已知三角形三点坐标求三角形的面积的各种方法

1、已知三角形三点坐标 ,求三角形的面积 先介绍一下三维中的两点之间距离之式，和二维的几乎一样： d二sqrt(xO-x1)八2+ (y0-y1)A2 + (z0-z1)A2) 再介绍叉乘，中心内容！叉乘在定义上有： 两个向量进行叉乘得到的是一个向量，方向垂直于这两个向量构成的平 面，大小等于这两个向量组成的平行四边形的面积。 在直角座标系O;i,j,k中，i、j、k分别为X轴、丫轴、Z轴上向量的单位向 量。 设P0(0,0,0), P1(x1,y1,z1, P2(x2,y2,z2。因为是从原点出发，所以向量 P0P1可简记为P1，向量P0P2可简记为P2。依定义有： |i j k | P1X P

2、2 = |x1 y1 z1| |x2 y2 z2| 展开，得到： 上式 = iy1z2 + jz1x2 + kx1y2 - ky1x2 - jx1z2 - iz1y2 = (y1z2 - y2z1)i + (x2z1 - x1z2)j + (x1y2 - x2y1)k 按规定，有： 单位向量的模为 1。可得叉积的模为： |P1 x P2| = y1z2- y2z1 + x2z1 - x1z2 + x1y2 - x2y1 = (y1z2 + x2z1 + x1y2) - (y2z1 + x1z2 + x2y1) 开始正式内容。我们设三角形的三个顶点为A(x0,y0,z0)， B(x1,y1,z1

3、)， C(x2,y2,z2。我们将三角形的两条边 AB和AC看成是向量。然后，我们以 A为原 点，进行坐标平移，得到向量 B(x1-x0,y1-y0,z1-z0，) 向量 C(x2-x0,y2-y0,z2-z0。) 在三维的情况下，直接代入公式，可得向量B和向量C叉乘结果的模 为： |B x C| = (y1-y0)*(z2-z0) + (z1-z0)*(x2-x0) + (x1-x0)*(y2-y0) -(y2-y0)*(z1-z0) + (z2-z0)*(x1-x0) + (x2-x0)*(y1-y0)|111| = |x1-x0 y1-y0 z1-z0| |x2-x0 y2-y0 z2-

4、z0| 它的一半即为所要求的三角形面积S还有一种比较简单的写法。将向量 AB和AC平移至原点后，设向量 B为(x1,y1,z1),向量C为(x2,y2,z2),则他们的 叉乘所得向量P为(x,y,z),其中： |y1 z1| |z1 x1| |x1 y1| x = | | y = | | z = | |y2 z2| |z2 x2| |x2 y2| 然后用三维中的两点之间距离公式，求出(x,y,z与(0,0,0)的距离，即为向量P 的模，它的一半就是所要求的面积了。 以上公式都很好记： x 分量由 y， z 分量组成， y 分量由 z， x 分量组成， z 分量由 x， y 分量组 成，恰好是循

5、环的。坐标平移一下就好了。 在二维的情况下，我们可以取 z = 0这个平面，即令 z1 = z2 = 0，且 |P1 x P2| = x1y2- x2y1 |x1 y1| = | | |x2 y2| 所以： |B x C| = (x1-x0)*(y2-y0)-(x2-x0)*(y1-y0) |x1-x0 y1-y0| = | | |x2-x0 y2-y0| 它的一半即为所要求的三角形的面积S。 注意，用行列式求出来的面积是带符号的。如果A, B, C是按顺时针方向 给出，则S为负；按逆时针方向给出，则 S为正。 以二维的情况为例,三维亦同： A(0,0) B(0,1) C(1,0) (A B，

6、C按顺时针方向给出) S = (x1-x0)*(y2-y0)-(x2-x0)*(y1-y0)/2; = (0 - 0)*(0 - 0)-(1 - 0)*(1 - 0)/2 0.5 A(1,0) B(0,1) C(0,0) (A B，C按逆时针方向给出) S = (x1-x0)*(y2-y0)-(x2-x0)*(y1-y0)/2; = (0 - 1)*(0 - 0)-(0 - 1)*(1 - 0)/2 0.5 如果你不需要符号的话，再求一下绝对值就好了。这样也不用去管给出的 点的顺序了。 以上是利用叉乘。其实还有一招，那就是海伦公式： 利用两点之间距离公式，求出三角形的三边长a, b, c后，令p = (a+b+c)/2。 再套入以下公式就可以求出三角形的面积 S : S = sqrt(p*(p-a)*(p-b)