数形结合的思想方法应用篇

1、数形结合得思想方法 (1)-应用篇一、 知识要点概述数与形就是数学中两个最古老、最基本得元素,就是数学大厦深处得两块基石 ,所有得数学问题都就是围绕数与形得提炼、演变、发展而展开得: 每一个几何图形中都蕴藏着一定得数量关系,而数量关系又常常可以通过图形得直观性作出形象得描述。因此,在解决数学问题时 ,常常根据数学问题得条件与结论之间得内在联系 ,将数得问题利用形来观察 ,提示其几何意义 ;而形得问题也常借助数去思考 ,分析其代数含义 ,如此 将数量关系与空间形式巧妙地结合起来,并充分利用这种“结合” ,寻找解题思路 ,使问题得到解决得方法 ,简言之 ,就就是把数学问题中得数量关系与空间形式相结

2、合起来加以考察得处理数学问题得方法,称之为数形结合得思想方法。数形结合就是一个数学思想方法 , 包含“以形助数”与“以数辅形 两个方面 , 其应用大致可以分为两 种情形 : 或者就是借助形得生动与直观性来阐明数之间得联系 , 即以形作为手段 , 数为目得 , 比如应用函数 得图像来直观地说明函数得性质 ; 或者就是借助于数得精确性与规范严密性来阐明形得某些属性 , 即以数 作为手段 , 形作为目得 , 如应用曲线得方程来精确地阐明曲线得几何性质。数形结合得思想 , 其实质就是将抽象得数学语言与直观得图像结合起来 , 关键就是代数问题与图形之间 得相互转化 , 它可以使代数问题几何化 ,几何问题

3、代数化。 在运用数形结合思想分析与解决问题时 , 要注意 三点 : 第一要彻底明白一些概念与运算得几何意义以及曲线得代数特征 , 对数学题目中得条件与结论既分 析其几何意义又分析其代数意义 ;第二就是恰当设参、合理用参 ,建立关系 ,由数思形 ,以形想数 , 做好数形 转化; 第三就是正确确定参数得取值范围、二、 解题方法指导1. 转换数与形得三条途径 : 通过坐标系得建立 , 引入数量化静为动 , 以动求解。 转化 ,通过分析数与式得结构特点,把问题转化到另一个角度来考虑,如将转化为勾股定理或平面上两点间得距离等、 构造 ,比如构造一个几何图形 , 构造一个函数 ,构造一个图表等、2、运用数

4、形结合思想解题得三种类型及思维方法“由形化数 :就就是借助所给得图形 ,仔细观察研究 ,提示出图形中蕴含得数量关系 ,反映几何图形内在得属性。“由数化形” :就就是根据题设条件正确绘制相应得图形,使图形能充分反映出它们相应得数量关系提示出数与式得本质特征。“数形转换” :就就是根据“数”与“形”既对立,又统一得特征 ,观察图形得形状 ,分析数与式得结构 ,引起联想 ,适时将它们相互转换 ,化抽象为直观并提示隐含得数量关系。三、 数形结合得思想方法得应用( 一) 解析几何中得数形结合 解析几何问题往往综合许多知识点,在知识网络得交汇处命题,备受出题者得青睐 ,求解中常常通过数形结合得思想从动态得

5、角度把抽象得数学语言与直观得几何图形结合起来,达到研究、解决问题得目得.1. 与斜率有关得问题？【例11已知:有向线段PQ得起点 P与终点Q坐标分别为P (1,1),Q (2 ,2)、 若直线I： x + m y+m = 0与有向线段PQ延长相交，求实数m得取值范围。？ ？ 解:直线I得方程x+ my+m= 0可化为点斜式:y +仁(x 0),易知直线I过定点M (0, 1 ),且斜率为。 I与PQ得延长线相交，由数形结合可得：当过M且与PQ平行时，直线1得斜率趋近于最小；当过 点M、Q时，直线I得斜率趋近于最大。？s 0-c os a +3)+(sin 0 n a2 )2得最大(小)值、？【

6、分析】可瞧成求两动点 P(c ? 解 :两动点得轨迹方程为 :x2y 2=1 与 如图 :【点评】含有一个变量得直线方程可化为点斜式或化为经过两直线交点得直线系方程、本题就是 化为点斜式方程后 ，可瞧出交点 M(0，1 )与斜率.此类题目一般结合图形可判断出斜率得取值范围。 ? 2. 与距离有关得问题【例2】求:y = (coo s 0，S n 0)Q(c o s ，s in a +2之间距离得最值问题、(x+3) 2+( y 2)2=1,转化为求两曲线上两点之间距离得最值问题、X+ k与曲线x=恰有一个公共点，求k得取值范围。3、与截距有关得问题？【例3】若直线y =解:曲线x =就是单位圆

7、x2+y2=1得右半圆(x 0),就是直线y=x + k在y轴上得截距.?由数形结合知：直线与曲线相切时,k =-,由图形：可得k= -，或-1vkwi? 4。与定义有关得问 题【例4】求抛物线y 2=4 X上到焦点F得距离与到点 A(3,2)得距离之与为最小得点P得坐标，并求这个最小值、【分析】要求PA+PF得最小值，可利用抛物线得定义，把PF转化为点P到准线得距离，化曲为直从而借 助数形结合解决相关问题、解:P就是抛物线y2 = 4x上得任意一点，过P作抛物线得准线I得垂线，垂足为D,连PF (F为抛物线 得焦点),由抛物线得定义可知:?、? 过A作准线I得垂线，交抛物线于P,垂足为Q，显

8、然，直线A Q之 长小于折线APd之长,因而所求得点P即为AQ与抛物线交点、？ / AQ直线平行于X轴,且过A(3, 2 ),所以方程为y= 2，代入y 2=4 X得X =1.? P(1 ,2 )与 F、A得距离之与最小，最小距离为4。 【点评】(1)化曲线为直线就是求距离之与最有效得方法，在椭圆 ，双曲线中也有类似问题、? (2)若点A 在抛物线外 ，则点 P 即为 AF 与抛物线交点 (内分 AF )。(二)数形结合在函数中得应用1、 利用数形结合解决与方程得根有关得问题?方程得解得问题可以转化为曲线得交点问题，从而把代数与几何有机地结合起来 ，使问题得解决得到简化例 5】已知方程 x24

9、 x+3 =m 有4个根 ，则实数 m 得取值范围 。分析】此题并不涉及方程根得具体值,只求根得个数 ,而求方程得根得个数问题可以转化为求两条曲线得交点得个数问题来解决、解:方程X24X+3 = m根得个数问题就就是函数y=x24x+ 3与函数y=m图象得交点得个数、？ 作出抛22物线y=x -4x+3 = (x 2 ) 1得图象，将x轴下方得图象沿x轴翻折上去，得到y = x2-4 x +3得图象，再作直线y = m,如图所示：由图象可以瞧出，当0m1时，两函数图象有4交点，故m得取值范围就是(0, 1卜数形结合可用于解决方程得解得问题 ,准确合理地作出满足题意得图象就是解决这类问题得前提。

10、2、利用数形结合解决函数得单调性问题 ? 函数得单调性就是函数得一条重要性质,也就是高考中得热点问题之一。在解决有关问题时 ，我们常需要先确定函数得单调性及单调区间，数形结合就是确定函数单调性常用得数学思想，函数得单调区间形象直观地反映在函数得图象中.?【例6】确定函数y =得单调区间。解：7=x|x?画出函数得草图，由图象可知，函数得单调递增区间为(一8 ,Q , 1,+ 8 )函数得单调递减区间为0,1.3. 利用数形结合解决比较数值大小得问题【例7】已知定义在R上得函数y=f(X)满足下列三个条件：对任意得x R都有f (x+4)=f(x);对任意得称。由此，画出示意图便可比较大小、显然

11、,f(4.5)f (7) f( 6 .5)。4、禾U用数形结合解决抽象函数问题抽象函数问题就是近几年高考中经常出现得问题，就是高考中得难点、利用数形结合常能使我们找到解决此类问题得捷径。?【例8】 设f (x),g( X )分别就是定义在 R上得奇函数与偶函数，在区间a ,b(ab0)上 ,f X)g(x) + f(x)g (x)0，且 f (x ) g (x )有最小值0 W1X2W 2都有f(xi) 0? y=f( X )g(x)在区间a, b ( a bax得解集就是x|Ox4,则实数a得取值范围就是()。？ A。: 0 ,+ )(8,4? C . (-8,0 )D. (8,0 解:令f

12、(x)=,g(x)= ax ,则f(x)=得图象就是以(2,0)为圆心，以 2为半径得圆得上半部分，包括点(4 ,0),不包括点(0 ,0);g(x)= a x得图象就是通过原点、斜率为a得直线，由已知ax得解集就是 x | 0 x4 ,即要求半圆在直线得上方，由图可知a 0,所以选C。【点评】本题很好得体现了数形结合思想在解题中得妙用【例10】 若x (1,2 )时,不等式(X1)2 logax恒成立，则a得取值范围就是()、(0,1)E、 (1 ,2)? C. ( 1 ,2D、: 1,2：解:设 y1=(X 1)2( 1 X 2),y2 =l o gax、由图可知若y iy2(1 x 1。

13、2y 1 = (x-1)过(2 ,1)点，当 y 2=logax 也过(2,1)点，即 a=2 时，恰有 y1y 2(1 x2) 1aW22寸(x 1)2 1 ogaX在x (1,2)上成立，故选C、【点评】 例1、例2两题得求解实际上综合运用了函数与方程以及数形结合得思想方法。2、解不等式【例11】已知f ( X )就是R上得偶函数 且在0,+ 上就是减函数，f(a)=o (a0),那么不等式x f(x)0 得解集就是()。？ A、 x I 0x ax I axa? C。xI -a X aD. x I x a或0 x0),可得到f(x)图象，又由已知xf(x)2得 22=2 .2-阳丨卜1=

14、-】1矣15 /工|aU I - 11- I-224斗,作矚图氟由因数圈象I解法21由穴工心?-得I询|-1-彳 |：4】la- I?易求出g( X )与h(x)得图象得交点立时,x得取值范围为,+ S)? 【解法3】 由得几何意义可设F1 (1 ,0 ), F 2( 1 ,0 ),M( X ,y),则，可知M得轨迹就是以F1、F2为焦点得双曲线得右支，其中右顶点为(,0),由双曲线得图象与X+1 x- 1法卩x表现出来，体现出数形结合得思想，给我们以 柳暗花明”得解题情境、(四)运用数形结合思想解三角函数题纵观近三年得高考试题，巧妙地运用数形结合得思想方法来解决一些问题，可以简化计算，节省时

15、间，提高考试效率，起到事半功倍得效果。？【例13】函数f(x)= S inx+2 s inx,xe : 0,2 n得图象与直线y=k有且仅有2个不同得交点，则k得取值范围就是、？【分析】本题根据函数解析式，画出图象，可以直观而简明地得出答案，在有时间限制得咼考中就能大大地节约时间，提咼考试得效率。解:函数f(x)=由图象可知:1k 3。 ?【例14】当0 x时，函数f(x)=得最小值为A、 2 Bo 2 C. 4 D、4?解:y=则 y 为点 A(0,5)与点 B ( sin2x,3c o2 X)两点连线得斜率，又点B得轨迹方程(0),即X2+ =1 (x 0),如图，当过点A得直线I ： y

16、=kx+ 5与椭圆x2+= 1( x 0)相切时，k有最小值4，故选C.【例 15 】若 sin a +cos a =tan ao再令a =则sin+c o s=1 366, t an=1、7 3 21、367，由图象知xP应小于.故选Co ?【点评】本题首先构造函数f(x)，g(x)，再利用两个函数得图象得交点位置确定a，淘汰了 A、 B两选项，然后又用特殊值估算，结合图象确定选项 C,起到了出奇制胜得效果。？【例16】 已知函数f (x)就是定义在(一3，3)上得奇函数，当 0x 3时f(x)图象如下图所示，那么不等式f(x)cosx0得解集就是()oA* ) U(0 I) 予 t. r解

17、:函数f( X )定义在(-3 ,3)上,且就是奇函数，根据奇函数图象性质可知，f(x)在(3 ,0)上得图象如图所示若使f (x)cosx1)(如图1 ),可见它们没有公共点，所以方程无在解题时，有时把数转化为形，以形直观地表达数来解决，往往使复杂问题简单化、抽象问题具体化.但就 是，依赖图象直观解题，也要注意如下几个问题。a,y =ax与y= 1 ogax得图象得延伸趋势不同.例如当a=2时，方程无实数，一定相交，交点在直线y= X上。1、注意图象延伸趋势 ？【例19 解:在同一坐标系中分别作出函数y 实解，命题正确。【评析实际上对不同得实数解;而当3=时,x=2就是方程得解、说明两图象向

18、上延伸时2、注意图象伸展速度”【例20】比较2n与n2得大小，其中n2 ,且n N+、?错解在同一坐标系中分别作出函数y= 2 x及y=x2得图象（如图2）、?由图可知，两图象有一个公共点。？ 当X =2时,2x= X 2;当 x2 时,2x X2。当 n=2 时 0=n 2;?当 n 2,且 n N + 时，2n 2【评析】事实上，当 n=4时,2n与n 2也相等；当门=5时,2n n 2、错因就是没有充分注意到两个图象在x2时得递增 “速度”！要比较两个图象得递增速度,确实很难由图象直观而得。本题可以先猜想 ,后用数学归纳法证明 .本题得正确答案就是当 n=2、4 时，2n=n2;?当 n

19、= 3 时,2n5 时，nN + 时,2nn2、证明略 .3?、注意数形等价转化【例21】已知方程x2+ 2kx-3k = 0有两个实数在-1与3之间，求 k得取值范围。？ ？错解:令 f（x）=x 2 + 2kx 3k, 结合题意画出图象 3中得（1）,再由图象列出不等? 解略、【评析】 事实上 ,不等式组 （）并不与题意等价 ,图象3中得 （2）也满足不等式组 （）,但两实根均大于 3,还可 以举出两实根均小于一1得反例。若不等式组（* ）与图3中得（1）等价，需加上条件一3k 1、因此，数形 转化要注意等价性。4、注意仔细观察图象 【例22】已知关于X、 y得方程组（ab0）有四组实数解

20、，求a、b、m应满足得关系。错解 ：已知方程组中得两个方程分别就是椭圆与抛物线得方程，原方程组有四组实数解等价于椭圆与抛物线有四个不同得公共点。由图4知,mv -b,且va，即-a2m ?现用数形结合求解:?考虑一元二次方程？ a2y2 +b2y （m+a2） b 2 = 0 ,令=0 （即相切情形）,?解得m=-,结合图象 ,?注意到m -b,则a、b、m应满足得关系就是-m -b。?从以上瞧出，有些问题可以用图象解决，但要认 真分析 ,有些问题很难由图象直观而得 ,值得注意。5。 数形结合也有简繁之分 数形结合得核心与灵魂就是 “结合 ”、解题时 ,由于观察与联想得视角不同,会出现不同得

21、“结合” ,结“合得好就得到好得解题方法,“结合”得不好就使解题过程繁琐且易出错 ,“结合”得优劣反映出了我们得基础与能力 ,也反映出我们思维灵活性与创造性得水平, “结合 得优化选择 ,应就是数形结合法研究得重要一环、为便于说明,我们先瞧几例：？【例23】已知方程mx=x+ m有两个相异实根，求实数m得取值范围、视角一：视方程m x=x+m两边得代数式为两个函数，分别画出函数 y=mx,y = x+m得图象（如图l ），由于两个 函数中都含有m ，故需进一步对 m进行分类讨论，情况复杂.图1仅表示m0时得示意图。？ ？视角二：由 m工0，先将原方程变形，得xi =x,再视方程x 1=x两边得

22、代数式为两个函数，分别画出函数y= X 1,y = x 得图象 （如图 2）,由图易瞧出 ：ml时，图象有两个不同交点，此时原方程有两个相异实根-m。?分别作出函数y =,y= m得图象（如图3）,由图易瞧出，当m0时,得1 =,当x0时,得一1 =.? 分别作出函当0 1 时,两函数得图象有两个不同交点? 视角四 ：用分离参数法 ,先将原方程化为。数y =,y=得图象（如图4 ）,由图易瞧出，当 0 1或mV -1时，两函 数得图象有两个不同交点 ,此时原方程有两个相异实根。可见,例1得各解虽同就是数形结合，但大有简繁之分，视角二优于视角一，视角一中两函数中得都含有m,因而她们得图象也就是变

23、化得，虽可以通过讨论而获得结论，但讨论时容易因考虑不周而产生漏解，视角三虽 瞧图直观明了 ，但图象不易作出，而视角四既比视角三作图方便，又比视角二简单，不用讨论，这就是因为视角二还有一个函数中含有m,而视角四中已不含 m,所以这里以视角四为最理想。【例24】已知函数f(x)=ax2+bx且2 f(1) 4(-1序求f(- 2 )得取值范围、这就是我们常出错得题，其代数解法有待定系数法、特征函数法、三角代换法等 就是线性规划法。这类问题可瞧作一个条件极值问题 ，即变量a、b在2 a+b4 IWa b W2？这两个约束条件下，求目标函数y=4 a-2b得最大(小)值问题。约束条件2a b 4,1

24、a b|解集就是非空集，在坐标平面上表 示得区域就是由直线：a+ b=4,a+b=2,a b=2, a b = 1所围成得封闭 图形(图5中得阴影部分)。,而众所周知得数形结合法y得大小又可以瞧作直线b = 2a y在b轴上截距得大小，从图中易知当直线b=2a-y经过A(,),C( 3 ,1)时截距分别为最小f( 2)=5与最大f ( 2)=1 0 .? 所以 5 f( 2) 10.其实还可有如下数形结合法：0-(-, 匚(-】，】)要求f(-2)得取值范围，只要确定f(-2)得最大(小)值,即找到f(x)得图象在X =2时得最高点F与最低点E得纵坐标，为此只要确定f(x)经过E、F时得 函数

25、表达式，由于f (x)=ax2 + bx就是经过原点(c= 0 )得抛物线系，所以只要 再有两点就可确定，由已知2 f(1) 4,f 1 ) 2知f(x)在x=1时得最高点 B( 1 ,4),最低点 A( 1 ,2),f(x)在x= 1时得最高点 D(- 1 ,2),最低点C(- 1 , 1 ),(如图6 ),由抛物线得图象特征易知经过F点得图象就就是经过0、B、D得图象C2,经过E点得图象就就是经过O、A、C得图象C1,于就是：将B (1 ,4),D( 1 ,2)坐标代入 f(x)=ax2 + bx 得？图 6解得 a=3 ,b=1.?故图象经过O、B、D得函数为 C2 : f(x)=3x 2 + x,所以？ fm a x(-2)= 10 .? 将 A(1 ,2),C( 1, 1 )得坐标代入 f(x)=ax 2+bx 得?故图象经过 O、A、C得函数为C1 : f(x)=x2+x,fmi n(-2)=5 。? 所以5 f( 21 。?【