加性和比例性，而且信号以及任何比例常数都可以满足可加性和比例性，而且信号以及任何比例常数都可以 是复数。是复数。 第1章 离散时间信号与系统 第三讲离散时间系统 同样可以证明， 2 ( )( )(

14、)( )sin 97 m y nx my nx nn 和都是线性系统 第1章 离散时间信号与系统 第三讲离散时间系统 1.3.2 时不变系统时不变系统 系统的运算关系系统的运算关系T在整个运算过程中不随时间（也即在整个运算过程中不随时间（也即 不随序列的延迟）而变化，这种系统称为时不变系统（或称移不随序列的延迟）而变化，这种系统称为时不变系统（或称移 不变系统）。不变系统）。 这个性质可用以下关系表达：若输入这个性质可用以下关系表达：若输入x(n)的输出为的输出为y(n)， 则则 将输入序列移动任意位后，将输入序列移动任意位后， 其输出序列除了跟着移位外，其输出序列除了跟着移位外， 数值数值

15、应该保持不变，即应该保持不变，即 若若Tx(n)=y(n)则则 Tx(n-m)=y(n-m) （m为任意整数）为任意整数） 满足以上关系的系统就称为时不变系统。满足以上关系的系统就称为时不变系统。 第1章 离散时间信号与系统 第三讲离散时间系统 例例1-2 证明证明 79 2 sin)()( n nxny 2 ()()sin 97 2 () ()()sin 97 n T x nmx nm nm y nmx nm 不是时不变系统。不是时不变系统。 证证 由于二者不相等，故不是时不变系统。由于二者不相等，故不是时不变系统。 同时具有线性和时不变性的离散时间系统称为线性时不变同时具有线性和时不变性的

16、离散时间系统称为线性时不变 （LTI）离散时间系统，简称）离散时间系统，简称LTI系统。除非特殊说明，本书都是系统。除非特殊说明，本书都是 研究研究LTI系统。系统。 第1章 离散时间信号与系统 第三讲离散时间系统 1.3.3 单位脉冲响应与系统的输入输出关系单位脉冲响应与系统的输入输出关系 线性时不变系统可用它的单位脉冲响应来表征。线性时不变系统可用它的单位脉冲响应来表征。 单位脉冲单位脉冲 响应是指输入为单位脉冲序列时系统的输出。一般用响应是指输入为单位脉冲序列时系统的输出。一般用h(n)表示单表示单 位脉冲响应，即位脉冲响应，即 h(n)=T(n) 有了有了h(n)我们就可以得到此线性时

17、不变系统对任意输入的输出。我们就可以得到此线性时不变系统对任意输入的输出。 下面讨论这个问题：下面讨论这个问题： 设系统输入序列为设系统输入序列为x(n)，输出序列为，输出序列为y(n)。任一序列。任一序列x(n)可可 以写成以写成(n)的移位加权和，的移位加权和， 即即 m mnmxnx)()()( 第1章 离散时间信号与系统 第三讲离散时间系统 则系统的输出为则系统的输出为 m mnmxTnxTny)()()()( 由于系统是线性的，由于系统是线性的， 可利用叠加原理，可利用叠加原理， 则则 mm mnTmxmnmxT)()()()( 又由于系统的时不变性，对移位的单位脉冲的响应就是单位脉

18、又由于系统的时不变性，对移位的单位脉冲的响应就是单位脉 冲响应的移位。冲响应的移位。 )()(mnhmnT 因此因此 m nhnxmnhmxny)()()()()( 第1章 离散时间信号与系统 第三讲离散时间系统 上式称为序列上式称为序列x(n)与与h(n)的离散卷积，为了同以后的圆周的离散卷积，为了同以后的圆周 卷积相区别，离散卷积也称为卷积相区别，离散卷积也称为“线性卷积线性卷积”或或“直接卷积直接卷积” 或简称或简称“卷积卷积”，并以，并以“*”表示之。表示之。 图图 1-16 线性时不变系统线性时不变系统 h(n) x(n) y(n)x(n) h(n) * m nhnxmnhmxny)

19、()()()()( 第1章 离散时间信号与系统 第三讲离散时间系统 图 1-17 离散卷积 x(m) 0123 1 1/2 3/2 m h(m) m 1 012 1 h(0m) m120 1 2 n 0翻 褶 第1章 离散时间信号与系统 第三讲离散时间系统 图 1-17 离散卷积 h( 1 m) m120 1 2 3 n 1 0左 移 h(1 m) m n 1 0右 移 120 13 y(n) n 120 13456 1/2 3/2 3 5/2 3/2 第1章 离散时间信号与系统 第三讲离散时间系统 （1） 翻褶：先在哑变量坐标m上作出x(m)和h(m)， 将h(m)以 m=0 的垂直轴为对称

20、轴翻褶成h(-m)。 （2） 移位：将h(-m)移位n，即得h(n-m)。当n为正整数时， 右移n位; 当n为负整数时，左移n位。 （3） 相乘：再将h(n-m)和x(m)的相同m值的对应点值相乘。 （4） 相加：把以上所有对应点的乘积累加起来， 即得y(n) 值。 依上法，取n=, -2, -1, 0, 1, 2, 各值，即可得全部y(n)值。 第1章 离散时间信号与系统 第三讲离散时间系统 由卷积公式不难看出，卷积与两序列的先后次序无关。由卷积公式不难看出，卷积与两序列的先后次序无关。 证证 令令n-m=m代入下式，代入下式， 然后再将然后再将m换成换成m， 即得即得 )()()()()(

21、nxnhmnxmhny n 因此因此 )()()()()(nxnhnhnxny 第1章 离散时间信号与系统 第三讲离散时间系统 1.3.4 线性时不变系统的性质线性时不变系统的性质 1 交换律交换律 由于卷积与两卷积序列的次序无关，由于卷积与两卷积序列的次序无关， 即卷积服从交换律，即卷积服从交换律， 故故 )()()()()(nxnhnhnxny 这就是说，如果把单位脉冲响应这就是说，如果把单位脉冲响应h(n)改作为输入，而把输入改作为输入，而把输入x(n) 改作为系统单位脉冲响应，则输出改作为系统单位脉冲响应，则输出y(n)不变。不变。 第1章 离散时间信号与系统 第三讲离散时间系统 2

22、结合律结合律 可以证明卷积运算服从结合律，即可以证明卷积运算服从结合律，即 )()()( )()()( )()()()()()( 21 12 2121 nhnhnx nhnhnx nhnhnxnhnhnx 这就是说，两个线性时不变系统级联后仍构成一个线性时这就是说，两个线性时不变系统级联后仍构成一个线性时 不变系统，其单位脉冲响应为两系统单位脉冲响应的卷积，且不变系统，其单位脉冲响应为两系统单位脉冲响应的卷积，且 线性时不变系统的单位脉冲响应与它们的级联次序无关，如图线性时不变系统的单位脉冲响应与它们的级联次序无关，如图 1-18所示。所示。 第1章 离散时间信号与系统 第三讲离散时间系统 图

23、 1-18 具有相同单位脉冲响应的三个线性时不变系统 h1(n)h2(n) h2(n)h1(n) h1(n) h2(n) x(n) x(n) x(n) y(n) y(n) y(n) * 第1章 离散时间信号与系统 第三讲离散时间系统 3 分配律分配律 卷积也服从加法分配律：卷积也服从加法分配律： )()()()()()()( 2121 nhnxnhnxnhnhnx 也就是说，两个线性时不变系统的并联等效系统的单位脉也就是说，两个线性时不变系统的并联等效系统的单位脉 冲响应等于两系统各自单位脉冲响应之和冲响应等于两系统各自单位脉冲响应之和, 如图如图1-19所示。所示。 第1章 离散时间信号与系

24、统 第三讲离散时间系统 图1-19 线性时不变系统的并联组合及其等效系统 h1(n) h2(n) h1(n) h2(n) y(n)x(n) x(n)y(n) 第1章 离散时间信号与系统 第三讲离散时间系统 1.3.5 因果系统因果系统 所谓因果系统，就是系统此时的输出所谓因果系统，就是系统此时的输出y(n)只取决于此时，只取决于此时， 以及此时以前的输入，即以及此时以前的输入，即x(n), x(n-1), x(n-2), 。如果系统的输。如果系统的输 出出y(n)还取决于还取决于x(n+1), x(n+2), ，也即系统的输出还取决于未，也即系统的输出还取决于未 来的输入，这样在时间上就违背了

25、因果关系，因而是非因果系来的输入，这样在时间上就违背了因果关系，因而是非因果系 统，统， 也即不现实的系统。也即不现实的系统。 根据上述定义，可以知道，根据上述定义，可以知道，y(n)=nx(n)的系统是一个因果系的系统是一个因果系 统，而统，而y(n)=x(n+2)+ax(n)的系统是非因果系统。的系统是非因果系统。 第1章 离散时间信号与系统 第三讲离散时间系统 从式卷积公式，我们可以看到线性时不变系统是因果系从式卷积公式，我们可以看到线性时不变系统是因果系 统的充分必要条件统的充分必要条件 h(n)=0 n0 依照此定义，我们将依照此定义，我们将n0，x(n)=0 的序列称为因果序列，的

26、序列称为因果序列， 表示这个因果序列可以作为一个因果系统的单位脉冲响应。表示这个因果序列可以作为一个因果系统的单位脉冲响应。 第1章 离散时间信号与系统 第三讲离散时间系统 我们知道，许多重要的网络，如频率特性为理想矩形的理我们知道，许多重要的网络，如频率特性为理想矩形的理 想低通滤波器以及理想微分器等都是非因果的不可实现的系统。想低通滤波器以及理想微分器等都是非因果的不可实现的系统。 但是数字信号处理往往是非实时的，即使是实时处理，也允许但是数字信号处理往往是非实时的，即使是实时处理，也允许 有很大延时。这是对于某一个输出有很大延时。这是对于某一个输出y(n)来说，已有大量的来说，已有大量的

27、“未来未来” 输入输入x(n+1), x(n+2), ，记录在存储器中可以被调用，因而可以，记录在存储器中可以被调用，因而可以 很接近于实现这些非因果系统。也就是说，可以用具有很大延很接近于实现这些非因果系统。也就是说，可以用具有很大延 时的因果系统去逼近非因果系统。这个概念在以后讲有限长单时的因果系统去逼近非因果系统。这个概念在以后讲有限长单 位脉冲响应滤波器设计时要常用到，这也是数字系统优于模拟位脉冲响应滤波器设计时要常用到，这也是数字系统优于模拟 系统的特点之一。因而数字系统可以比模拟系统更能获得接近系统的特点之一。因而数字系统可以比模拟系统更能获得接近 理想的特性。理想的特性。 第1章

28、 离散时间信号与系统 第三讲离散时间系统 1.3.6 稳定系统稳定系统 稳定系统是指有界输入产生有界输出（稳定系统是指有界输入产生有界输出（BIBO）的系统。如）的系统。如 果对于输入序列果对于输入序列x(n)，存在一个不变的正有限值，存在一个不变的正有限值Bx，对于所有，对于所有n 值满足值满足 |x(n)|Bx 则称该输入序列是有界的。稳定性要求对于每个有界输入则称该输入序列是有界的。稳定性要求对于每个有界输入 存在一个不变的正有限值存在一个不变的正有限值By，对于所有，对于所有n值，输出序列值，输出序列y(n)满足满足 |y(n)|By 第1章 离散时间信号与系统 第三讲离散时间系统 一

29、个线性时不变系统是稳定系统的充分必要条件是单位脉一个线性时不变系统是稳定系统的充分必要条件是单位脉 冲响应绝对可和，冲响应绝对可和， 即即 n nhS| )(| 证证 充分条件：充分条件： n nhS| )(|若若 如果输入信号如果输入信号x(n)有界，即对于所有有界，即对于所有n皆有皆有|x(n)|Bx，则，则 k xxx mm SBkhBmnhB mnhmxmnhmxny | )(| )(| | )(| )(|)()(| )(| 即输出信号即输出信号y(n)有界，故原条件是充分条件。有界，故原条件是充分条件。 第1章 离散时间信号与系统 第三讲离散时间系统 必要条件：利用反证法。已知系统稳

30、定，假设必要条件：利用反证法。已知系统稳定，假设 n nh| )(| 我们可以找到一个有界的输入我们可以找到一个有界的输入 0)(0 0)( | )(| )( )( nh nh nh nh nx 输出输出y(n)在在n=0 这一点上的值为这一点上的值为 m mm mh mhmhmxy | )(| | )(|)()()0( 第1章 离散时间信号与系统 第三讲离散时间系统 也即也即y(0)是无界的，这不符合稳定的条件，因而假设不成是无界的，这不符合稳定的条件，因而假设不成 立。所以立。所以 是稳定的必要条件。是稳定的必要条件。 要证明一个系统不稳定，只需找一个特别的有界输入，如要证明一个系统不稳定，只需找一个特别的有界输入，如 果此时能得到一个无界的输出，那么就一定能判定一个系统是果此时能得到一个无界的输出，那么就一定能判定一个系统是 不稳定的。不稳定的。 但是要证明一个系统是稳定的，就不能只用某一个但是要证明一个系统是稳定的，就不能只用某一个 特定的输入作用来证明，而要利用在所有有界输入下都产生有特定的输入作用来证明，而要利用在所有有界输入下都产生有 界输出的办法来证明系统的稳定性。界输出的办法来证明系统的稳定性。 m mh| )(| 第1章 离散时间信号与系统 第三讲离散时间系统 显然，既满足稳定条件又满足因果条件的系统，显然，既满足稳定条件又满足因果条件的