2020中考数学专题汇编几何最值含解析

1、几何最值一、选择题1.（2020 泰安）如图，点/, B的坐标分别为2 （2, 0）, B （0, 2）,点C为坐标平面内一点，BC= 1,点M 为线段/C的中点，连接OM,则OM的最大值为（）A. 2 1B. 2 +1C. 22 1D. 22 |答案 B解析本题考查了圆的概念、勾般定理、三角形中位线的性质以及动点运动最值问题，因为点C为坐标平而内一 点，BC= 1,所以点C在以点B为圆心、1长为半径的圆上，在X轴上取0A =0A=2,当A、B、C三点共线时， A C最大，则A C=22 +1,所以OM的最大值为边 ,因此本题选B.2 . （2020无锡）如图，等边BC的边长为3,点刀在边/C

2、上，-Q=*,线段Po在边上运动，PO=有下列结论： CP与0D可能相等；四边形PCDO而积的最大值为響:其中，正确结论的序号为（）A.B. JG?与ASCP可能相似：四边形PCDO周长的最小值为3+辱C.D.答案D解析设AO=X.则BP=PX 如图1，当点P与B重合时，此时0D为最大，过点0作茁丄AC, AQ= ：.AE=I，QE=-, /.DE= 扌，.此时G）=孕，即而CP3,两个范围没有交集，即不可能相等：错误 若4AQDsBCP,则器=曙，代入得22-5x+3=O,解得x=l, x2= 都存在，二正确： 如图2,过点D作DE丄AB,过点P作PF丄EC, S川朋g=S.3LS.yQ-S

3、.ac=爭X3?gx乎一gx3X 爭（舟一 X）=習X +?；申,T舟一x20,即xW*,当A=I时而积最大为斗爭；匸确： 如图，将D沿肋方向平移*个单位得到E,连接即四边形P0DE为平行四边形，：.QD=PE四边形周长 人PQ亠QD+CD+CP=3+PE+PC,即求PE+PC的最小值，作点E关于坊的对称点F,连接CF,线段CF的长即 为PE+PC的最小值：过点D作DG丄月乩：.AG= EN=FN=HM半,.CH=举+乎=竽，FH=MN=g- 扌-*=器.FC=2, .四边形PeD0周长的最小值为3+罟，错误.3（2020 荆门）如图6.在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在

4、X轴上移动，2（0. 2）, 5（0, 4）,连接VC、BD、则ACA-BD的最小值为（）A. 25 B. 210 C. 62 D. 35答案B解析如图#，过点B作BBx轴（点歹在点B的左侧），且使BB ZACB=45,得 1C= 6 当直线/与拐相交时，延长BF,过点ZI作丄肿 于点M 可得.IEBF=.IEA-FM=BM,在R让ANfB中， BM=(0-4)2+(5 + 3)2 =45即aPMV周长的最小值4故答案为4点.三、解答题14 .(2020 扬州)如图1.已知点O在四边形,ISCD的边AB ,且OA=OB=OC=OD=2. OC平分ZEoD,与BD 交于点G, AC分别与妙、OD

5、交于点E、F.(1) 求证：OCHAD；AF(2) 如图2,若DE=DF,求丝的值：AF（3）当四边形,毎CD的周长取最大值时，求DE的值.解析本题考査了平行线的判左与性质、圆周角左理、三角形相似的判定与性质、三角形全等的判左与性质、二 次函数最值、勾股左理、等腰三角形的判疋与性质等知识的综合运用，解题的关键是作出适当的辅助线，找到解题的思路仃途斤 U）利用角平分线竹质与外角知识ill明Z BOC = Z OAD= - ZBOD即可:2（2）以O为圆心，02为半径作辅助圆，先利用直径所对圆周角是直角证ZzlPE=90 ,再利用互余关系得出ApZjOF=90c ,从而求得ZID的长，最后由 AD

6、ES OF求得一的值：AF（3）如答图2,以O为圆心，CU为半径作圆，延长BC与JD交于点丑 过E作E0丄CD于0.先AACBAB=AH=4f BC=HC.于是 DC=CB=CH、再由 HCDSbHAB 得到 HD BC 的关系式， 最后，设BC=x,四边形-153的周长为），通过二次函数的最值求得EC的长，从而可借助余眩函数求得DE的 长.答案解：（1）证明：T OA=OB, ：. Z OAD- Z ODA, T ZBOD 是HAOD 的外角， ZBOD=Z OAD+ Z ODA=2ZOAD, ：. ZOAD=-ZODA, V OC 平分ZBOD.二 ZBOC = L ZBOD,二 ZBOC

7、 =ZOAD,2 2： OC/ADx（2）如答图 1,以 O 为圆心，OZI 为半径作圆，aJDE=DF. ：. ZDFE=ZDEF.打 OA=OB=OC=OD=2, 点 ZLZX C、B 共圆，二0 是0 0 的直径， ZDB=90 , ZDF+ZDJE=90o , V OA=OC, ：. Z OAC= ZOCA9 OCAD、： ZDAC=Z OCA. ：. ZDAC=Z OAC.又 ZDFE=ZAFOY Z OAC+ZAFO=9Qc , ：.ZAOF=902 , AD= JAO?+DO】=2迈,V ZJOF=Z-W5-90 , ZDAC=Z OAC. ：. ADE JOF,.A = D =

8、 22=/万一兀一一N（第27题答图2）（第27题答图1）（第27题答图3）（3）如答图2,以O为圆心,Od为半径作圆，延长Be qAD交于点曰 过E作0丄CD于O.9： OA=OB=OC=OD=2,点 A. D. C、E 共圆.15 是0 0 的直径，A ZJCB=Z-W5=90o , ：. ZACH=90 =ZACB, V OA=OC9 ：.ZOAC=Z OCA, V OC/AD. ：. ZDAC=Z OCA, ：. ZDAC=Z OAC9 在 ZUCB 和CH 中，ZACB =ZACH. AC=AC, ZBAC=ZHAC, ：.ACH9 AB=AH=4, BC=HC9又 ZBDH=I80

9、 ZADB=90 , ：.DC=-HB=CB=CH. T点 A、D、C、B 共岡：ZHCD= ZHJD 又ZH= 2HCDHAB. ：. = .= ：.HD=-Be 沒BC=X四边形肋 CD 的周长为八HA HB 4 2BC2则 V=ABiD-CD+BC=4+4 丄 ECC-EC二丄疋 一 2x+8=-丄（x-2+6 q A-2 IbJ , V 仃最大值，-Pl BC=X=2 2 2 2时（答图 3 ）9AD=CD=BC9 ：. AD = CD = BC9 且它们所对圆心角都为 60 ：. ZDCA=ZCDB=30, ：. ED=EC.：.DO=-CD=1, ERtHDOE 中，-=COSZC

10、DE. = , DE=-.2DEDE 23在MBC中15=,C M是平而内任意一点，将线段绕点2按顺时针方向旋转与ZBAC相等的角度，得到线段ZlM连接AB 1）如图1,若M是线段BC上的任意一点,请直接写出ZNAB与ZMJC的数量关系是 ZNAB=ZMAC ,NB与MC的数量关系是NB=CM :：0UB竺HMAC (SAS：.BN=CM故答案为ZNAB= ZALiC, BN=CM.（2）如图2中，中结论仍然成立S2理由：:乙MAN=ZCAB、 ZNAB+ZBAM= ZBAM：.ZNAB=ZMac,* -LB A C9A/9: NAB9HMAC (45),ABN=CNL（二）如图3中，在Zhe

11、l上截取AN=AB,连接PM 作入M丄ElCl于作JiM丄BICl于MS3VZClJIBl = ZB4,：.ZOAIBI = ZR4N,VJlO=JlPf J5=lQA 151 刃IN (SJS),:BQ=PN当PN的值最小时，OBx的值最小，在 RtZUi中，V ZAlBIM=6Qo , AiBi = S.AJIM=JiBi sm60o =4VEV ZMdiCi = ZBiAiCi - ZBIAIM=75 -30 =45 ,C.AC =4fA-Ci=JiCi - Ji2V=46 - 8,在 RtCb VZCl=45 ,=43-42根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PN的值最小, QB的最

12、小值为43 -牛应16. （2019淮安）如图,在HABC , .IB=AC=S9 ZBAC=IQQC , D是BC的中点小明对图进行了如 下探究：在线段.4D上任取一点P连接丹将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80 ,点B的对应点是点 E,连接BE,得到.小明发现，随着点P在线段.3上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能 在宜线.Q的左侧，也可能在直线-Q上，还可能在直线丘0的右侧.请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：（1）当点E在直线.Q上时，如图所示. ZBEP= 50。: 连接CE,直线CE与直线AB的位置关系是ECAB .（2）请在图中画出肿E,使点E在直线.3的右侧，连接CE.

13、试判断直线CE与直线曲的位宜关系, 并说明理由. AB/EC(2)如图中，以P为圆心，PB为半径作OP:PB=PC,:乙BCE=丄ZBPE=40 ,2V ZABC=40 ,:ABEC.（3）如图中，作,血丄CE于点E在射线CE上运动，点P在线段,3上运动，当点P运动到与点d重合时,AE的值最小，此时应的最小值=AB=3.17. （2020*东营）如图1,在等腰三角形MC中,ZJ = I20 , AB=AC.点D、E分别在边AB. JC , .ID =AE,连接恥，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点.（1）观察猜想.图1中，线段N认AP的数量关系是_ NM=NP ZMNP的大小为60（2）

14、探究证明把AIDE绕点/顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP、BD、CE,判断AMVP的形状，并说明理由：（3）拓展延伸把DE绕点d在平而内自由旋转，若ZLD=I,肋=3,请求出眩ZP而枳的最大值.02：.BD=CE.点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，：.MN=BD. PN=CE. MN/AB. PN/AC,2 2:MN=PN, ZENM=ZEBt ZENP=ZAEB,：.ZMNE+ZENP= ZABE+ZAEB,V ZABE+ZAEBISOc - ZBAE= 60 , ZMArP=60c ,故答案为：NM=NP; 60 :(2) ZUZNP是等边三角形理由如下：由旋转可得，ZB

15、AD=ZCAE,乂 * ABC9 ID-AE9: HABD竺MCE (SAS:BD=CE ZABD=ZACE.点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点.:MN=1bD PN=RE, MNBD, PN/CE.2 2：.MN=PN, ZENM=ZEBD, ZBPN=ZBCE.：.ZENP= ZNBP+ZNPB= ZNBP+乙ECB、 ZEBD= ZABD+ ZABE= ZACE十ZABE,A ZMNP= ZMNE+ZENP= ZACE+ZABE+ZEBC+ZEBC+ZECB= ISOo - ZBAC= 60 ,. 眩ZP是等边三角形：(3) 根据题意得，BDGB七4即BDW4,MVW2,.,.ZX

16、ACVP的而积=丄MN22厶WvP的而积的最大值为218. (2020重庆)如图，在RtZkISC中.ZBlC=90 , AB=AC.点D是Be边上一动点，连接2D 把.Q 绕 点2逆时针旋转90 ,得到连接CE, DE.点F是DE的中点,连接CF.(1) 求证：CF= 业AD；2(2) 如图2所示，在点Z)运动的过程中，当妙=2CD时，分别延长CF, BA,相交于点G,猜想XG与BC 存在的数量关系，并证明你猜想的结论；(3) 在点Z)运动的过程中，在线段XD上存在一点P,使PAPBPC的值最小.当R1+PB+PC的值取得最 小值时，MP的长为加，请直接用含加的式子表示CE的长.图1图2【解

17、答】证明:(1) 9：AB=AC,ZBAC= 90 , ZABC=ZACB=45c ,把-3绕点/逆时针旋转90 ,得到 CZm=90 =ZBAC,二 ZBAD=ZCAE DE=换4又7B=AC,:HBAD9glE (SAS)9A ZABD=ZACE=45a ,A ZBCE=ZBCA+ZACE=90o ,点F是DE的中点，：.CF=DE=-AD2 2(2) AG=豆BC,6理由如下：如图2,过点G作GH丄EC于JBD=2CD,设 CD=a.则 BD=2e BC= 3a.V ZBAC=90 , AB=AC,:.1B=AC=a,2 2由(1)可知：厶BADmCAE,：.BD=CE=Ia. CF=D

18、F,：.ZFDC= ZFCD,. tan ZFDC= tan 乙 F CD、.CE GHTCD CH.9.GH=2CH,： GH丄 BC, ZJBC=45 ,A ZABC=ZBGH=45Q ,： BH=GH、EG=H：BH+CH=BC=3a,C.CH=a, BH=GH=2a,BG=2,：.AG=BG - AB=a=CD=些BC；2 2 6(3) 如图31,将肿C绕点E顺时针旋转60得到ZENM,连接PMA：.BP=BN. PC=NM、ZPBN= 60 ,：4PN是等边三角形，：.BP=PN.：.PAPBPC=APPN+MN.当点zt,点P，点N,点M共线时，PA+PB+PC值最小,此时，如图3

19、-2,连接MC,将APPC绕点B顺时针旋转60得到ABVA：.BP=BN, BC=BM. ZPAV= 60 =ZCBM9 ：4PN是等边三角形，ACEM是等边三角形, :乙BPN=ZBNP=6Y , BM=CM.：BM=CM、AB=AC.,亦垂直平分EC,TQ丄EC, ZBPD=6QQ ,.BD=PD,TAB=AC, ZBAC=90 ,AD丄BC, D=BD:PD=PD-AP,APZ)=2.,.BD =Z) = 3e ,2由（1）可知:CE=BD=219. (2020威海)发现规律（1）如图，MBC与DE都是等边三角形，直线別 CE交于点F.直线BD. AC交于点H.求ZBFC的度数.EeD（2）已知：HABC与AADE的位置如图所示，直线別 CE交于点F.直线BD. AC交于点H.若ZABC= AADE=a. ZdCE=ZdEQ=0,求ZBFC 的度数.应用结论（3）如图，在平而直角坐标系中，点O的坐标为（0, 0）,点M的坐标为（3, 0）, N为y轴上一动点, 连接胚V.将线段胚V绕点M逆时针