有限域的结构

1、有限域的结构对于这一节，我们将要证明三个结构定理： 定理1设F是一个特征P的有限域，那么F的元素个数一定定理 2是 p 的一个幂。设 P 是任一素数而 n 是任一正整数， 那么总存在着个恰含Pn个元素的有限域。定理 3设F是一个有限域，它含有一个q个元素的有限域 Fq 作为子域，那么F的元素个数一定是q的一个幕。证明：先将Fq改记为Fi.如果F Fi,那么F就是恰含有q 个元素的有限域，因此定理成立。如果F Fi，那么F就含有一个元素e，而eF1.令F2 a1 a2e2:a1,a2 F1 . 面我们来证明：如果a1 a2e2 b1 b2e2,a1,a2,b1,b2 F1，则一定有 a1 b1,

2、a2b2 . 因为从上式可以推出(a2 b2)e2b1 a1.a1) F1 . 这与 e2 F1 相矛盾。 所以有若 a2 b2 ，那么有1e2 (a2 b2) (b12元素N qn 1，那么就有 F 的一串子集F1, F2,F3, Fn ，a2 b2 . 于是有 a1 b1 . 则 F2 恰含 q 个两两不同的元素。 如果F F2,那么F就是恰含q2个元素的有限域，此时定理成立。 如果 F 令 F3 a1F2，那么F就会有 个兀素e3 ，而 e3F2a2e2a3e3 : a1 ,a2,a3 F1 .假设 a1 a2e2a3e3b1b2e2b3e3,ai,biF1. 那么(a3 b3)e3(b

3、2a2)e2(b1a1).若 a3 b3 ，那么有e3 (a3 b3)1(b2a2)e2(a3b3) 1(b1a1)F2 .这与e3 F2 相矛盾。故有a3 b3 . 于是有 a1 a2e2b1b2e2 .由此知， a1b1, a2b2 。像这样一直讨论下去。如果F 的元素个数是N，而nqn其中Fi a1 a2e2 F1,e3 F2,aiei : a1, a2 , , ai F1, , ei Fi 1,e2而Fi (1 i n)恰含qi个两两不同的元素。如果 么F就含有一个元素 3 1，而3 1 Fn .令F Fn ，那Fn 1 a1 a2e2,an, an 1 F1.an en an 1en

4、 1 : a1 ,a2 ,n1依照上面有 Fn 1 恰含 q 个两两不同的元素。 但是 Fn 1 是 F的一个子集， 而 F 的元素个数 N qn 1 ，所以对于 Fn 1恰含q 个两两不同的元素是不可能的。 因此一定有 F Fn ，即F恰含qn个元素。下面要证明定理1,设F是特征P的有限域，那么 P定 是素数，而F的素域K就是恰含P个元素的有限域。所以 要证明定理1只需在定理3中取Fq K，就可以证明。F面要证明定理 2则需要一些多项式的知识及引理。定理4(带余除法)设a(x)和b(x)是Fx中的两个多项式，b(x) 0 .q(x),r(x) Fx那么存在唯的一对多项式a(x) q(x)b(

5、x)令 r(x) (a(x)b(x)r(x), 0r(x)0b(x)。推论5设ai(x),a2(x)和b(x)都是Fx中b(x) 0。那么的多项式，佝(X)a2(x) b(x)(ai(X)b(x)(a2(X)b(x)佝(X)a2(X)b(x)(ai(X)b(x)(a2(X)b(x)b(x)定理6设f(x)是Fx中的一个非零多项式。如果f (x)和 f(x)互素，那么f (x)没有重因式。推论7设f(X)是Fx中的一个多项式，F。那么是f(x)的根当且仅当(X )f(x)。如果f(x)是Fx中的个n次多项式。那么f(x)在F中最多有n个两两不同的根。定理8设f(X)是Fx中的一个非零多项式，设a

6、(x)和b(x)是Fx中的任意两个多项式。那么(a(x)f(x)(b(x) f(x)当且仅当 f (x)|(a(x)b(x)例1设F是域，p(x)是Fx中的一个n次不可约多项式。 我们用Fxp(x)表示Fx中所有次数 n的多项式的集合， 即素，它们是Fxp(x)中的零元素和零次多项式。进一步，对Fx p(x) a。 aiX azX2an 1xn 1: aiF(0 i i 1)设a(x), b(x) Fx。仿照Zp是域时定义的加法运算和乘法运算来规定a(x)与b(x)的和(a(x) b(x)与积(a(x) b(x):a(x) b(x) (a(x) b(x)卩 a(x) b(x)a(x) b(x)

7、 (a(x)b(x) )p&)和Zp是域的证明一样。可验证Fxp(x)对于规定的加法运算 和乘法运算是一个域。在这里我要说的是，F中的零元素0就是 Fx p(x)中的零元素，F中的单位元素就是 Fx中的元素都是Fxp(x)的单位兀素。值得注意的是Fp(x)中中的元中的于F中的任意两个元素的a和b ,将它们看作Fxp（X） 元素进行加法运算和乘法运算得到的和a b与积a b，与将它们看作 F 中的元素进行加法运算和乘法运算得到的和 a b 与积 ab 是一样的，即 abab因此，(a b)p(x) a b (ab)p(x) abF 是 F xp(x) 的一个子域。特别地，如果有 F xp（ x）

8、p(x) p0那么在 Fxp(x) 中p0(p1 x) (p2 x( p0 p1x p2 x2 ( p( x) p( x) 0.P（x）是Fx中的一个一次多项式，那么显然F . 进一步，若我们记2P1X P2X，有npnx , pi F,X)( PnX XnPn X ) P(X)x)这就是说 F x p(x)中的元素X是F上未定元X的不可约多2n项式 P（X）PoPiX P2XPnX的根。因此我们也可以说 Fxp（x） 是添加 Fx 中 的一个不可约多项式p（x）的根x到F上而得到的域。如果 F 是含有 q 个元素的有限域，那么（ 1）式中的ao,ai,a2,已门1可以是F中这q个元素中的任何

9、一个，因 此FXP（x）是qn个元素的有限域。特别地，若取 FZp，其中P是一个给定的素数，而P（x）是ZpX中的一个n次不可约多项式，那么 ZpX p（x）就恰含有pn个元素的有限域， 而Zp是它的一个子域。因此，在Zpx p（x）中也有1 1 1 0。下面要证明定理 2，我们只需证明：对于任一素数p 和任 正整数n，Zpx中总有一个n次不可约多项式即可。而事 实上，若f（x）是Zpx中的一个n次不可约多项式，那么在 例1中构造的域Zpxf（x）就是一个pn个元素的有限域。然 而，我们要证明 Zpx中总有n次不可约多项式存在，又要 做一些准备。q 。进一步，若引理9设F是个有限域，Fq是F的

10、一个含有q个元素的子 域，那么 Fq 中每个元素 都适合条件Fq 。F 中的元素 适合 q ，那么证明：根据任意有限域的乘法群都是循环群这一定理，知道FqFq 0是 q1阶循环群。设是它的一个生成元，那么 0 e, 1就是Fq 的全部 q 1 个元素。然而有 （ i ）qq 1)i eie,0 i q 2在上式两边同时乘以（ i）qi,0这就是说，Fq中人一元素 这样的话，有多项式 xq就有q 2.（包含 0）都适合条件x 就以 Fq 中的 q 个元素作为它的全部根。将xq x看作F上的多项式，因此如果F是这个多项式的根，即一定有Fq。它在F中最多有q个q0，那么引理10设Fq是q个元素的有限

11、域，而 个n次不可约多项式，那么一定有f(X)是Fqx上的nf(x)(xqx)Fq x f (x) 证明：令 ao,ai,a2,n 1an lX在例1中已经规定了于任意的a(x),b(x)a0a1x a2x2,an 1Fq.Fqx f (x)的加法运算和乘法运算，即Fqxf(x)，有a(x) b(x)a(x) b(x)(a(x)b(x)f(x) a(x) b(x)(a(x)b(x)f(x)同时也证明了Fqx f (x)按上述规定的加法和乘法运算是个域，而且是一个含qn个元素的域。根据引理9，Fqxf(x)中的元素都适合条件地，0.特别对于x FqX f(x)， 在 Fqxf(x) z , qn

12、中有x x0，而这可以转化为x x xqn个x-x 0由推论因此有)f(x)X)f(x)n(Xq(xq )f(x) X,x)f(x) 0.这就是说nf (x)(xqx)。m n，那么一定有引理11设Fq是q个元素的有限域，而f (X)是Fqx上的 个m次不可约多项式，如果nf (X)不能整除xq证明：运用反证法。设nf (x)(xqx)。这就是说，n(xq X)f(x)0。因此(xq )f(x) X.中任意一个元素因为0f(x) m，所以Fqxf(x)是qm个元素的有限域。根 据定理1，q 一定是Fq的特征的一个幕，也是Fqxf(x)的特 征的一个幕。于是对于 Fqxf(x)m 1g(x)ai

13、Xi,ai Fqi 0都有n m 1 q g(x)q g(x) ( aiq i0 m 1qniai ( x ) f(x) )f(x) i0 m1 i aix i0 0nxiq ) f (x)m1iaix i0这就是说，是 m n， nqx x 。m1i aix 0m1i aix i0Fq x f(X)的q rn个元素都适合多项式xX .但根据推论 7 这是不可能的。故 f(x) 不能整除引理 12 设 m,n 是正整数，而 dgcd(m,n), 那么gcd(xm证明：对e,xn e) xd e. max m, n 作归纳法。 那么m n 时，结论成立。设gcd(xmgcd(x 由 (xm e

14、但是 maxm n,n m max m, n,e,xn e) gcd(xm m n ne,x e).m n nx (x e)m n n nx (x e),x e)e)。而 gcd(m n,n) gcd( m, n) d ，所以根据归纳假设，有 gcd(xm n e,xn e) xd e. 于是有m n dgcd(x e,x e) x e.引理13设m,n是正整数，而d gcd(m, n),那么mndgcd(xq x,xq x) xq x.证明：仿照引理12的证明，可证明gcd(qm 1,qn 1) qd 1.根据引理 12 有m .ndgcd(xq 1 e,xq 1 e) xq 1e.mnd因

15、止匕 gcd(xqx, xqx) xqx.引理14设Fq是q个元素的有限域， 个d次不可约多项式。而f (x)是Fqx上的n那么 f (x)|(xqx)当且仅当dn.证明：充分性：根据引理10,要证nf(x)|(xqx)，只需证qn明(xqx)f(x) 0 即可。设 d n，那么 gcd(d, n)d.根据引理13有dngcd(xqx,xqx)dqx x,于是由引理10得到(Xqx)f(x) 0d则有 f(x)(xqx)，故有 f (x)(xM x).必要性：设f(x)(x X)，由于f(x)(xdq x)那么nf(x)gcd(xqd q x, xX).令gcd(d, n) d.根据引理13得

16、到f (x)(xd1q 1X)，再根据引理11,有di d。但是gcd(d,n) did .故有did。于是有d n引理15设Fq是q个元素的有限域.那么对于任意正整数，(x)都没有重因式。qn 1证明：设f (x) (xqe).那么有f(x) (qn 1)x 2mn设Fq的特征为P。由定理1，q是P的一个幕。令q那么 gcd(qn 1, P) gcd( pmn 1, p) 1。所以f (x)0.对于f(x)来说只有因式x和cx，而x不能整除f(x)，所以gcd(f(x), f (x) e.于是根据定理6，n 1知 f(x) (xq 1n .e).没有重因式。然而x不是xqe的因式，因此(xX)也没有重因式。定理16设Fq是一个q个元素的有限域，n是一个正整数，而Pl,P2, ,Pm是n的所有两两不同的素因数。用q,n(X)Jq,n(X) (Xmqn/P1/Pi PjX) (Xq X)(xq )i 11 i j mc % P2 PmX) (Xq其中q% Pj Pk (xq1 i j k m1或-1分别由m是偶数或奇数来确定的。再用X),q,n表示Fqx中n次首一不可约多项式的个数，那么q,n丄(qnnm n/qPi1/Pi Pj Pkq1 i j k mq/PiPj1 i j m