单调性极值与导数

1、)(2,+8 )( 8, 0) , (2 , +8 )C.(0,+8 )&+8 ) 同步测揑1 .函数y= x+ x的递增区间是()A. (0,+ )B . ( 8, 1)C. ( 8,+m )D . (1 , +8 )解析：选C.y = 3x2 + 1 0对于任何实数都恒成立.2. 命题甲：对任意 x (a, b),有f (x)0 ;命题乙：f(x)在(a, b)内是单调递增的.则 甲是乙的()A.充分不必要条件B .必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解析：选A.f(x)= x3在(1,1)内是单调递增的，但f (x) = 3x2 0( 1x0 得XV- 5或 x 1.5

2、答案：(一8, 3), (1 , +8 )4. 求下列函数的单调区间：1(1) y= x lnx; (2)y =无.解：(1)函数的定义域为(0 , + 8 ).1其导数为y = 1 丄x11令 1 -0，解得 x1 ;再令 1 -0，解得 0x1.x因此，函数的单调增区间为 (1 , + 8 ), 函数的单调减区间为(0,1).(2) 函数的定义域为(一8, 0)U (0, + 8).1 1 y = 2X,所以当 xm0时，y=衣0x- -12.( 8, 1) (1 , +8 )即函数的单调递增区间为 (1,+8 )3若在区间(a, b)内，f (x)0,且f(a)0,则在(a, b)内有(

3、)A f(x)0B f(x)0，所以f(x)在(a, b)内是增函数，所以f(x)f(a)0.4. 下列函数中，在区间(一1,1)上是减函数的是()2A . y= 2 3xB . y= Inx1C. y =D . y= sinxy x 21 一 1解析：选C对于函数丫 = 亠，其导数y =23B . a= 1C. a = 2D . aw 0解析：选D.因为y = 3ax2 1，函数y= ax3 x在(m ,+ m)上是减函数， 所以y = 3ax2 1 w 0恒成立，即3ax2w 1恒成立.当x = 0时，3ax2w 1恒成立，此时a R ；1当x丰0时，若aw 37恒成立，则aw 0.综上可

4、得a w 0.二、填空题7. y = x2 ex的单调递增区间是. 解析：T y= x2ex, y = 2xex+ x2ex= exx(2 + x)0? x0.递增区间为(一m, 2)和(0,+m). 答案：(一m, 2) , (0 ,+m )&若函数f(x)= x3 + bx2 + cx+ d的单调减区间为1,2,则b =, c=.解析：/ y = 3/+ 2bx+ c,由题意知1,2是不等式3x2 + 2bx+ c0， a0.答案：(0 ,+m )三、解答题10. 求下列函数的单调区间.33(1) f(x)= x + X；b(2) f(x)= x+ b(b 0).解：函数的定义域为(s,

5、0) U (0 ,+s),2321f (x) = 3x 严3(x 0,由 f (x)0，解得 x1,由 f (x)0，解得1x0,则-2(x+ , b)(x . b)0,入 x b或 xv b.函数的单调递增区间为(一s, .b)和(.b,+s).1令 f (x) v 0,则：(x+ b)(x . b)v 0, bv xv b且 xm 0.函数的单调递减区间为(一.b, 0)和(0 ,b).11. 求函数f(x)= x3 3x2 9x+ 1在区间4,4上的单调性.解：/ f(x) = x3 3x2 9x+ 1, f (x)= 3x2 6x 9.令 f (x)0，结合4W x4,得4W x 1

6、或 3x 4.令 f (x)0，结合4W x4,得1x 0),若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a的x取值范围.a 2解：/ f (x) = a +2 一，x x要使函数f(x)在定义域(0 ,+s )内为单调函数， 则在(0 ,+s )内f (x)恒大于等于0或恒小于等于0.2当a = 0时，f (x) = -0时，要使f (x) = a(- -)2+ a 0恒成立，x aa1则 a 0，解得 a 1.a综上，a的取值范围为a|a 1或a = 0.1设X。为可导函数f(x)的极值点，则下列说法正确的是()A .必有 f (xo) = 0B. f (xo)不存在C. f(X0)= 0 或

7、 f(X0)不存在D. f (x0)存在但可能不为 0 答案：A2. 函数 f(x)= x3+ ax2+ 3x 9，已知A. 2C. 4解析：选 D.f (x)= 3x2+ 2ax+ 3, f(x)在x= 3处取得极值， f ( 3) = 0,即卩 27 6a+ 3= 0,- a= 5.3. y = x3 6x的极大值为. 解析：y = 3x2 6 = 0,得 x= 2.当函数在x= ,2时，取得极大值 4 2. 答案：4,214. 求函数f(x) = x+ x的极值.解：函数的定义域是(8, 0) U (0,1(x+ 1 (X 1 f (x) = 1 ?=x令 f (x) = 0,得 x1=

8、 1 , x2= 1.当x变化时，y , y的变化情况如下表:f(x)在x= 3时取得极值，则B .D .a=()x 2时，y 0;当，2x .2时，y 0.x(m, 1)1(1,0)(0,1)1(1 , + )Ly+0一一0+y/极大值2极小值2/因此，当x= 1时，y有极大值，且y极大值=f( 1) = 2，当x= 1时，y有极小值，且 y极小值= f(1) = 2. 谍时训缘律一、选择题1. 函数y= f(x)在一点的导数值为0”是 A .充分不必要条件B .必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解析：选 B.对于 f(x) = x3, f (x) = 3x2, f 之成

9、立.故选B.2.“函数y= f(x)在这点取极值”的()(0)= 0，不能推出f(x)在x = 0处取极值，反下列函数存在极值的是(1y= _x y = 乂3十 x?+ 2x 31C.xy= x e3y= x解析：选B.A中f (x) = P,令fx值.B 中 f (x)= 1 ex,令 f (x)= 0 可得f (x)0. y= f(x)在 x= 0 处取极大值，C 中 f (x) = 3x2 + 2x+ 2,(x)= 0无解，且f(x)为双曲函数. A中函数无极x= 0.当 x0,当 x0 时， f(0) = 1.= 4 24= 200. y= f(x)无极值.D也无极值.故选 B.3.函

10、数f(x)的定义域为开区间(a, b)，导函数f (x)在(a, b)内的图象如图所示，则函 数f(x)在开区间(a, b)内的极小值点有A . 1个B . 2个C. 3个D . 4个解析：选A.函数f(x)的定义域为开区间(a, b)，导函数f (x)在(a, b)内的图象如题图所 示，函数f(x)在开区间(a, b)内有极小值点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由 负到正的点，只有1个.4.函数f(x) = x3+ 2x2 + 2x取极小值时，A . 2B .C. 1D .X的值是()2,- 1一 3解析：选 C.f (x)= x2 + x+ 2 = (x 2)(x+ 1).r%在x

11、= 1的附近左侧f (x)0,如图所示. x= 1时取极小值.5.函数y= 2 x2 x3的极值情况是()A .有极大值，没有极小值 B .有极小值，没有极大值 C.既无极大值也无极小值D .既有极大值又有极小值解析：选 D.y = 2x 3x2= 0? x= 0 或 x = .所以 x一 OO,2时，y 0, y为增函数；在x (0, + o)时,减函数；在x.函数既有极大值又有极小值.6. 已知函数f(x) = x3 ax2 bx+ a2在x= 1处有极值10,则a、b的值为(A . a= 3, b= 3 或 a= 4, b= 11B . a = 4, b = 11C . a = 1, b

12、 = 5D.以上都不正确解析：选 B.f (x)= 3x2 2ax b,在 x= 1 处 f(x)有极值，.f (1) = 0, =0又 f(1) = 1 a b+ a2= 10,即 a2 a b 9= 0由得 a2+ a 12= 0,. a= 3 或 a = 4.a= 3,a= 4,J(舍去)或5b= 3,|b= 11.二、填空题7. 函数f(x) = x3 6x2 15x+ 2的极大值是 _ 解析：f (x) = 3x2 12x 15= 3(x 5)(x+ 1), 在(o, 1), (5, + o )上 f (x)0 , 在(1,5)上 f (x) 2 时，y 0,当 0v xv 1 或

13、1 v xv 2 时，y v 0.,极小值是时，取得极大值y 0,；当y为减函数,即 3 2a bx= 当x= 0时，函数取得极大值 0. 当x = 2时，函数取得极小值 4.答案：002 49若函数y= x由上表可得，当x = 1时，函数有极大值为f( 1) = 16;当x= 3时，函数有极小值 为 f(3) = 16. 当x= 0时，f(x) = 11,结合函数的单调区间以及极值的情况可画出f(x)的大致图象， + 6x2 + m的极大值等于13,则实数m等于.解析：y = 3X2 + 12x，由y = 0,得x= 0或x= 4,容易得出当x = 4时函数取得极 大值，所以43+ 6X 4

14、2+ m = 13,解得 m= 19.答案：19三、解答题10.求 f(x) =2x2的极值.2 x 1 x+ 1 宀12 .x = 1 或 x= 1.解：函数的定义域为R.2 2,2(x + 1 4xf (x) =(x2+12=令 f (x) = 0,得当x变化时，f (x)、f(x)变化状态如下表:x(m， 1)1(1,1)1(1 , + m)f (x)一0+0一f(x)极小值3/极大值12所以当x= 1时，函数有极小值，且 f( 1) = -2厂2= 3;2当x = 1时，函数有极大值，且f(1) = 2 2= 1.3.11. 已知函数f(x)= ax3+ bx2，当x = 1时有极大值

15、(1) 求a, b的值；(2)求函数f(x)的极小值. 解：(1)f (x) = 3ax2+ 2bx由已知可得3a + 2b= 0a+ b= 3a= 6b= 9由(1)可知 f(x) = 6x3 + 9x2 f (x)= 18x2+ 18x由 f (x) = 0 可得 x = 0 或 x= 1,列表:x(m, 0)0(0,1)1(1, )f (x)一0+0一f(x)极小值/极大值由上表可知：f(x)在x= 0时，取得极小值 f(0) = 0.3212. 已知函数 f(x)= x 3x 9x+ 11.(1) 写出函数的递减区间；(2) 讨论函数的极大值或极小值，如有，试写出极值；(3) 画出它的

16、大致图象.解：(1)f (x) = 3x2 6x 9 = 3(x+ 1)(x 3), 令 f (x) = 0,得 X1= 1 , X2= 3.x变化时，f (x)的符号变化情况及 f(x)的增减性如下表:x(m， 1)1(1,3)3(3, + R)f (x)+0一0+f(x)/极大值f( 1)：极小值f(3)/(1)由上表可得函数的递减区间为(一1,3).如图所示. *同步測揑1. 函数 y= f(x)在a, b上()A .极大值一定比极小值大B .极大值一定是最大值C.最大值一定是极大值D .最大值一定大于极小值解析：选D.由函数的最值与极值的概念可知，y= f(x)在a, b上的最大值一定

17、大于极小值.32. 函数 f(x)= x - 3x(|x|1)()A .有最大值，但无最小值B .有最大值，也有最小值C. 无最大值，但有最小值D. 既无最大值，也无最小值解析：选 D.f (x)= 3x2- 3 = 3(x+ 1)(x- 1)，当 x (- 1,1)时，f (x)0,所以 f(x)在(一 1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.3. 函数y= 4x2(x- 2)在x - 2,2上的最小值为 ，最大值为 .4解析：由 y = 12x - 16x= 0，得 x= 0 或 x = &3当 x = 0 时，y= 0;当 x= 3时，y=芽；当 x =- 2 时，y= 64

18、;当 x= 2 时，y= 0.比较可知ymax= 0， y min = - 64答案：6401 34. 已知函数 f(x) =- 4x.(1)求函数的极值；求函数在区间3,4上的最大值和最小值. 解：(1)f (x) = x2-4，解方程 x2- 4= 0， 得 X1=- 2， X2= 2.当x变化时，f (x)，f(x)的变化情况如下表：x(-m，- 2)-2(-2,2)2(2，+)f (x)+00+f(x)/16316 3/从上表可看出，当x=- 2时，函数有极大值，且极大值为 号；而当x= 2时，函数有极3小值，且极小值为-(2)f( - 3) = 3X (- 3)3- 4X (- 3)

19、 = 3，f(4) = fx 43- 4 X 4=罟，与极值比较，得函数在区间3,4上的最大值是兰，最小值是1633审谍时训缘一、选择题1 .函数 f(x)=A . f(2), f(3)C. f(2), f(5)x2+ 4x+ 7,在x 3,5上的最大值和最小值分别是()B . f(3), f(5)D . f(5), f(3)解析：选 B. /f (x)= 2x+ 4,当 x 3,5时，f (x)0,故f(x)在3,5上单调递减，f(3), f(5) 2. f(x) = x3 3x2 + 2在区间1,1上的最大值是()A . 2B . 0C. 2D . 4解析：选 C.f (x)= 3x2 6

20、x= 3x(x 2)，令 f (x)= 0 可得 x= 0 或 x= 2(舍去), 当一1 x0，当 0xw 1 时，f (x)e 时，y 0;当 x0.y极大值=f(e)=-，在定义域内只有一个极值，e1所以 ymax = 一.e4.函数 y= x sinx, x n 1C.7t；,n的最大值是()nB.2-1D . 计1f，丿时解析：选C.因为y = 1 cos x,当x 增函数，所以y的最大值为ymax= n sin = n,故选C.5. 函数f(x)= x3 3x2 9x+ k在区间4,4上的最大值为10,则其最小值为()A . 10B . 71C. 15D . 22解析：选 B.f

21、(x)= 3x2 6x 9 = 3(x 3)(x+ 1).由 f (x) = 0 得 x= 3, 1.又 f( 4) = k 76, f(3) = k 27,f( 1) = k+ 5, f(4) = k 20.由 f(x)=5,二 f(x)min = k 76= 71.2156. 已知函数y = x2 2x+ 3在区间a,2上的最大值为，贝V a等于()n,y 0，则函数y在区间？,1B.1故f(x)的最大值和最小值分别是C.解析：12选C.当aw 1时，最大值为4,不符合题意，当1a2时，f(x)在a,2上是减函数，f(a)最大，一 a2 2a+ 3 =乎，解得a= *或a=号(舍去).二、

22、填空题7. 函数f(x)= 2x3 3X2 12x+ 5在0,3上有最小值是 .解析：f，(x) = 6x2 6x12, 令 f (x)= 0 得 x= 2 或 x= 1(舍去)，比较 f(0), f(2), f(3) 可得函数的最小值为f(2) = 15.答案：158. 函数y= xex的最小值为.解析：令 y = (x+ 1)ex= 0，得 x= 1.当 x 1 时，y 1 时，y 0.1二 ymin = f( 1)=二e答案：1e9. 已知f(x) = x2 + mx+ 1在区间2, 1上的最大值就是函数f(x)的极大值，则 m的取值范围是.解析：f， (x) = m 2x,令 f，(x) = 0,得 x= mm.由题设得 2 2， 1，故 m 4, 2.答案：4, 2三、解答题10. 试求 f(x)= (x2 3)ex的最值.解：函数的定义域为R，且f， (x) = ex(x2 + 2x 3)令 f， (x) 0,得 x 1 或 xv 3;令 f，(x) v 0 得3v xv 1.所以函数f(x)