第06章定积分及其应用

1、第五章定积分及其应用第一节定积分的概念一、问题提出1、曲边梯形面积(1)曲边梯形：由连续曲线y = f(x) (f(X)0), xqa,b、x 轴与 两条直线x=a、x=b所围成.(2)计算曲边梯形面积的思路：用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然,小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积. 图形 with (student):rightbox(x2, x=0.1,5,color=MAGENTA); leftbox(x2, x=0.1,60,color=MAGENTA);(3)计算曲边梯形面积如图：在区间a,b内任意插入若干个分点a = X0Xj V X2 VV Xn 斗 V Xn = b ,把区

2、间a,b分成n个小区间xix,长度为Axi = Xi -Xi丄，在每个小区间上任取一点匕,以为Xi丄x底，f(Ei)为高的小矩形面积为 A = f ()人Xi ,曲边梯形面积的近似值为nA 汪 f(G2Xi,i壬当分割变细即小区间的最大长度21 = maxX加2,心xnT 0时，有nfZxj.2、变速直线运动的路程(1)路程问题：设某物体作直线运动，已知速度v=v(t)是时间间隔T,T2上t 的一个连续函数,且v(t)0,求物体在这段时间内所经过的路程S.(2)计算思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求

3、得路程的精确值.T2(3)计算变速直线运动的路程在区间Ti，T2内任意插入若干个分点T1 =to Vti 彳2 b也成立）bbb仁 Jaf(x)g(x)dx= f f(x)dx r g(x)dx.bn证明：Ja f(X) g(x)dx =炳三f (G g(q)2xinnbb=lim 送 f(q)Kxi lim S g(G)也Xi = f f(x)dx f g(x)dx.bb2、J kf (x)dx = k J f (x)dx , ( k 为常数).aabn证明：Jakf (x)dx也三 kf (疋Xi 二叫阿三 f ()Axi =k Ca f(x)dx .bcb3、 J f(x)dx = J

4、f(x)dx + J f(x)dx. a a c证明：(1)先假设a cc cb 设九与卫2是a, c与的c,b分割,那么d与心2联合起来构成了 a, b的分割心bn于是 ja f(x)dx =愛三 f(q)Axin1n2二驰2fG心十肌三也叫cb二 Jaf(x)dx + Jcf(x)dxcbc(2) 若 acbcc,有 J f(x)dx = J f(x)dx+ J f (x)dx“a“a bbcccb于是 Ja f (x)dx = Ja f(X)dx - Jb f (x)d = f (x)dx + Jc f(X)dx .(3) 若 cca cb,同(2)可证.b 氐b4、 dx = f 1d

5、x =b -a .aabn证明：JadX=|也三2)3= iim(b - a) = b a .5、若 f(x) 0,x 引a,b,则 f f(x)dx0.J a注：若f (x)在a,b连续非负且不恒为零，则bf f(x)dx0 -a证明：因f(X)0,x引a,b,而心Xj 0,于是送f(q)人Xi 0,bn所以 f f(x)dx= lim 送 fMxj 0.a|3 y推论：bb(1)若 f(X)g(x),xqa,b,则 J f (x)dx 0,xqa,b,于是bbbJag(x)dx - Ja f (x)dx = JaF(x)dx0，bb所以 J f(x)dx 兰 J g(x)dx.aa证明:J

6、a f(x)dx Ja| f(x)|dx.因-I f(x)|f(x)日 f(x)|,x-a,b,于是bbb-Ja| f (X) |dx Ja f (x)dx X ,x 忘(0,1), ”. J X dx I X dx .6、设证明:与m为f (x)在a, b上的最大值与最小值，则bm(b -a) Ja f (x)dx M (b -a).m f(X)M ,x 可a,b,所以bbbb=m Ja mdx = Ja mdx fa f (x)dx fa Mdx = M (b -a).m(b -a)估计积分解:，兀1f dx的值.P 3+si nx1f(x)=, . 33+sin X1吒1343+sin

7、X兀兀1”.一兰3dx4 b 3+sin3xWx0,兀,0si n3x1,13, 3r一dx0 3+si nxf-dx,P 37、积分中值定理f(S(ba).(1)定理：设 f(x严 Ca,b,则耳巴 qa,b,s.t. f f (x)dx证明：因f(X)Ca,b, f(x)在a,b上存在最大值 M与最小值m,b于是 m(b-a)兰 J f (x)dx 兰M (b-a)a1 b或 m 兰f f (X)dx Mb -a a由连续函数介值定理知:弓巴迂a,b, s.t.1bb芦f (巴)=J f (x)dx,即 J f (x)dx = f (-)(b-a).b -a aa二、几何意义y=f(x)f

8、a 巴在区间a,b上至少存在一个点巴,使 得以区间a,b为底边，以曲线y = f(x) 为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而 高为fC)的一个矩形的面积。三、函数的平均值设 f (x)Ca,b,那么-1 by = f f(x)dx b a称为函数y=f(x)在区间a,b上的平均值.例如，速度为V = v(t)的物体在时间间隔T； ,T2上的平均速度为V =T2 -Ti第三节微积分基本公式、路程与速度的关系T2T2s(T2)s(Ti) = Jt v(t)dt = T s(t)dt二、变上限积分1、变上限积分函数：工x(x) = Jaf(t)dt,此处 f (xp Ra,b.2、定理：设 f(X)

9、亡 Ca, b,则(X)亡 Da, b,且(x) = f (x), xa, b.证明：/x 可a,b,取 x + Ax(a,b).由条件知 3日忘(0,1), s.t.X出f (x +Qix)ix = fxf (t)dt治Xf(t)dt-J f (t)dt =Q(x+Ax) (X)aa所以(x) =ii (X+：)-以)=2m f (x+HAx)=f(x).3、推论：设f(x)Ca,b,则f (x)在a, b上存在原函数 (x) 三、微积分基本公式1、定理：设f(x)壬Ca,b, F(x)为f(x)的原函数，则 b心Jaf(x)dx=F(b)-F(a)=F(x)此公式称为牛顿-莱布尼兹公式ba

10、注：此式对a Ab也成立x证明：因f(xCa,b,那么(X)= f (t)dt是f (x)的原函数 a又因F(x)为f (x)的原函数，故3常数C , s.t.(X)三F(x) +C.所以bbf f(x)dx = f f (t)dt =6(b)(a) =F(b) F(a).a-a2、应用j0x2dx.33xx解：因fx2d+C,因此一是x2的一个原函数，所以33例1计算j0x2dx 诗_130 1333厂3 dxf 厅=arcta nx4 1+x2_ 7兀-12羽厂兀1 =arctanv3-arctan(T)=()34x-2一 =ln | x|x=ln I 1| -In | 2|= -In 2

11、 .设 f(x)彳2：x,0x1,1 x 22求 0 f(x)dx.1 2解：t f (x)dx = L f (x)dx + J f (x)dx = xdx + j (2 x)dx2x=22x+2x=0 21 111兀0=-COS兀一(-C0s0) =1+1=2.例5计算曲线y =sinx在0,兀上与 x轴所围成的平面图形的面积A.兀解：A = f sin xdx = -cosx0例 6 设 f(x严 Ca,b,则耳 0 , F(X)=证明：F (x)(0,址).0 f(t)dtd -X证明：Vx(O,+处),由于 f(t):0, (x-t) f (t) aO , Ovtcx,dx而ftf (

12、t)dt = xf(X), f f (t)dt = f (x),于是 dx 0dx 0xxxF(x)=xf(x)ft)dt-f(xntf(t)dt = f(x)0(x-t)f(t)dtA0r x 计(OfQdt 丿Coxf(t1 t2f e dt例9求llmx_初 d / _L2亠d解：e dt =- dx CosxPOSX2 X1_t?e dt.1. cos X.IimX2_cos2 X .e sin X 1=lim=T 2x2e2x所以F(x) (0,+穷.cos X 丄 222dx1 fosX(cosX)sXsInX,第四节 定积分的换元法一、定积分的换元法1、换元公式设 f(x)壬 C

13、a,b, W(t)壬C(l), (l)ua,b, (a)=a,申(P) = b,此处 I =a, P或 I =P,a,则bpJaf(X)dX= JJ严(t)艸dt.Pb或：JJ(t)叫t)dt=Jaf(X)dX证明：设 F(x)为 f(x)在a,b上的原函数，F (X)= f(x),x Ja,b.又 aF(t)=Fi(t)(t)= f巩t)(t), P, dt从而F半(t)为fW(t)W(t)在jP上的原函数，所以bcpJaf(x)dx=F(b)-F(a) =F(P)-F(x) = J f玖t)A(t)dt.例 1 计算,J1-x2dx .0解:令 X =sin t, 0 t兀C辽,那么X：T

14、兀1,t:0T, dx = costdt.于是dx匹1=coftdt =2(1 +cos2t)dt= 1(1sin 2t)2 21 叮-rr匕岭十0)-(0+0)1盲JI例 2 计算 f2 cos5 xsin xdx .0JT兀解：令 t = cosx, 0 t 0),(1)当a x当p =1时，r 化dX|bJa 廿b n|x|a-a14 xP倒匕1-2. (P 0)PP 1时收敛；(2)当P 1-Ip T所以(1)当P A1时收敛；(2)当P兰1时发散.二、无界函数的反常积分1、瑕点：若f (x)在任一 U (a)内无界，称a为f (x)的瑕点.2、f (x)在(a,b上的反常积分b也bJ

15、a f (x)dx =四+痔(X)dx，若此极限存在，且a为f (x)的瑕点，bbb此时称f f (x)dx收敛.若lim.f f (x)dx不存在，则称f f (x)dx发散.7”十7%a3、f (x)在a,b)上的反常积分bAb _名Ja f (x)dx = l+L f (x)dx ,若此极限存在，且b为f (x)的瑕点，b-bb Yb此时称faf (x)dx收敛.若|im+Ja f (x)dx不存在,则称fa f (x)dx发散.4、f (x)在a,b (a cc cb)上的反常积分bAcbJ f(x)dx=J f(x)dx+J f (x)dx,若右边均收敛aac,且c为f(X)的瑕点,

16、b此时称fa f (x)dx收敛.若右边至少有一个发散,则称bJa f(x)dx 发散.5、上述反常积分统称为无界函数反常积分a dx例 4 f . dx0/2 2Va -xa -E dxJa2 -X2=四4a -Z=lim Brcsin0 +兀= arcsin 1 = 一，(a 0).2=lim arcs inX hF aa-名mTX2d X1 &+.l空2X1- o注：此积分如下计算是错误的！ ！1哄(-丄)丄Xx=(_1)_(+1) 2.例6证明：b dx证明：当q =1时,.b dx|ba弋n以-儿寸2% |b-a|Tn引=+述;b dxa(x-a)q= lima)14 sh0 +1q

17、a 41-qlim,1 -q1-qq1,q A1.所以(1)当q 1时发散.三、反常积分换元法b设J f(x)dx为反常积分，a可以是-处,b可以是+述,a,b也可以是瑕L aw(t)在(a P)上连续且单调，那么bp/ f(x)dx = J fW(t)(t)dt .aCt0化 dxxt24 dt ttenu.兀一一一2=2(Jx(x +1)= 22SeC譽=2rcosudu=2.四、r 函数(t2+1)203 sec u(1)当q 1时收敛；(2)当q 1时发散. a(x -a)q1、定义:r(r) = fxedx,r 0.02性质(1)。证明：r(a +1) = Jxerx =- Jxde

18、0 00 + 上冷。) =a Jxerxi r(a).0.证明：r(1) = Jedt0=-e=1.0-证明：3、概率积分-be x2证明： Je 2 dx =2 J “ds ndx“讼x2 IJe 2 dx = J2 兀.-2C1远/ 址L 1eds = J2js2 eds72r(-). 0 20寸2sTr(n +1) =n F(n) = n(n 1) F( n 1)=n!F(1) = n! (-)= J兀.证明：(后证)_5 4(4)2(3)住=30.例1计算下列各值:(1)卩(6) _5(5)2*3)2(3)叮2)尹2+1)=|叮|+1)今(2)今你.22222 224例2计算下列积分：

19、=卩=3! = 6 .(1)fx3edx0-be J Jx 2edx01 1=fx2 edx=F(-)=wF.0 2习题：1(双),3.第七节定积分的几何应用一、定积分元素法求曲边梯形面积 A的步骤1、(1)2、(1)n给定a,b的分割,那么A=I：凸A ；i z1n近似有AAi止f(q)Axi,那么A江fCi)Axi.iz1乙bf(-i)Ax = Ja f(x)dx.元素法思路：用x,x+Ax表示心其中的任一小区间；用心A表示X, X +Ax上的窄曲边梯形的面积;计算心A = f (x)Ax +o3x)止 f (x)Ax ；A=Zf(x2x ；bA =lim S f (x)Ax = J f

20、(x)dx.a其中：(3)-(5)可这样考虑：A 求出 dA = f (x)Ax = f (x)dx ；bb(4)对 dA 积分可得 A = Ja dA = Ja f (x)dx二、平面图形面积1、图形由 y = f(x)0, x=a, x=b 及 y=0 围成:bA = Ja f (x)dx .2、图形由 y = f(x), y = g(x),x=a 及 x=b 围成: bA = Jaf(x)-g(x)dx, 其中：f(X)g(x),xqa,b.证明：取a,b中的任一小区间x, x+dx,由于dA=f(x)g(x)dxb所以 A = J f(X)-g(x)dx.L a2 2例1求由y =X,

21、 y = x所围成的图形的面积y2=x 得 $=0 或y = X17 = 0A = f (TX-x2)dx = 2x20L3解：由X =1 y:=2/3*(3A2-tA2)A(1/2):p Iot3d(y*cos(u),t,y*si n(u),u=0.2* Pi,t=-3.3); ly = X - 4y = -24 1 2 A= J(y+4) dy. =y2+4y-l=18三、旋转体的体积y=f(x)1、立体由y = f(X)0绕x轴旋转一周及X = a, X = b围成，其体积b2V = J 兀f(x)2dx.a证明：取a,b中的任一小区间x,x +dx,由于 dV =兀f (x)2dxb2

22、所以V = J 兀f(x)2dx.ar=-x绕x轴旋转一周及X = h围成的体积V . h图形 y:=t/2:plot3d(y*cos(u),t,y*sin(u),u=0.2*Pi,t=0.2);r解：f(X)= -x,(0 x h),则hV 十f(x)2dx F：叫x)2dx=3hh兀2.=r h.03解：f(x)= Ja - x ,(ax0绕x旋转一周=c, y = d围成，其体积d2=Jc 珥g(y) dx.c,d中的任一小区间y, y +dy,V证明：取由于 dV =;ig(y)2dyb2所以 V = rg(y)dy.a申x=g(y)V = J 兀f(x) d J (a -x 厘a3四

23、、平面截面积已知的立体体积立体在a,b中每一点x处的截面积为A( x),其体积bV = Ja A(x)dx.证明：取a,b中的任一小区间x,x+dx,由于dV =A(x)dxb所以 V = f A(x)dx.a例4 一平面过半径为 R的园柱底中心，并与底面 成O夹角.计算平面截圆柱体所得立体的体积 V 解：A(x) =1Jr2 -X2 Jr2 -x2 tana21 2 2= -ta na(R2-x2), (-rx with(plots):F:=plot3d(cos(t),si n( t),s in( t)*ta n(u),u=0. .P i/6,t=0. .Pi):G:=plot3d(u*co

24、s(t),u*si n( t),u*s in (t)*ta n(P i/6), u=0.1,t=0. Pi):H:=plot3d(u*cos(t),u*si n( t),0,u=0.1,t=0. Pi):disp lay(F,G,H);hHR XV例5求以半径为 R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为 正劈锥体的体积V.解: A(x-h Qy =hjR2 -X2 , -R兰X兰R.2Rh R 22V= JA(x)dx 石 J(R2-x2)dx.上R2h2图形 with(plots):F:=plot3d(cos(t),s in( t)/(1+si n( t)*ta n(u),sin( t

25、)/(si n( t)+cot(u), u=0.001. Pi/2-0.001,t=0. Pi):G:=plot3d(cos(t),-si n( t)/(1+s in (t)*ta n(u),sin( t)/(si n( t)+cot(u), u=0.001. .P i/2-0.001,t=0. Pi):H:=plot3d(u*cos(t),u*si n( t),0,u=0.1,t=0. .Pi): disp lay(F,G,H);习题：1(双),2(双),3(1,3).第八节定积分的经济应用、由边际函数求原函数x经济函数 u(x) =u(0) + fu t)dt.例1生产某产品的边际成本函数

26、为C(x) =3x2 -14X+100,固定成本C(0) =10000,求生产x个产品的总成本函数.xx 2解：C(x) =C(0) + J0C(t)dt =10000 + J0(3t -14t +100)dt= 10000 十3t3 -7t2 +1OOt0 =3x3 -7x2 +100X+10000 .例2已知边际收益为 R(x)=78-2x,设R(0)=0,求收益函数 R(x).xx解：R(x) =R(0) + J0R(t)dt =0 +J0(78-2x)dt =78t -t2 + 100t0 =78xX2 .二、由变化率求总量例3 某工厂生产某商品在时刻t在总产量变化率为 x(t) =1

27、00+12t (单位/小时)求由t =2到t =4这两小时的总产量.解：两小时的总产量为4-42 4Q = ；2x(t)d J2(100 +12t)dt =100t +6t22 =272 .例4生产某产品的边际成本为 C(x) =150-0.2X,当产量由200增加到300 时，需增加成本多少？解：需增加成本为300,3002 300C = C (x)dx = J200(150-0.2x)dx =100x-0.1x230；0 =10000 .例5 在某地区当消费者个人收入为x时，消费支出W(x)的变化率15W (x) =，当个人收入由900增加到1600时,消费支出增加多少?Jx解：消费支出增

28、加16001600 1 5L 1600W=f W(x)dx=r 学 dx =30依9600 =300 .,900，900匚 L 900三、收益流的现值和将来值 收益流 收益流R(t)随时间t连续变化的收益. 收益流量P(t)收益流R(t)对时间的变化率，即P(t) = R(t).1、(1)若收益以元为单位，时间t以年为单位，收益流量单位为：元/年.2、现值和将来值将来值将收益流存入银行并加上利息之后的存款值.图形 f:=proc(a) 10*exp(0.1*(t-a)*(t-a)/abs(t-a)+1)/2 end:s:=proc(n) sum(f(k),k=0. n) en d:b:=blu

29、e: plot(s(0),s(1),s(2),s (3),s(4),5,0,5,68.17, t=0.5,y=0.70,color=b,b,b,b,b,red, thickn ess=0,0,0,0,0,3);#将收益流存入银行并加上利息之后的存款值.现值一一收益流的现值是这样一笔款项，若把它存入可获息的银行，将来,有相同的价值.从收益流中获得的总收益，与包括利息在内的银行存款值图形 f:=proc(a) 10*exp(0.1*(t-a)*(t-a)/abs(t-a)+1)/2 end:s:=proc(n) sum(f(k),k=0. n) en d:b:=blue: plot(s(0),s(1),s(2),s(3),s(4), 4.1347*s(0),5,0,5,68.17,0,0,0,41.35,t=0.5,y=0.70,color=b,b,b,b,b,gree n, b,red,thick ness=0,0,0,0,0,0,3,3,tickmarks=5,5);#收益流的现值是这样一笔款项，若把它存