第3章习题解答2

1、第三章 导数与微分基本要求、理解导数的概念及可导性与连续性的关系，理解导数的几何意义与经济意义。、熟练掌握常数和基本初等函数的导数(微分)公式、掌握导数(微分)的四则运算 法则及复合函数求导法则，掌握反函数与隐函数的求导方法及对数求导法。三、了解高阶导数的概念并掌握其求法,能熟练求出初等函数的一阶、二阶导数。四、会用微分进行近似计算。1、求y =ex在点(0,1)处的切线方程。解：函数y =ex在点(0,1)处有：3d-e0, 1=lim7T2ln(1 + u)u=1，即 yjh1 lim 仪=lim令上：limS ZT ln(1+u)函数y=eX在点(0,1)处的切线方程为：y-1=1(x-

2、0)= y=x + 1.I 2.1卡 cx sin- X HO2、讨论函数f(X)才 x在X = 0点的连续性与可导性。i 0 x=0解：lim f(x) =lim x2sin1=0 = f(0), xTxT f(x)在x=0处连续;f(0)= lim_xsin丈=0 f(x)在x=0处可导，且厂(0)=0。3、求下列函数的导数：(1) f(X)=x100 +5X +1;解：f(X)=100x99 +5 f(x)=(仮 +3)G-5);解：f（X）=（仮 +3）G 5）=吉 -5丘14f （X）示一寻(3) y =(X2 +1 j(2x-7 );解: y= (2x3-7x2+2x-7) = 6

3、x2-14x+ 2 ；(4) y =xsecx+cscx ；解:y =secx +xsecx tan x _cscx cot x ;1 -sin X y =1 +COSX解:,_ -cosx(1 +cosx) (1 -sin x)( -sin x) y =sin X -cosx -1(1 + cosx)2(1 +cosx)2X In xX +ln x解:yjlHxfxTnxHt)2ln x-22(x+ln X)= 2(x+l nx)tan X2 sec X XX解:-ta n X2 X y=sinx+cosx解 y _ x (sin X + cosx) -x (sin x +cosx) _ (

4、1 + x)sin x + (1 x)cosx(sin X + cosx)21+si n2x40、求下列函数的导数:(1) y = In tan X ;解:sin xcosx- 1 2 y = sec Xtan X=ln(1 +ln X);解:八宀 1X1 +l nxx(1+ln X)周nx=e解:yynx 冇1=2Jsin XySinrJsinxcosx ecosx =解:y = J1 +ln2 xy2 J1 +l n2In xX J +ln2 X5、求下列函数的导数(1)y =(3x-2)10(5x2丄八12-x+1)；解: y =10(3x-2) ”3(5x2 -X+1)42 +(3x-

5、2)2 ”12(5x2-x+1)11(10x-1)= 30(3x-2)9(5x2 -X +1)42 +12(10x-1)(3x-2)10(5x2 -X + 1)11X_x e -eX丄_xe +e解:.X ,_x ,2(e +e ).X . _x ,2 . X_X 2 (e +e ) -(e -e )/ X(e4_/ X 丄一X 2(e +e )(3) y =arctan1 -x(1x2)(什X 2)+(M2(4) y =x(sin In x +cosIn x);(1-X)2, 1解: y =sin ln x + cosln x + x(cosln x -sin lnX1) = 2cosIn

6、x xX1(5)y =csc(-) + xsin-;3X解：y = -cos(X) 81(-)+sin 1 +333 X1xcos-x(2) = -1coc(-)cot(sin 丄一丄 cosX 333 XX X(6) y=ln +J1 +e2x)；1解：八f X12X )exte ex +7e2xJ1 +e2x6、设f(x)可导，求下列函数的导数:(i)yx2f(x)解:,2xf (X) -x2f(x) y =f2(x)1 +xf (x)解:,(1 + xf(x)Jx -(1 +xf (x)( Jx)y =(f(X)+ Xf (X)VX (1 + Xf(X)L2Jx解:2x2f(x)+xf(

7、x)-1r2xwx2卄=2(4)解:占(1 + b2解：y，(1+丁X + +x+x3y”=_X (1+ X arctan = In Jx2 + y2 ；x)P&求下列函数的n阶导数。/八 1 X八k;1 +x2解: y =-1 =2(1 + x)二-11 +x厂=2 ( 1) (1+x), yJ2 (_1) (2) (1+x),y 2 (_1) (_2) (3) (1+x)，,川,y(n)=(-1)n 2 心(1+x)n += sin2 x.解:y = 2sin xcosx =sin 2x =2sin2x1兀y=2 cosx 2 sin护2兀y=22si n(2x +2) y=23 sin(

8、2x+ 3今(n)_n -1 (，/. ,y =2 sin fx + (n T)15、求下列隐函数的导数:（1）X2 -xy+y2 =8 ；2x yX 2y解：方程两边对x求导，2x-y-xy，+ 2yy，=0 =1解：方程两边对x求导，云(2x + 2y 仍所以(3)x解:y =x3-x2y+x-y 方程两边对 x 求导，2y=3x2-2xy-x2y+1二 y2y =+2(x y)x(4) cos(x - y) = ysin y ；解：方程两边对x求导,sin(X y)-sin(X-y)(1-y ) = y siny + ycosy y =sin(x y) sin y ycosy9、用对数求

9、导法求dx(1)y =(ln x)x1解:两边取对数有In y =xln(ln x),方程两边对x求导有一y、|n(In x) + x y1 1In x x 1 1 -八(Inx)ln(ln x)+jS、/ - cosx(2) y = (sin x)1解：两边取对数有In y =cosx 4n(sin x)，方程两边对x求导有一yy=sin X In(sin x) +1, .、COSX . ., -sin x ,.-cosxcosx , y = (sin x)ln(sin x) + cot xcos xsin X汁空学4 ；(x+1)51解:两边取对数有lny弓(x + 2)+4lng) 5l

10、n(x+1)，方程两边对x求导有2(x +2)(3-x) (x+1)5=g(3;x)4(亠_亠_ 亠)-丄八52(x + 2)(3-X) (x + 1)(x+1)5 y = Jxsin XeX ；解：两边取对数有In y1 1plnx+lnsinx+护(1ex)，方程两边对x求导有1 11 1y =一+cosxy 2 x sinx=1 Jxs i txj(1 -eX)(丄 +c ox -2%)解:解:解：y = 2(ex +e)(ex e_ , 2x_2x)=2(e-e )10、求下列函数的微分:(1) y =丄 +27x ；xdy =(l)dx+(27x)dx =(4r+ 1xx2 2x=x

11、 e.2 . 2x , 2x .2_ 2x.,、.dy =x de +e dx =2xe (1 +x)dx y =(eJe)2.dy =2(e2x djdxy sin X xsin y =a解:方程两边对x求导得y sin x + y cosx -sin y -xcosy 寸=0所以第三章单元测验题,s i yi y ex y =: s i 舀一 x c o1、填空题:1 - f存在，则阿0牛亠-fa), f (a + h) - f (a - h)、lim =2 f (a)hjO f(a)=|im f(a+h)-f(a) hJO.忸 3：= _,m, U 丄四 f(af(a)f(a)，|im

12、f(a +h)-f(a-h) _|im f(a + h) - f (a) + f (a) - f (a -h) Th_ hTf(a+h)-f(a) f(a)-f(a-h)、呵(a+h)a+四 a(a-h) = f(a)十 f(a) = 2f(a)(2)设 f (X )= X2 4x +5，则 f f 0)=4x2 -2x +37 ；（3）曲线y =sinx在x=处的切线方程是4OQ 设曲线y=x +ax与曲线y=bx +1在（一 1,0）处相切，则a= 1b= -1(5)已知y = f去-2 )3x+2 丿，,2,兀f(X)=arctanx，则 y (0)=。42、设函数f(x) =1 Xla

13、x + bX兰1在X=1处连续且可导，求a、b值。X 1解：Tim f(X)= limX1一一2X =1， lim f(X)= lim(ax+b) = a+b又/ f(x)在x=1 处连续， a+b=1.由于 f(1) =1 有: f(1) =lim fg-f =ljm=2xT_xT iLxTx1ax + b -1 1) = lim fgJJ-lim +1XT xTxT xT一、六 A MWTB. . ax + bT r a(xT) + (a+b)T-f (x)在 x=1 处可导，.lim =hm =2xT十 X 1心今十x1由于 a+b=1,. a=2, b =-1.1、设 f(x) =(x

14、3T)g(x)，其中 g(x)在 x=1 处连续，且 g(1)=6,求 f/(1)。1解： f(x) =(x31)g(x) =3x,_a . X ,x 门 一arcsi n 中a2g(x)+(x31)g(x) f(1)=3d2xg(1)+(13_1)g(x)=183、求下列函数的导数:(i)y解:所以cos2xsin X + cosxcos2x由已知y =sin X + cosxy = -sinX cos x2. 2cos X Sin X.=cosx - sin X sin X + cosx(2) yJx -1 中 xjy -1 = xy;解：方程两边对 X求导有 y，Jx-1 + Jy -1

15、 +x一 y = y + xy2jy-1y - Jy -1 - y寸 X-1-X +,2沪 y =xe x ；解:1I一Xy =e+ xe1 1= (1+-)eX,、arcs in x=(arccos x)解:方程两边取对数有Iny = arcsin x “In arccosx方程两边对x求导有1yyJ1 - X2,丄 a r c s Xn 1ln a rc c(xs(-ar c cx s J1 - x2)即 y =(arccosx)arcsinxIn arccosxarcsin X ? arccosx-x2解:J1 -(:)22Ja2 -X22 彳 2a1厂22 X=+ - va -Xwa22/a4、用F(x)=fg(sin4x)；解:F (X)= 4cos 4x g (sin 4x) ”f g(sin 4x) F(x) = xeg(arctaW)解:g (arctan 拶g (arctan 存)F( X) = e十 xe厂 11g (arctanjx) ”一戸1 + x 2 代二严21+為g如以)5、已知I、 (n)八 x2+5x+6，求 y。1(X +2)(X +3) X +2(X +2)(x+3)厂=