行列式的计算毕业论文

1、行列式的计算摘要：行列式是研究许多学科的重要工具，因此行列式的计算是大家共同关注的问题本文介绍了几种特殊而且行之有效的行列式的计算方法.关键词：范徳蒙行列式；降阶法；升阶法；递推法；数学归纳法；代数余子式的讣算；拉普拉斯;理展开16符号说明:表示第i行表示第j列 表示行列式元素知的余子式 表示行列式元素5的代数余子式kr. + m 表示第i行的k倍加到第j行kCj+Cj表示第i列的k倍加到第j列The Calculation of the DeterminantMA Zhl-e(College of Mathematics and Statistics, Northwest Normal Un

2、iversity,Lanzhou 730070. Gansu. China)Abstract： The determinant is an important tool lo study many disciplines, so the calculation of the determinant is a commonly concerned problcm. Several particular and effective methods of calculating the determinant are introduced in this paper.Key words: Vande

3、rmonde determinant; reducing order method; ascending order method; recursive methods;mathematical induction; calculation of algebraic complemeni; method of Lap lace expansion;引言使用行列武按行（列）展开，可以将行列式写成低一阶的行列武的代数和，从而将行列 式降一阶但是，山于展开式是“项代数和，因此讣算量任很大，可以考虑一些减少讣算量的 方法，并且选择最佳计算方法行列式是研究许多学科的重要工具，因此行列式的计算是大 家共同

4、关注的问题课本中只介绍了儿种讣算方法，本文主要介绍儿种特殊而且行之有效 的行列式的讣算方法，具有针对性.一、化行列式为三角行列式使用行列武的性质将行列式化为三角行列武箭形行列式1 11 11 200例1.1计算行列式2 =1 03 .01 00n=011可化为箭形的行列式2佝-纵佝-纵眄-心2-兀例1.2计算阶行列式2 =（兀=八）幺2佝_片y0_片0巧一4_片00X）2%2 _山VF)-1-1*10-10350n =n( r-l尤3 如0筋形行列式曾兀,一 4100滋力(Wr-l1+ZJt-I 无 一 500兀一5X厂你00n丿叶行（列）和相等的行列式例1.3 讣算阶行列式q =X + In

5、-)aa /Ia aX + In_l)dX aJ23u * *-I-2-2 -20 12-32 4 nn-i一 j得=（_厂 2心（-1）2 =例1.4.2计算阶行列式2二123-1n234n1345 12n1 11-3n-2n12n-2 1123 一1n111 1-n11II /Z 1111-/I14I11-/71 11認n _也+片5 i.g】2=（严i仝严y-2.3n( + !)iH 1-/I-1-11一-11一-1-11-n1-ZI1一-it仝r”(+i)y2.3.-fl-1-n-1-n-1/(/! +1) , / 、-(j) 2 (T)(FTn-l-2二. 利用范德蒙行列式结果计算当

6、行列式各行（列）都是某元素的不同次幕的形式，使用行列式的性质将行列式整理 成范德蒙行列式.例2讣算行列式Q =解 考虑” + 1阶范德蒙行列式11 11册x. X”X2x,2 X Y2X”严x/-X；-*y-兀2“V/W =2寸2x_xi）（x_x2）（x-斗）n（兀-1 勻 00“2 绻-1004化(b佚b严)卄I-5“2 偽+仇4+勺5解Q丿边i+y 二一川.2nbUj00b0叽a,10 .1+1A2q =加边0V+1 吃兀10 兀X；+11x?斗一斗1 0 0f23.”4_勺0 1 0一 00VI+1大2解例4. 2 计算畀阶行列式 =x, + l兀X/ +1兀兀 VI卞2 x：+li+

7、ix严 /23-w+l五、递推法使用行列式的性质，将所求的川阶行列式2用同样形式的1阶行列式Qi表示出来,建立2与2“之间的递推关系,有时还可以将2用同样形武的比-1阶更低阶的行列武 表示，建立他们之间的递推关系，从而找到递推公式，最终求出“阶行列式的值.-1-1n-l521fl=2严r-)例51 证明2 =证明0”=畑展开吗+(-1厂&一12 =%+% =x（必2+%） + %=也.3 + 6/ + it_l=iX + +例5. 2计算畀阶行列式2 =0aa ab0a ahb*0 a bb4h0解将Q中笫”列元素表示成两数之和,然后拆成两个行列式相加,即/ + 0a + （-a0 将上式等号

8、右边第一个行列式从第二行起，每一行的(-1)倍加到上一行,将第二个行列式按第列展开, 得,ba000-ha000ah.0 hV hha一心2 =16将上式等号右边第一个行列式按第，汐Ij展开，得山字母a与ZJ对称性显然有D”=W-bD-联立得,2+心=心厂0”+心=心）：当则,可解得D” =（-1广W（严+旷怙+川宀/严）,肖“尿I寸,易算出必=（一1）心（10六. 数学归纳法当已知一个“阶行列式的结果，要证明其等式对于任意的自然数都成立，常使用数学归 纳法证明如果未知刃阶行列式的结果，也可以先计算当“ = 1,2.3时的行列式值，推导出畀阶行列式的结果，然后使用数学归纳法证明结论的正确性这种

9、方法通常用在证明“阶行列 式的等于某个值的题目中.1+5 1 1 1I1 + Cl -y11.1 + % 111 + a”证明 当” =1时，2=1+01=4 1+，所以结论成立.I q丿假设 = k时结论成立，即仅=4“绰1 + V V伺耳丿那么汁馆=+1时,将按最后一列拆开，有! + ,111 + 0,VV1111+l + l111 + rt,V11004111+51111+你0111 11111 1Dz =0=4宀代+qd2 叫Z l + 工 =01如1 +_当 = k +1时,结论亦成立.1 + ,ir综上可知，q =1+g1+5七、代数余子式的计算/r=ki9J=ybw J2?沁hA

10、lDJ = jlOJ J利用上述表达式有时可以简化代数余子式的有关计算问题I23ZII2001030V* I00例7设阶行列式Q =，求第一行各元素的代数余子式之和人1+人2+ A”=n解显然第一行各元素的代数余子式之和可以表示成1 1 1 11 2 0 0Ai+Az+=1 0 301 0 0 11 I1-斗7-2 J0=235八. 利用拉普拉斯展开定理计算拉普拉斯定理是行列式按一行或一列展开定理的推广为了灵活应用拉普拉斯展开定理,必须正确理解其含义该定理是说在“阶行列式D”中任意选定k个行（列）（k% +bII氏= /16000b00解法200h00 hr-1/a, +h5bh00_斤b0b

11、V V0一 b00hK形nb +工气2 i-i0h00_中|f2340*0b000*0b(nn=戻7 b216用加边法构造以下与q相等的n+1阶行列式1皿 ”Iq2504 +b“2 匕-1b0 0q =0a、+b =E,2.3. *n-10b00G, (hn +b-100h若显然D“=0解法3不妨设bHO,2吃1 b台:0h000h000500h=bi+q I b幺=厂b + dr-1纠+bG,16% +bq +/?2他5+/?25 0+h3“2 +方佝 02佝+h +“3 +b 0 12V4425 b将上式等号右边的第一个行列式的各行都减去第行，将第二个行列式按第刃列展开，得+bS=b%+%=戻7练 +”(Z/Zq+叫)”仏 +/严如+9,一2=叫严fi-1+ + 42)+ /=b (4+%+6)+(|+)参考文献1 徐仲线性代数典型题分析解無2版.西北工业大学出版社,19972 赵慧斌，高旅瑞线性代数专题分析打解题指导北京大学出版社,2007, 83 张天徳，蒋晓芸线性代数习题精选精解山东科学技术出版社，2009, 12【4】上海交通大学数学系编.线性代