北京市东城区2015-2016学年高二上学期期末考试数学理试卷含答案

1、北京市东城区2015-2016学年上学期高二年级期末考试数学试卷（理科）本试卷共100分，考试时长120分钟。一、选择题（本大题共 10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）1.已知A（-1,-3）, B（3,5），则直线AB的斜率为（A. 2B. 1C.-2.圆心为（-3,2）且过点A（1,-1）的圆的方程是（2 2A. (x -3)(y -2) =5C. (x _3)2(y -2)2 =25D.不存在）-5二 25m =（）D. 4F列说法正确的是（）B. (x 3广(y-2)D. (x 3)2 (y-2)3.已知直线x -2y，5=0与直线2x

2、 my -6 = 0互相垂直，贝U1A. - 1B.-44.已知m,n表示两条不同直线，C. 1-：表示平面，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A.若 m /，n /，贝U m / nC.若 m 丄-：,m 丄 n,贝V n 二2 25. 双曲线2x -y=8的实轴长是（A. 2B. 2.2C. 46. 一个四棱锥的底面为正方形B.若m丄，n二圧，贝y mnD.若 m / 二,m n,贝V n丄 J）D. 4. 2正（主MKHA. 1B. 2C. 3D. 4点，P是侧面BCG B1内一点，若A1 P 平面AEF,则线段 A P长度的取值范围是 2xy2 _ 07. 在平面直角坐标系 x

3、Oy中，M为不等式组x+2y-1王0，所表示的区域上一动点,3x + y - 8 兰 0则直线0M斜率的最小值为()11A.B.C.1D. 232258.已知抛物线C : y二x的焦点为 F, A(Xo,y)是C上一点，| AF |X。，则X。=4( )A. 1B. 2C.4D. 89.过点P ( 3,-1)的直线l与圆2x y2 =1有公共点，则直线1的倾斜角的取值范围是( )兀A. (刁B.(兮C.D.。弓10点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点 A的距离相等的点的轨迹不可能是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.直线二、填空题(本

4、大题共 6小题，每小题3分，共18分)2 211. 双曲线 =1的两条渐近线的方程为 。16912. 以等腰直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周，若等腰直角三角形的直角边长为1,则所得圆锥的侧面积等于 。13. 已知 a =(1,1,0),b =(1,0,2)，则 |2ab| =。14. 如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面 2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽米。2 215.设椭圆C :务占=1(a b 0)的左、右焦点分别为a b3F1，F2 P为直线xa上一点， F2PF1是底角为30。的等腰三角形，贝U C的离心率为 16. 如图，在棱长为1的正方体A

5、BCD - A1B1CQ1中，点E、F分别是棱BC, C。的中三、解答题(本大题共 5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17. (本小题满分10分)CD/平面 PAB如图，在四棱锥 P - ABCD中，底面ABCD是菱形，PA= PB,且侧面PAB丄平面ABCD, 点E是AB的中点。PEI AD。(I)求证：(H)求证：C10 分）18. (本小题满分已知圆C经过A(1,3), B(-1,1)两点，且圆心在直线 y二x上。(I)求圆C的方程；(H) 设直线|经过点(2, 2),且|与圆C相交所得弦长为 243，求直线|的方程。19. (本小题满分10分)已知平行四边形的两

6、条边所在直线的方程分别为x y - 1二0,3x - y 4 = 0，且它的对角线的交点为 M (3,3)，求这个平行四边形其他两边所在直线的方程。20. (本小题满分11分)如图，PA丄平面ABC, AB丄BC, AB = PA = 2BC = 2,M为PB的中点。(I) 求证：AM丄平面PBC;(n)求二面角 A - PC - B的余弦值；PD(川)证明：在线段 PC上存在点D,使得BD丄AC,并求D的值。PC21. (本小题满分11分)已知椭圆的中心在坐标原点 0,焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个 端点恰为一个正方形的顶点，过右焦点F与x轴不垂直的直线I交椭圆于P, Q两

7、点。(I)求椭圆的方程；(H)当直线I的斜率为1时，求 P0Q的面积；(川)在线段0F上是否存在点 M(m,0)，使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形？ 若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。【试题答案】、选择题I. A2. D6. B7. A【、填空题3II. y x43. C 4. B 5. C8. A 9. D 10. D12. 、2二13. 1714. 2 .615. 316.普日42三、解答题17.解：（I）因为底面 ABCD是菱形,所以 CD/ AB。2分又因为CD二平面PAB4分且AB二平面PAB所以CD/平面PAB5分（H）因为PA= PB,点E是AB的中点,所以

8、PE! AB。6分因为平面PAB丄平面ABCD,平面PAB 平面ABCD= AB,PE 平面PAB8分所以PE!平面ABCC。9分因为AD 平面ABCD,所以PEI AD。10分18.解：（I）设圆C的圆心坐标为(a,a),依题意，有.(a -1)2 (a -3)2 = . (a 1)2 (a -1)2 ,即 a2 -6a 9 = a2 2a 1,解得 a = 1,所以 r2 =(1 -1)2(3 一1)2 =4 ,4 分所以圆C的方程为(x _1)2 (y _1)2 =4。5分(H)依题意，圆 C的圆心到直线I的距离为1,所以直线x=2符合题意。6分设直线 I 方程为 y 2 二k(x 一2

9、)，即 kx 一 y 2k 一2 = 0,则 J k2_3 L =1，解得 k =4，k2134所以直线I的方程为y 2 = -一 (x - 2)，即4x 3y - 2 = 0。9分3综眉上，直线1的方程为x2=0或4x+3y 2=0。10分19.解：联立两条直线的方程，得到方程组x + y _1 =0,x y + 4 =0.r-3x =J解此方程组，得丿47y =-4如图，平行四边形37ABCD的一个顶点是 A()。2分4 4设C(xo，y)，由题意，点 M( 3，3)是线段AC的中点,X。-3yo -所以宁弋亍，2717解得 xo=?yo=：。由已知，直线AD的斜率kAD =3 ,因为直线

10、BC/ AD,1727所以，直线BC的方程为yli-EX-27）,44即 3x_y_16=0。7 分由已知，直线AB的斜率为kAB二-1。因为直线CD/ AB,1727所以，直线CD的方程为y 一 3 = _（x 一仝）,44即 x y -11 = 0。因此，其他两边所在直线的方程是3x_y_16=0,x y_11 = 0。10 分20.解：（I）因为 PA!平面ABC, BC二平面ABC, 所以PA! BC,因为 BC丄 AB, PA AB=A,所以BC丄平面PAB又AM二平面PAB,所以AM丄BC,因为PA= AB, M为PB的中点，所以AM丄PB,又 PB BC 二 B ,所以AM丄平面

11、PBG3分（H）如图，在平面 ABC内，作AZ/ BC,则AP, AB, AZ两两互相垂直，建立空间直角坐标系A-xyz ,则 A(0,0,0), P(2,0,0), B(0,2,0),C(0,2,1), M (1,1,0)。AP =(2,0,0), AC =(0,2,1), AM =(1,1,0),设平面APC的法向量为n =(x,y,z)，贝Un AP 二 0,n AC =0,x=0,2y + z = 0.所以 n =(0,1,-2)。由(I)可知 AM =(1,1,0)为平面BPC的法向量,设n, AM的夹角为：，则cos 10 ,10因为二面角A-PC-B为锐角,所以二面角 A - P

12、C - B的余弦值为一1010(n)设D(u,v,w)是线段pc上一点，且PD 二 PC(0 e 1)，即(u 2,v,w)二，(一2,2,1)，所以 u=2-2 ,v=2 ,w=，所以 BD =(2 -2，2 -2, )，4由 BD AC =0，得，。54D,使得BD丄AC,11分因为 0,1，所以在线段PC上存在点5此时，PD2x21解：(I)由已知，椭圆方程可设为2a因为两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为所以 b = c =1,a = . 2 。2所求椭圆方程为 y2 =1。2(n)因为直线I过椭圆右焦点F(1,0)，且斜率为1，所以直线l的方程为y = x - 1。设

13、 P(x1, y1), Q(x2, y2)。x?+2y2=221得3y十约一1，解得丫1=一1,丫2=-,y=x1,31 1 2所以 Spoq |OF | |yy2 |yi-y2|。6分匕 223(川)假设在线段OF上存在点M(m,0)(0 : m ：,1),使得以MP, MQ为邻边的平行四边形是菱形。因为直线|与x轴不垂直，所以设直线|的方程为y = k(x _ 1)(k厂0)。由！ 2 2x 2y 2,可得(1 2k2)x2-4k2x 2k2-2=0 , y =k(x 1),因为厶=16k4 4(1 2k2)(2k2 -2) =8(k21) 0 ,2 24k2k -2所以 x1 x22, x1 x22 。1 +2k21 +2k2设 P(