必修2第1章空间几何体

1、.1.1棱柱、棱锥、棱台的结构特征新知2：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定 直线旋转所形成的封闭几何体叫旋转体，这条定直线叫旋转体的轴.如下图的旋转体：上学习目标1. 感受空间实物及模型，增强学生的直观感知；2. 能根据几何结构特征对空间物体进行分类；3. 理解多面体的有关概念；4. 会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征.学习过程一、课前准备（预习教材P2 P 4,找出疑惑之处）引入：小学和初中我们学过平面上的一些几何图形 如直线、三角形、长方形、圆等等，现实生活中， 我们周围还存在着很多不是平面上而是“空间”中 的物体，它们占据着空间的一部分，比如粉笔盒、 足球、易拉罐等.如果只考虑这

2、些物体的形状和大 小，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体.它们具有千姿百态的形状，有着不同的几何特征，现在就让我们来研究它们吧！探究3：棱柱的结构特征。问题：你能归纳下列图形共同的几何特征吗一、新课导学探探索新知探究1：多面体的相关概念问题：观察下面的物体，注意它们每个面的特点， 以及面与面之间的关系.你能说出它们相同点吗 ？新知3: 般地，有两个面互相平行，其余各面都 是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相 平行，由这些面所围成的几何体叫做 棱柱（prism）. 棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的 侧面；相邻侧面的公共边 叫做棱柱的侧棱；侧面

3、与底面的公共顶点叫做棱柱 的顶点.（两底面之间的距离叫棱柱的 高）试试1:你能指出探究3中的几何体它们各自的底、 侧面、侧棱和顶点吗？你能试着按照某种标准将探 究3中的棱柱分类吗？多W h寸I新知1：由若干个平面多边形围成的几何体叫做 面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面 如面ABCD ;相邻两个面的公共边叫 多面体的棱 如棱AB；棱与棱的公共点叫 多面体的顶点，如顶 点A.具体如下图所示：新知4：按底面多边形的边数来分，底面是三角 形、四边形、五边形的棱柱分别叫做 三棱柱、四 棱柱、五棱柱按照侧棱是否和底面垂直，棱柱可分为（不垂直）和 直棱柱（垂直）.斜棱柱试试2：探究3中有几个直棱柱

4、？几个斜棱柱？棱 柱怎么表示呢？（1 ）探究2：旋转体的相关概念问题：仔细观察下列物体的相同点是什么?新知5:我们用表示底面各顶点的字母表示棱柱， 如图中这个棱柱表示为棱柱 ABCD ABCD.探究4：棱锥的结构特征问题：探究1中的埃及金字塔是人类建筑的奇迹之 一，它具有什么样的几何特征呢？新知6：有一个面是多边形，其余各个面都是有一 个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫 做棱锥（Pyramid）.这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公 共边叫做棱锥的侧棱.顶点到底面的距离叫做棱锥 的高；棱锥也可以按照底面的

5、边数分为三棱锥（四 面体）、四棱锥等等，棱锥可以用顶点和底面各 顶点的字母表示，如下图中的棱锥S-ABCDE.心学习评价探自我评价A.很好探当堂检测你完成本节导学案的情况为（B.较好 C. 一般 D.较差（时量：5分钟满分：10分）计分：）.C.平面 D.长方体 : ）.B.侧面都是梯形D.侧棱延长后都交于一点E=棱柱, F=直平行六探究5:棱台的结构特征问题：假设用一把大刀能把金字塔的上部分平行地 切掉,则切掉的部分是什么形状 ？剩余的部分呢？新知7:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥， 底面与截面之间的部分形成的几何体叫做棱台（frustum of a pyramid）.原棱锥的底面和截面

6、分别叫 做棱台的下底面和上底面.其余各面是棱台的 侧面， 相邻侧面的公共边叫 侧棱，侧面与两底面的公共点 叫顶点.两底面间的距离叫棱台的高.棱台可以用上、下底面的字母表示，分类类似于棱锥.1. 一个多边形沿不平行于矩形所在平面的方向平 移一段距离可以形成（A 棱锥 B 棱柱2. 棱台不具有的性质是A. 两底面相似C.侧棱都相等3. 已知集合A=正方体, B=长方体, C=正四棱柱 , D=直四棱柱, 面体，则（）.A. A匸 B 匸 CG DGB. AG eg BG FC. C 匸 A匸 BQ DR试试3:请在下图中标出棱台的底面、侧面、侧棱、 顶点,并指出其类型和用字母表示出来 .D. 它们

7、之间不都存在包含关系4. 长方体三条棱长分别是 AA =1 AB =2, AD =4 ,则从A点出发，沿长方体的表面到 C 的最短矩离 是.5. 若棱台的上、下底面积分别是25和81,高为4,则截得这棱台的原棱锥的高为 .反思：根据结构特征，从变化的角度想一想,棱柱、 棱台、棱锥三者之间有什么关系？心课后作业1.已知正三棱锥 S-ABC的高SO=h,斜高（侧面三角 形的高）SM=n,求经过 SO的中点且平行于底面的 截面 AiBiCi的面积.探典型例题例由棱柱的定义你能得到棱柱下列的几何性质 吗？侧棱都相等，侧面都是平行四边形；两个 底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不 相邻的两条侧棱的

8、截面是平行四边形.仿照棱柱,棱锥、棱台有哪些几何性质呢？1.2.1.2.3.FE三、总结提升学习小结多面体、旋转体的有关概念；棱柱、棱锥、棱台的结构特征及简单的几何性质知识拓展平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱；正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；正棱锥：底面是正多边形并且顶点在底面的射影2.在边长a为正方形ABCD中，E、F分别为AB、 BC的中点，现在沿 DE、DF及EF把 ADE、 CDF和 BEF折起，使 A、B、C三点重合，重合 后的点记为P .问折起后的图形是个什么几何体？ 它每个面的面积是多少？D是底面正多边形中心的棱锥；4. 正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台.叫多面.1.2圆

9、柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征&詁学习目标.1. 感受空间实物及模型，增强学生的直观感知；2. 能根据几何结构特征对空间物体进行分类；3. 能概述圆柱、圆锥、圆台台体、球的结构特征;4. 能描述一些简单组合体的结构 .学习过程一、课前准备(预习教材卩5 P 7,找出疑惑之处) 复习：体，叫旋转体. 棱柱的几何性质： 是对应边平行的全等多边形，侧面都是 ，侧棱且，平行于底面的截面是与 全等的多边形；棱锥的几何性质：侧面都是 ，平行于底面的截面与底面，其相似比等于 .探究2：圆锥的结构特征问题：下图的实物是一个圆锥，与圆柱一样也是平面 图形旋转而成的.仿照圆柱的有关定义，你能定义 什么是

10、圆锥以及圆锥的轴、底面、侧面、母线 吗? 试在旁边的图中标出来.新知2：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋 转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫 锥.圆锥也用表示它的轴的字母表示.棱锥与圆锥统称为锥体.探究3：圆台的结构特征问题：下图中的物体叫做圆台， 也是旋转体.它是什 么图形通过怎样的旋转得到的呢 ？除了旋转得到以 外，对比棱台，圆台还可以怎样得到呢 ？引入：上节我们讨论了多面体的结构特征，今天我 们来探究旋转体的结构特征.底面；平行于轴 侧面；无论旋转到 母二、新课导学探探索新知探究1：圆柱的结构特征问题：观察下面的旋转体，你能说出它们是什么平 面图形通过怎样的旋转得到的吗？新知

11、1；以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三 边旋转形成的曲面所围成的几何体，叫做圆柱(circular cylinder)，旋转轴叫做圆柱的 轴；垂直于 轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的 的边旋转而成的曲面叫做圆柱的 什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的 线，如图所示：新知3；直角梯形以垂直于底边的腰所在的直线为 旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫 圆台(frustum of a cone).用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分也是圆台.圆台和圆柱、圆锥一样，也有 轴、底面、侧面、母线，请你在上图中标出它们， 并把圆台用字母表示出来.棱台与圆台统称为台 体.反思：结合

12、结构特征，从变化的角度思考，圆台、 圆柱、圆锥三者之间有什么关系？探究4：球的结构特征问题：球也是旋转体，怎么得到的A圆柱用表示它的轴的字母表示，图中的圆柱可表示 为00 .圆柱和棱柱统称为 柱体.你完成本节导学案的情况为(B.较好 C. 一般 D.较差(时量：5分钟满分：10分)计分：).B.是底面半径为4的圆锥D.是母线长为5的圆锥).A. 5f24. 已知， ABCD , 中是由_ 构成的组合体.新知4:以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面 旋转一周形成的几何体叫做球体(solid sphere)，简称球；半圆的圆心叫做球的 球心，半圆的半径叫 做球的半径，半圆的直径叫做球的 直径；球通

13、常用 表示球心的字母 0表示，如球0-探究5：简单组合体的结构特征问题：矿泉水塑料瓶由哪些几何体构成？灯管呢?新知5：由具有柱、锥、台、球等简单几何体组合 而成的几何体叫简单组合体.现实生活中的物体大 多是简单组合体.简单组合体的构成有两种方式： 简单几何体拼接而成；由简单几何体截去或挖去一 部分而成.探典型例题例将下列几何体按结构特征分类填空：集装箱 运油车的油罐排球羽毛球魔方金字塔 三棱镜滤纸卷成的漏斗量筒量杯(11)地球 (12)桶方便面(13)个四棱锥形的建筑物被飓风挂 走了一个顶，剩下的上底面与地面平行； 棱柱结构特征的有； 棱锥结构特征的有； 圆柱结构特征的有； 圆锥结构特征的有；

14、 棱台结构特征的有； 圆台结构特征的有； 球的结构特征的有； 简单组合体.%动手试试练.如图，长方体被截去一部分，其中EH II AD,剩下的几何体是什么？截去的几何体是什么？是矩形，圆锥的轴截面是三角形习评价%自我评价A. 很好%当堂检测1. RkiABC三边长分别为3、4、5，绕着其中一边 旋转得到圆锥，对所有可能描述不对的是(A.是底面半径3的圆锥C.是底面半径5的圆锥2. 下列命题中正确的是(A. 直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥B. 夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是旋转体C. 圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D. 通过圆台侧面上一点，有无数条母线3. 一个球内有一内接长方体

15、，其长、宽、高分别为5、4. 3,则球的直径为().B. 275C. 75D.凶22ABCD为等腰梯形，两底边为AB,CD.且绕AB所在的直线旋转一周所得的几何体 、的几何体5. 圆锥母线长为R，侧面展开图圆心角的正弦值为近，则高等于.21. 如图,是由等腰梯形、矩形、半圆、倒 形三角对接形成的轴对称平面图形，若将 它绕轴旋转180后形成一个组合体，下面 说法不正确的是A. 该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥 和两个球体B. 该组合体仍然关于轴I对称C. 该组合体中的圆锥和球只有一个公共点D. 该组合体中的球和半球只有一个公共点1.2.2. 用一个平面截半径为25cm的球，截面面积是249兀c

16、m ,则球心到截面的距离为多少？三、总结提升学习小结圆柱、圆锥、圆台、球的几何特征及有关概念; 简单组合体的结构特征.知识拓展圆柱、圆锥的轴截面：过圆柱或圆锥轴的平面与圆 柱或圆锥相交得到的平面形状，通常圆柱的轴截面121中心投影与平行投影1.2.2空间几何体的三视图探究2：柱、锥、台、球的三视图问题：我们学过的几何体（柱、锥、台、球）,为了研 究的需要，常常要在纸上把它们表示出来，该怎么 画呢？能否用平行投影的方法呢？学习目标1. 了解中心投影与平行投影的区别；2. 能画出简单空间图形的三视图；3. 能识别三视图所表示的空间几何体;学习过程一一、课前准备（预习教材Pii Pi4,找出疑惑之处

17、） 复习1:圆柱、圆锥、圆台、球分别是 、绕着 绕着绕着、绕旋转得到的.新知2:为了能较好把握几何体的形状和大小，通 常对几何体作三个角度的正投影.一种是光线从几何体的前面向后面正投影得到投影图，这种投影图 叫几何体的 正视图；一种是光线从几何体的左面向 右面正投影得到投影图，这种投影图叫几何体的侧视图；第三种是光线从几何体的上面向下面正投影 得到投影图，这种投影图叫几何体的 俯视图.几何体 的正视图、侧视图和俯视图称为几何体的三视图.一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图 的下边.三视图中，能看见的轮廓线和棱用实线表示 不能看见的轮廓线和棱用虚线表示.下图是一个长方体的三视图.复习2：

18、简单组合体构成的方式: 禾n二、新课导学探探索新知探究1：中心投影和平行投影的有关概念问题：中午在太阳的直射下，地上会有我们的影子; 晚上我们走在路灯旁身后也会留下长长的影子，你 知道这是什么现象吗？为什么影子有长有短？正视图俯视图侧视图思考：仔细观察上图长方体和下图圆柱的三视图 你能得出同一几何体的三视图在形状、大小方面的 关系吗？能归纳三视图的画法吗 ？7L4新知1由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕 上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影.其中光线叫 投影线，留下物体影子的屏幕叫 投影面. 光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影，中心投影的投影线交于一点.在一束平行光照射下形成 的投

19、影叫做 平行投影，平行投影的投影线是平行的. 在平行投影中，投影线正对着投影面时叫正投影,否则叫斜投影.思考：中午太阳的直射是什么投影？路灯、蜡烛的 照射是什么投影？ 试试：在下图中，分别作出圆在中心投影和平行投影 中正投影的影子.结论：中心投影其投影的大小随物体与投影中心间 距离的变化而变化；平行投影其投影的大小与这个 平面图形的形状和大小是完全相同的 .小结：1. 正视图反映物体的长度和高度，俯视图反映的是 长度和宽度，侧视图反映的是宽度和高度；2. 正视图和俯视图高度相同，俯视图和正视图长度 相同，侧视图和俯视图宽度相同；3. 三视图的画法规则：正视图、侧视图齐高，正 视图、俯视图长对正

20、，俯视图、侧视图宽相等，即“长对正”、“高平齐”、“宽相等”；正、侧、俯 三个视图之间必须互相对齐，不能错位.探究3：简单组合体的三视图问题：下图是个组合体，你能画出它的三视图吗小结：画简单组合体的三视图， 要先观察它的结构,是由哪几个基本几何体生成的，然后画出对应几何 体的三视图，最后组合在一起.注意线的虚实. 探典型例题例1画出下列物体的三视图：实线画出；确定正视、俯视、侧视的方向，同一物 体放置的方向不同，所画的三视图可能不同.心学习评价.WW J WW 4 WW4、VW 7 47探自我评价A.很好探当堂检测你完成本节导学案的情况为B.较好 C. 一般（时量：5分钟满分：1. 下列哪种光

21、源的照射是平行投影（A.蜡烛B.正午太阳C.路灯2. 左边是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）.A.四棱锥B.圆锥C.三棱锥D.三棱台3. 如图是个六棱柱,其三视图为（O（D.较差10分）计分：）.例2说出下列三视图表示的几何体:A.OHBODCOHDO 口4.画出下面螺母的三视图5.下图依次是一个几何体的正、俯、侧视图,孟课后作业1.画出下面几何体的三视图.（箭头的方向为正前方）IL|探动手试试练作出下图中两个物体的三视图4 （前往三、总结提升探学习小结1. 平行投影与中心投影的区别；2. 三视图的定义及简单几何体画法：正视图 后）、侧视图（左往右）、俯视图（上往下）；画时 注意长对正、

22、高平齐、宽相等；3. 简单组合体画法：观察结构，各个击破.探知识拓展画三视图时若相邻两物体表面相交，则交线要用2. 一个正方体的五个面展开如图所示，请你在图中合适的位置补出第六个面来.（画出所有可能的情况）123空间几何体的直观图.学习目标.1. 掌握斜二测画法及其步骤；2. 能用斜二测画法画空间几何体的直观图探典型例题例1用斜二测画法画水平放置正六边形的直观图0ft心学习过程一、课前准备（预习教材P16 P19，找出疑惑之处）复习1：中心投影的投影线 ；平行投影的投影线.平行投影又分 投影和 投影.复习2：物体在正投影下的三视图是；画三视图的要点是 引入：空间几何体除了用三视图表示外，更多的

23、是 用直观图来表示.用来表示空间图形的平面图叫 空 间图形的直观图.要画空间几何体的直观图， 先要学 会水平放置的平面图形的画法.我们将学习用斜二测画法来画出它们.你知道怎么画吗？二、新课导学探探索新知探究1：水平放置的平面图形的直观图画法问题：一个水平放置的正六边形，你看过去视觉效 果是什么样子的？每条边还相等吗？该怎样把这种效 果表示出来呢？讨论：把一个圆水平放置，看起来象个什么图形 它的直观图如何画？ 结论：水平放置的圆的直观图是个椭圆，通常用椭 圆模板来画.探究2：空间几何体的直观图画法问题：斜二测画法也能画空间几何体的直观图，和 平面图形比较，空间几何体多了一个“高”，你知道画图时该

24、怎么处理吗？ 例2用斜二测画法画长 4cm、宽3cm、高2cm的长 方体的直观图.新知2：用斜二测画法画空间几何体的直观图时， 通常要建立三条轴：x轴，y轴，z轴；它们相交于点 0，且 N xOy=45 , N xOz = 90 ；空间几 何体的底面作图与水平放置的平面图形作法一样，即图形中平行于x轴的线段保持长度不变，平行于 y轴的线段长度为原来的一半，但空间几何体的“高”，即平行于z轴的线段，保持长度不变.探动手试试练1.用斜二测画法画底面半径为4 cm，高为3cm的圆柱.新知1上面的直观图就是用 斜二测画法 画出来的， 斜二测画法的规则及步骤如下：（1）在已知水平放置的平面图形中取互相垂

25、直的x轴和y轴，建立直角坐标系， 两轴相交于0.画直观 图时，把它们画成对应的 x轴与y 轴，两轴相交于 点0 ，且使NxOy = 45 （或135 ）.它们确定的 平面表示水平面； 已知图形中平行于 x轴或y轴的线段，在直观 图中分别画成平行于 x轴或y 轴的线段；例3如下图，是一个空间几何体的三视图，请用 斜二测画法画出它的直观图. 已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持 原长度不变，平行于 y轴的线段，长度为原来的一 半；（4）图画好后，要擦去 x轴、y轴及为画图添加的 辅助线（虚线）.俯视图图中分别画成平行于 X轴或目轴的线段；（3）平行于X轴或y轴的线段，长度均保持不变.2.空间

26、几何体的三视图与直观图有密切联系：三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，根据三视图 可以得到一个精确的空间几何体，得到广泛应用（零件图纸、建筑图纸），直观图是对空间几何体的 整体刻画，根据直观图的结构想象实物的形象.*心学习评价探自我评价A.很好探当堂检测你完成本节导学案的情况为B.较好 C. 一般（时量：5分钟满分：（ ）D.较差10分）计分：4、8、4,则画练2.由三视图画出物体的直观图正视图侧视图俯视图1. 一个长方体的长、宽、高分别是其直观图时对应为（）.A. 4、8、4 B. 4、4、4 C. 2、4、4 D.2、4、22. 利用斜二测画法得到的三角形的直观图是三 角形平行四边形的直

27、观图是平行四边形正方 形的直观图是正方形菱形的直观图是菱形，其中 正确的是（ ）.A.B.C.3. 一个三角形的直观图是腰长为角形，则它的原面积是（）.A. 8B. 16C.124. 下图是一个几何体的三视图 厂、AOD.4的等腰直角三D.32 72正视图俯视图 侧视图小结：由简单组合体的三视图画直观图时，先要想 象出几何体的形状，它是由哪几个简单几何体怎样 构成的；然后由三视图确定这些简单几何体的长 度、宽度、高度，再用 斜二测画法依次画出来.请画出它的图形为.5.等腰梯形ABCD上底边CD=1，腰AD=CB=J2，下底AB=3，按平行于上、下底边取 x轴，则直观图ABCD 的面积为.简单组

28、合体直观图的画法；由三视图画直观图三、总结提升探学习小结1. 斜二测画法要点建坐标系， 定水平面；与坐 标轴平行的线段保持平行； 水平线段（X轴）等长, 竖直线段（y轴）减半；若是空间几何体，与z轴平 行的线段长度也不变.2.也#一课后作业1. 一个正三角形的面积是 10j3cm2，用斜二测画法 画出其水平放置的直观图，并求它的直观图形的面 积.1.2.用斜二测画法画出下图中水平放置的四边形的 直观图.知识拓展立体几何中常用 正等测画法 画水平放置的圆.正 等测画法画圆的步骤为：（1）在已知图形O O中，互相垂直的X轴和y轴画 直观图时，把它们画成对应的 X轴与y 轴，且使 Nx0y=1200

29、 （或 60）；（2）已知图形中平行于 X轴或y轴的线段，在直观.表面积是几何体；体积是几何锥、台、球的表z试试1:想想下面多面体的侧面展开图都是什么样 子，它们的表面积如何计算？母线长为I,2S =;ir +兀1 = Jir (r +1).圆台的侧面展开图叫扇环，扇环是怎么得 （能否看作是个大扇形减去个小扇形呢）1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）7心*学习目标1. 理解和掌握柱、锥、台的表面积计算公式；2. 能运用柱、锥、台的表面积公式进行计算和解决 有关实际问题.心学习过程_一、课前准备（预习教材卩23 P25，找出疑惑之处）复习：斜二测画法画的直观图中， x轴与y轴的夹角为

30、，在原图中平行于 x轴或y轴的线段画成 与和保持平行；其中平行于 x轴的线段长度 保持，平行于y轴的线段长度 .引入：研究空间几何体，除了研究结构特征和视图 以外，还得研究它的表面积和体积 表面的面积，表示几何体表面的大小 体所占空间的大小.那么如何求柱、 面积和体积呢？探究六棱柱圆柱、圆锥四棱台台的 表面积正四棱锥 问题：根据圆柱、圆锥的几何特征，它们的侧面展 开图是什么图形？它们的表面积等于什么？你能 推导它们表面积的计算公式吗？JJT爭新知2： （ 1）设圆柱的底面半径为则它的表面积等于圆柱的侧面积（矩形）加上底面 积（两个圆），即 S =2兀r2 + 2jirl =2兀r（r +1）.

31、（2）设圆锥的底面半径为r，母线长为I，则它的 表面积等于圆锥的侧面积（扇形）加上底面积（圆 形），即 试试2：到的呢？你能试着求出扇环的面积吗？从而圆台的表面积 呢？zryiI .Ii w:宙I壬 F J W:t产4r罩俎M 尸 W 云V 盏W .啊一 3二丄7 LMJ加产二、新课导学探探索新知探究1：棱柱、棱锥、棱台的表面积问题：我们学习过正方体和长方体的表面积，以及 它们的展开图（下图），你觉的它们展开图与其表 面积有什么关系吗？新知3：设圆台的上、下底面半径分别为 ，r， 母线长为I ,则它的表面积等上、下底面的面积（大、 小圆）加上侧面的面积（扇环），即S =兀2 +兀r2 + 兀（

32、rl +rl）=兀（r2 + r2 + r | + rl）.反思：想想圆柱、圆锥、圆台的结构，你觉得它们 的侧面积之间有什么关系吗？结论： 正方体、长方体是由多个平面围成的多面 体，其表面积就是各个面的面积的和，也就是展开 图的面积.探典型例题例1已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体 SABC，求它的表面积.新知1:棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们的表 面积就是其 侧面展开图的面积加上底面的面积探知识拓展当柱体、锥体、 直棱柱、正棱锥、 规则的平面图形，计算公式；2. 将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题最基本、最常用的方法 .台体是一些特殊的几何体，比如正棱台时，它们的展

33、开图是一些 表面积比较好求；当它们不是特探自我评价A.很好探当堂检测你完成本节导学案的情况为B.较好 C. 一般（时量：1. 正方体的表面积是A. 43B.3442. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形的表面积与侧面积的比是（）.例2如图,一个圆台形花盆盆口直径为20cm，盆底直径为15 cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm,盆壁长15 cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平 方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少 油漆（兀取3.14,结果精确到1毫升）?殊的几何体，比如斜棱柱、不规则的四面体时，要 注意分析各个面的形状、特点，看清楚题目所给的 条件，想办法求出各个面的面积，最

34、后相加.U学习评价（ ）C. 一般 D.较差5分钟满分：10分）计分：64,则它对角线的长为（:C. W2D.16，这个圆柱1 +2 辽1 +4 兀 1+2；!A. B. C.2兀4兀兀探动手试试练1. 一个正三棱锥的侧面都是直角三角形，底面 边长为a，求它的表面积.C.兀3. 一个正四棱台的两底面边长分别为 侧面积等于两个底面积之和（ ）.mnA.m +nB.D.1+4；!27!m , n （m n）,则这个棱台的高为_ m + n m -nC. D.mnmn4. 如果圆锥的轴截面是正三角形，则该圆锥的侧面积与表面积的比是 .5. 已知圆台的上、下底面半径和高的比为 1 : 4 : 4,母线

35、长为10,则圆台的侧面积为 .B.n_m -n练2.粉碎机的上料斗是正四棱台形状，它的上、 下底面边长分别为 80 mm、440 mm ,高（上下底面 的距离）是200 mm，计算制造这样一个下料斗所需 铁板的面积.课后作业1. 圆锥的底面半径为r，母线长为I，侧面展开图 扇形的圆心角为6，求证：0 =- -360 （度）.l三、总结提升探学习小结1.棱柱、棱锥、棱台及圆柱、圆锥、圆台的表面积2.如图，在长方体中，AB=b，BC=c，CC1 =a， 且a b c,求沿着长方体表面 A到C1的最短路线 长.反思：思考下列问题台体的体积公式，你能发现三探典型例题 例1如图所示， 是它的三条侧比较柱

36、体和锥体的体积公式，你发现什么结论? 比较柱体、锥体、 者之间的关系吗？三棱锥的顶点为 P，PA,PB,PC 棱,且PA,PB,PC分别是面.3.1柱体、锥体、台体的表面 积与体积（2）PBC, PAC,PAB 的垂线，又 PA = 2，PB =3,PC =4， 求三棱锥P-ABC的体积V .7学习目标1. 了解柱、锥、台的体积计算公式；2. 能运用柱、锥、台的体积公式进行计算和解决有 关实际问题.学习过程, a 一. 一、课前准备（预习教材P25 P26，找出疑惑之处）复习1 :多面体的表面积就是 加上.变式：如图（2），在边长为4的立方体中，求三棱锥B-ABC的体积.复习2 :圆柱、圆锥、

37、圆台的侧面展开图分别是 、;若圆柱、圆锥底面和圆 台上底面的半径都是r，圆台下底面的半径是r，母线长都为l ,则S圆柱=S圆锥=， S圆台=引入：初中我们学习了正方体、长方体、圆柱的体 积公式V =Sh（ S为底面面积，h为高），是否柱体 的体积都是这样求呢？锥体、台体的体积呢？二、新课导学 探探索新知 新知：经过证明小结：求解锥体体积时，要注意观察其结构特征， 其是三棱锥（四面体），它的每一个面都可以当作底 面来处理.这一方法又叫做等体积法， 通常运用此法 可以求点到平面的距离（后面将会学习），它会给我 们的计算带来方便.柱体体积公式为锥体体积公式为台体体积公式为（有兴趣的同学可以查阅 祖暅

38、原理）:V =Sh，（ S为底面积，h为高）1：V =-Sh，（ S为底面积，h为高）3:V =l（S + /SS+S）h3例2高12 cm的圆台，它的中截面（过高的中点且 平行于底面的平面与圆台的截面 ）面积为225兀cm2,3体积为2800cm，求截得它的圆锥的体积.（S，S分别为上、下底面面积，h为高）补充：柱体的高是指两底面之间的距离；锥体的高 是指顶点到底面的距离；台体的高是指上、下底面 之间的距离.变式：已知正六棱台的上、下底面边长分别为4,高为2，求截得它的的正六棱锥的体积记，要在理解的基础上掌握；2. 求体积要注意顶点、底面、高的合理选择探知识拓展祖暅及祖暅原理祖暅，祖冲之（求

39、圆周率的人）之子，河北人， 南北朝时代的伟大科学家.柱体、锥体,包括球的体 积都可以用祖暅原理推导出来 .你完成本节导学案的情况为 （）B.较好 C. 一般 D.较差（时量：5分钟满分：10分）计分： 3倍，底面直径增大为原）.）.D.4任意一个顶点到其对C.a D.a3630 cm3，和它等底等高的小结：对于台体和其对应锥体之间的关系，可通过 轴截面中对应边的关系，用相似三角形的知识来解 滋动手试试3练 1.在 ABC 中，AB =2,BC = ,ZABC =120 2若将 ABC绕直线BC旋转一周，求所形成的旋转 体的体积.祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体 被平行于这两个平面的任

40、意平面所截，如果截得的 面积总相等，那么这两个几何体的体积相等 .探自我评价A.很好探当堂检测1. 圆柱的高增大为原来的 来的2倍，则圆柱的体积增大为原来的（A.6 倍 B.9 倍 C.12 倍 D.16 倍2. 已知直四棱柱相邻的三个面的面积分别为72J6，则它的体积为（A. 2j3B./2C.63. 各棱长均为a的三棱锥中，应面的距离为（）.A 亞C V3A.aB.a364. 一个斜棱柱的的体积是棱锥的体积为.练2.直三棱柱高为6 cm,底面三角形的边长分别为 3cm,4cm,5cm，将棱柱削成圆柱，求削去部分体积 的最小值.5. 已知圆台两底面的半径分别为a,b （a Ab）,则圆台和截

41、得它的圆锥的体积比为 .2课后作业1. 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8g / cm3）六角螺帽共重10 kg，已知底面是正六边形，边长 为12 mm，内孔直径为10mm，高为10 mm，问这 堆螺帽大约有多少个（兀取3.14）.三、总结提升探学习小结2. 一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼成一个三1. 柱体、锥体、台体体积公式及应用，公式不要死变式：若三个球的表面积之比为1: 2:3，则它们的体积之比为多少？棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与 各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长 也都相等.设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为 hi,h2,h3，则 hi : b : h3

42、 = ?132球的体积和表面积例3如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径（即圆柱内有一内切球），求证（1 ）球的体积等于圆柱体积的 2 ；3例2 一种空心钢球的质量是142 g，外径是5.0 cm,求它的内径.（钢密度7.9 g /cm3）学习目标1. 了解球的表面积和体积计算公式；2. 能运用柱锥台球的表面积公式及体积公式进行 计算和解决有关实际问题.二丄学程_一、课前准备（预习教材P27 P28，找出疑惑之处）复习：柱体包括 和,它的体积公式为；锥体包括和,它的体 积公式为 ；台体包括 和它可以看作是大锥体上截去了一个小锥体,所以它的体积公式为.二、新课导学探探索新知新知：球的体积和表面积

43、球没有底面，也不能像柱体、锥体、台体那样展成 平面图形，它的体积和表面积的求法涉及极限思想（一种很重要的数学方法）.经过推导证明： 球的体积公式 V =4兀R33球的表面积公式 S=4%R2其中，R为球的半径.显然，球的体积和表面积的大 小只与半径R有关.探典型例题例1木星的表面积约是地球的120倍，则体积约是地球的多少倍？变式：半径为R的球内有一内接正方体，设正方体 的内切球半径为r，则R为多少？r7小结：两个几何体相接是指一个几何体的所有顶点 都在另一个几何体的表面上；两个几何体 一个几何体的各面与另一个几何体的各面相切 决几何体相切或相接问题，要利用截面来展现这两相切是指.解个几何体之间

44、的相互关系，从而把空间问题转化为 平面问题来解决.探动手试试练1.长方体的一个顶点上的三条棱长为 3、4、 若它的八个顶点都在同一个球面上，求出此球的表 面积和体积.itn个小球面，每个小球面的顶 近似的看作是一个棱锥，其 .则球的体积约为这如图，将球的表面分成 点与球心0连接起来， 高近似的看作是球的半径.则球的体积约为这 n个 小棱锥的体积和，表面积是这n个小球面的面积和. 当n越大时，分割得越细密，每个小棱锥的高就越 接近球的半径，于是当n趋近于无穷大时（即分割无 限加细），小棱锥的高就变成了球的半径 （这就是极 限的思想）.所有小棱锥的体积和就是球的体积.最后根据球的体积公式就可以推导

45、出球的表面积公式.心学习评价探自我评价A.很好当堂检测你完成本节导学案的情况为B.较好（时量：1.(如果球的半径扩大）.（C. 一般 D.较差5分钟满分：10分）计分：42倍，则球的表面积扩大A. 72 倍 B. 2 倍练2.如图，求图中阴影部分绕 AB旋转一周所形成 的几何体的表面积和体积.C.返倍 D.8倍22. 有相等表面积的球及正方体，它们的体积记为Vi, V 2，球直径为d，正方体的棱长为a，则（）.A. d Aa,Vi “2B. d Aa,Vi CV2C. d caM AV2D. d caM CV23. 记与正方体各个面相切的球为Oi，与各条棱相切的球为02，过正方体各顶点的球为0

46、3则这3个球的体积之比为（）.A.1:2:3B.1:75：V3 C.1: 272:373D.1:4:94. 已知球的一个截面的面积为9n，且此截面到球心的距离为4,则球的表面积为.5. 把一个半径为5逅cm的金属球熔成一个圆锥，使圆锥的侧面积为底面积的3倍，则这个圆锥的高应为cm.心课后作业1. 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角 形，在容器内放入一个半径为 R的球，并注入水, 使水面与球正好相切，然后将球取出，求此时容器 中水的深度.三、总结提升学习小结1.2.球的表面积及体积公式的应用； 空间问题转化为平面问题的思想知识拓展极限的思想推导球的表面积公式过程:2. 半球内有一内接正方

47、体，则这个半球的表面积与正方体表面积之比是多少 ？1.3空间几何体的表面积与体积（练习）小结：有关几何体侧面的问题，通常是把侧面展开 为平面图形，然后在平面图形中寻求解决途径.变式：在长方体 ABCD -ABiCiDi中，已知 AB = 5,BC =4,BBi =3,从A点出发，沿着表面运动到 Ci ,则 最短路线长是多少？学习目标1. 会求空间几何体、简单组合体的面积和体积；2. 能解决与空间几何体表面积、体积有关的综合问 题；3. 进一步体会把空间问题转化为平面问题的思想珂孑_学习过程一、课前准备（复习教材P23 P28，找出疑惑之处）复习1：柱体、锥体、台体的表面积是如何求出来 的？它们

48、的体积公式有何联系？球的表面积和体 积只和什么变量有关？小结：求立体图形表面上两点的最短距离问题，是 立体几何中的一个重要题型.解决这类问题的关键是把图形展开（有时全部展开，有时部分展开 ）为平 面图形，找出表示最短距离的线段（通常利用两点之 间直线最短）.例2若巳F是三棱柱ABC -ABC的侧棱BB和CC上的点，且BE = CF，三棱柱的体积为 m ,求 四棱锥A BEFC的体积.（7复习2:简单组合体的表面积和体积怎么求?二、新课导学探典型例题例1设圆台的上、下底面半径分别为r,r，母线长 是I，圆台侧面展开后所得的扇环的圆心角是 0，求证：0= =460 （度）I变式：正三棱台 ABCA

49、BC中，旦，则三AB 2棱锥A-ABC, B- ABC ,C ABC的体积比为多 少？1.2.3.三、总结提升学习小结空间问题可以转化为平面问题解决；最短距离的求法；求体积困难时可采用分割的思想，化为底（面积）高相同的规则几何体求解.小结：当直接求体积有困难时，可利用转化思想， 分割几何体，借助体积公式和图形的性质转化为其 它等体积（等底等高或同底同高）的几何体，从而起 到化难为易的作用.探动手试试练1.圆锥SAB的底面半径为R，母线长SA = 3R， D为SA的中点，一个动点自底面圆周上的 A点沿 圆锥侧面移动到D，求这点移动的最短距离.（在 ABC中，边分别为a,b,c,a所对角为8,则有

50、2 2 2a =b +c -2bc cos9）探知识拓展空间问题向平面的转化包括：圆锥、圆台中元素 的关系问题，用轴截面来解决；空间几何体表面上 两点线路最短问题，用侧面展开图来解决；球的组 合体中的切、接问题，用过球心的截面来解决 上学习评价“ 探自我评价A.很好探当堂检测你完成本节导学案的情况为（B.较好 C. 一般 D.较差（时量：5分钟满分：10分）计分：B1. 在棱长为1的正方体上，分别用过顶点的三条棱 中点的平面截该正方体， 下多面体的体积为（A.2B.736则截去).C.-58个三棱锥后，剩D.562. 已知球面上过 A,B,C三点的截面和球心的距离 是球半径的一半，且 AB=BC=CA = 2，则球的表 面积为（A.93. 正方体的）.C 8兀Cf 64 兀B.C. 4兀D.398个顶点中有4个恰为正四面体的顶点，则正方体的全面积与正四面体的全面积之比为C.逅 D.迹23S，过两对侧棱的截面面积为（ ）.4. 正四棱锥底面积为练2.直三棱柱各侧棱和底面边长均为 a，点D是CC上任意一点，连结 AB、BD、AD、AD， 则三棱锥A ABD的体积为多少？Q，则棱锥的体积为5. 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图的圆心角 度.（ ）心课后作业1. 一个圆台上下底面半