集合论（数学史）

1、集合下课了，老师老远的对教室外的同学喊：“喂，那几个高个子的同学来办公室一趟！”只见教室外几个一米八零左右的同学面面相觑，不知谁该去！同学们，刚才这一幕可能在我们的生活中也会经常出现。但是，你知道老师的这句话在数学上有什么问题吗？事实上，“高个子的同学”这类人的分类标准是不清晰的。等我们学完了集合这一章，大家就会明白。集合是数学的语言和工具，是继续学习数学知识的基础，让我们走进集合，学习集合吧！【数学史话】数学的伊甸乐园康托创立集合论康托（Cantor，1845.3.3-1918.1.6）德国数学家，集合论的创始人。集合论是19世纪末德国数学家乔治康托创造的。由于它深入到数学的每一个角落，所以

2、成为一切数学分支的基础。英国哲学家、数学家罗素称赞康托的发现“或许是我们这个时代可引以为自豪的最伟大的事件”。（一）勤勉的康托早在1638年，意大利天文学家伽利略发现了这样一个问题，全体自然数与全体平方数，谁多谁少？不仅伽利略对此困惑不解，许多数学家也回答不了这个问题。谁又会想到，这一问题却为现代数学基础集合论的诞生播下了种子。乔治康托于1845年3月3日出生于俄国彼得堡一个犹太商人的家庭。1856年，康托全家迁往德国法兰克福。康托一生主要时光是在德国度过的。康托弟妹六人，他是老大。父亲从小就给他们灌输宗教方面的教育，并培养他们自信、自强和奋斗精神。父亲在给15岁的康托的一封信中写到：“你的父

3、亲，或者说，你的父母以及在俄国、德国、丹麦的其他家人都在注视着你，希望你将来能成为科学地平线上升起的一颗明星”。这封信始终陪伴着康托，成为康托终生奋斗的一个动力。年轻的康托在一所寄宿学校读书，操行评语上写着：“他的勤勉和热情堪称典范，在初等代数和三角方面成绩优异，其行为举止值得赞扬。”他是一个有很高天赋，全面发展的学生，在数学方面尤为突出。但父亲并不希望儿子献身纯粹数学，希望儿子能够学工程学。1862年，康托上了苏黎世大学，次年又转入柏林大学学习。当时，维尔斯特拉斯、库默尔等著名数学家都在柏林大学任教。受他们的影响，康托放弃了当工程师的打算，转为研究纯粹数学。他22岁时获得柏林大学数学博士学位

4、，博士论文是关于数论方面的。他在博士论文中提出了一些奇异的观点，这在常人看来似乎有些“离经叛道”。他却认为，数学中提问的艺术比起解法来更为重要。后来，康托对数学独特的贡献就在于他以特殊的提问方式开辟了广阔的研究领域。1869年康托在哈雷大学担任助教，主要研究数论、不定方程和三角级数。（二）集合论的诞生抽象数学的先驱伟大的数学家尤利乌斯戴德金（18311916）从古希腊时候起，对“无限”这个问题的研究就一直是数学家努力攻克的堡垒之一，但这一工作极其困难。比如，某种无穷多事物的计数问题，两类无穷多事物的个数的比较问题等，人们对此类问题的认识还不够深入，致使数学中有许多遗留问题未能得到彻底解决，例如

5、实数是否可数？实数有多少？等等，在微积分学中也留有不少的疑问。到了19世纪下半叶，德国另一位大数学家戴德金对这些问题作出了重大突破，他是对20世纪有极大影响的数学家。戴德金曾著文论及“无限”，认为一个系统S如能和本身的一部分相似，称为是无限的，否则是有限的。在伽利略问题提出200多年以后，1873年康托开始了有关集合和无限等问题具有变革意义的工作。他第一次系统地研究了无穷集合的度量问题，并给出了度量集合的基本概念：一一对应，以此作为衡量集合大小的一把“尺子”。这样，如果两个集合之间能够建立一一对应的关系，就说它们的个数是相等的。康托利用自己的这一结论成功地证明了实数集合与自然数集合之间不能建立

6、起一一对应关系，从而证明了实数集合是不可数的。也就解决了伽利略问题。同年12月7日，他把自己这一发现写信告诉戴德金。以后，数学史家把这一天看作是集合论的诞生日。次年，29岁的康托结婚了。在度蜜月时他碰到了戴德金，两人进行了学术交流。康托继续戴德金的想法，认识到戴德金关于无限的定义是正确的，但是无限集彼此之间也是千差万别，并不相似，应该加以区别。接着，康托就把他的这些研究成果写成论所有实代数的集合的一个性质一文，发表在克列尔数学杂志上。这是关于集合论的第一篇论文，具有开创性意义。该文详细地论述了“无限”这一问题，受到世人注目，并成为后来的势和序数理论的基础。以后十年间，他继续探索并发表了一系列论

7、文，并以集合论基础为题作为专著于1883年出版。他开始了一个全新数学领域的研究。他发展了奠基于对实无穷作数学处理的超限数理论，并创造了相似于有限数运算的超限数算术。（三）逆境中蒙难的康托及其集合论在康托看来，全体自然数与全体平方数一样多，因为每一个自然数都对应着它的平方数。可是，人们自古以来一直认为“全体大于部分”，康托的新思想从根本上背离了数学中关于无穷的使用和解释的传统，在这时候是多么需要获得外界的支持啊。但当时他的新思想不能被多数人理解，得到的不是赞美和支持，而是一连串怀有敌意的批判，特别是他的老师克罗内克。克罗内克也是一位犹太人，柏林学派的领袖。他只承认有限，至多是自然数，对康托的“无

8、限”观持严厉批判态度。他凭借手中的权势，长期扣发康托的文稿，甚至攻击康托是神经质，诬蔑他是科学的骗子、叛徒，他的“思想是近十年来最具兽性的见解”。康托任教的哈雷大学在小城市，他薪金微薄，曾希望进入柏林大学任教，但身为柏林大学教授又专横跋扈的克罗内克处处跟他为难，挡住他立足柏林的通路，给康托带来了巨大的压力。康托那已经十分紧张的神经支持不住了，终于在1884年患了精神分裂症。为了使他创造的数学天国更加美好，当康托身体稍有康复，他又拿起笔，继续探索。为捍卫真理，与传统的旧观念作斗争，在逆境面前不屈不挠。1891年克罗内克去世，康托的阻力减少了许多，数学界对康托的理论逐渐消除了疑虑。康托出版了他最著

9、名的著作关于超穷混合理论的论证一书。他的理论在法国数学家阿达玛那里受到了重视，不久就在测度论、拓扑理论中获得了应用，人们这才认识康托理论的重大意义。1918年1月6日，这位19世纪末最有影响的数学家的心脏终于停止了跳动。真理是不可战胜的，康托最终获得了世界的承认，至今享有极高的声誉，许多人为康托鸣不平，对他的遭遇深表同情，大数学家希尔伯特就曾热烈赞美康托的业绩，他大声疾呼：“没有任何一种力量，能够把我们从康托所创造的伊甸乐园中赶走。”（四）现代数学的基石研究数学首先要考虑一些确定的对象，如数、点、图形等等，把任意一些确定的对象看成一个整体时，就是一个集合。集合论是研究集合的一般性质的。从康托把

10、有限集推进到无限集开始，不仅它本身形成了数学的一个独立分支，而且由于构成集合对象的任意性，讨论的性质的普遍性，它很快就渗透到几乎所有的数学分支中，对数学产生了巨大的影响，成为整个现代数学的基础。集合论体现现代数学思想，它以全新的手段考察数学的研究对象，既能见树木，又能看到森林。对某一类问题的研究，像蘑菇一样成堆成片地作出发现。邻域、映射、线性空间、结构、群、环、域等一系列现代数学概念，都建立在集合论之上。集合论中的连续统假设更是数学问题来源于几何、力学、物理等方面的现实问题的一个范例。它是康托在1882年提出的一个猜想：在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数。直观地讲，就是实数有多少的问题，

11、一条直线上点有多少的问题。一百多年来，经过许多数学家的不懈努力，取得了一些重大进展，而且为了解决它也找到一些著名的方法，这些方法对解决其它数学问题起了积极的作用。但是就猜想本身来说，还需要继续寻求新的数学命题或采用其它有效途径去攻克。【思维导航】自然数与0“自然数”这一术语首先被罗马学者波伊修斯（A.Boethius，475-524）使用。但是早期所说的自然数只是正整数序列。无论是基数理论，还是序数理论，事实上都没有涉及0。皮亚诺公理1告诉我们，1是一个自然数，而公理3说1不是任何自然数的后继。因此皮亚诺公理系统中1是最小的自然数，0不是自然数。我国的数学教科书中在20世纪90年代之前一直没有

12、把0作为自然数，自然数从1开始。但是1993年颁布的中华人民共和国国家标准（GB31003102-93）中量和单位（11-2.9）第311页，规定自然数包括0。因此近年编写的中小学数学教材中，都根据上述国家标准进行了修改。具体的表述是：用0表示“一个物体也没有”所对应的计数，因而0从此也作为自然数。自然数包含0会带来一些行文中的不便。例如在小学阶段的“整除”部分，仍然不考虑自然数0。在约数、倍数等概念中都不包括0。另外，一般情况下我们不讨论数0是几位数，但是不妨规定最小的一位数是1。不把0作为自然数并不会对数学内容产生实质的影响，也不会对国际数学的交流产生妨碍，所以许多人不赞成这一修改。但是，

13、由于国际标准的严肃性，目前的出版物都遵循了“自然数包含0”的规定。主张自然数包含0的理由也很多。首先，尽早引入0，有利于学生对自然数的理解。22=0，很自然，儿童容易理解，没有0，反而显得不方便。其次，数0对于数的扩展来说十分重要。不仅由于它的实际应用价值，而且它起到了联系正负数的桥梁作用，使得数的顺序关系得以延续，0是数系得以完善的必不可少的部分。自然数如果不含0，要将自然数系扩展到整数系，必须先添加0，然后再加入正整数的相反数，而0不是任何正整数的相反数。最后，从集合论的角度看，把0作为自然数比较合理。因为0与空集的基数相对应。20世纪20年代两位德国数学家策梅洛（E.Zermelo,18

14、71-1953）与弗兰克尔（A.Fraenkel,1891-1965）建立了严格的集合论公理系统，此公理系统通常被称为ZF-公理系统，共包含10条公理。其中，公理2称为“空集公理”：存在一个集合不含任何元。公理8称为“无穷公理”：存在一个集合A使空集是A的元，而且只要A有元，则A也有元。根据这两条公理，我们得到下面一系列集合，将这一系列集合所对应的基数看成自然数列0，1，2，3，这样，我们从集合论公理系统出发也可以认为0是自然数是合理的。实际上，0是否是自然数可以看作一个规定。由于空集是任何一个非空集合的真子集，所以对任何正整数，都有，所以0是自然数集中最小的数。有了数0之后，自然数中的算术运

15、算就相应地增加了内容，如但是0不能做除数，否则由及自然数的除法定义得出矛盾。有限集与无限集 在本章，我们学习了有限集和无限集。例如，是有限集，是无限集。对于有限集，我们知道集合的元素比集合的元素多，与的元素一样多。然而，对于两个无限集，你能判断哪一个集合的元素更多吗？ 德国数学家康托根据人们在计数时运用的“一一对应”思想给出了两个集合“等势”的概念：若两个无限集的元素之间能建立起一一对应，则称这两个集合等势。 先看有限集之间的“一一对应”。教室里有45个座位，老师走进教室，一看坐满了人，他无需一个个地点名，便知道听课人数为45，这是因为每个人坐1个座位，且每个座位上都坐1个人，两者一一对应，从

16、而听课人数与座位数相等。 下面的图也清楚地表明，元素之间有一一对应关系的两个集合，其元素个数相等。 我们也可以建立与这两个无限集之间的一一对应，如于是，与等势。通俗地说，它们的元素“一样多”！ 从下面的一一对应中，你能得到什么结论？ 集合的子集个数问题请大家先阅读下表，然后写出你的发现！集合集合元素的个数集合子集的个数01122438416个元素的集合我们不难发现： 如果一个集合的元素有个，则其子集数为个，其真子集数为个。练一练：1.已知集合M=1，N=1,2,3，能够准确表示集合M与N间的关系是（） A. B. C. D.2.集合 的真子集的个数是（ ） A16 B8 C7 D43. 满足的

17、集合是哪些集合? 答案：1. D 2.C 3.满足条件的集合有如下15个：空集及其性质空集就是不含任何元素的集合，用符号“”表示。例如，方程的实数根的全体就是空集；大于5且小于2的全体整数也为空集。由于空集具有特殊性质，所以空集在解题中有特殊的地位，必须引起重视。（1） 引入空集后，就可以给出一个集合，而不必事先检验它是否含有元素，从而确认它的存在。（2） 不是空集的集合，叫做非空集合。非空集合就是确有元素的集合。如就是一个非空集合，它有一个元素0.（3） 空集与数0、集合的区别：0表示一个具体的数（元素），它不是集合；表示元素为0的单元素集合；而空集是不含任何元素的集合。它们之间的关系是。正

18、因为有上述关系，把空集写成或都是错误的。（4） 空集具有元素的性质，也有集合的属性，所以空集有两重性。由于是以空集为单元素的集合，如果从“空集是任何集合的子集”这一角度考虑，可以得出；如果再从另一角度分析，是集合中的一个元素，又可得出。由此可知，元素与集合是相辅相成的两个概念，在一定条件下可以互相转化。这一点在解题时必须注意，否则会造成概念上的错误。弄清楚这个问题，对培养同学们辩证地、全面地分析问题的习惯大有益处。（5） 对于空集，不要小看它什么都没有，它是任何集合的子集，即，并且还是任何非空集合的真子集。 除此之外，它还有另外两个独特性质： 对任意集合，皆有； 对任意集合，皆有。 正因为如此

19、，如果出现的情况，要考虑或是空集的可能；如果出现的情形，要考虑是空集的可能；如果出现的情形，也要考虑是空集的可能。反之，因为空集没有任何元素，解题时若忽视的存在性，不考虑上述空集的独特性质，就会造成解题结果的残缺不全。【数学应用】集合元素个数的计数公式我们用card(A)表示集合A的元素个数。则有我们熟知的结论：（1）card（）0；（2）集合元素个数的计数公式：card（AB）card(A)card(B)card(AB)。这个公式用韦恩图很容易说明。两个集合并集的元素个数，等于每个集合的元素个数相加，再减去它们交集的元素个数（因为被加了两次）。同理，我们还有如下的（3）card（ABC）ca

20、rd(A)card(B)card(C)card(AB) card(BC)card(AC) card(ABC)。三个集合并集的元素个数，等于每个集合的元素个数相加，再减去它们两两交集的元素个数，然后加上它们交集的个数（因为被加了三次，减了三次）。 例题 某班语文、数学、外语三门课程考试成绩统计结果为：至少有一门课得满分的学生有18人，语文得满分的有9人，数学得满分的有11人，外语得满分的有8人，语文、数学都得满分的有5人，数学、外语都得满分的有3人，语文、外语都得满分的有4人，问：（1） 语文、数学两门课至少有一门得满分的学生有多少人？（2）语文、数学、外语三门课都得满分的学生有多少人？解：设分

21、别是语文、数学、外语得满分的学生的集合，则由题意，知， （人）。故有15人的语文、数学两门中至少有一门得满分，有2人语文、数学、外语都得满分。【拓展延伸】德摩根Augustus De Morgan(18061871) 德摩根及德摩根定律1.德摩根生平简介： 19世纪英国数学家、逻辑学家。生于印度，出生后刚 7个月就回到英国，卒于伦敦。他在少年时代就对数学发生浓厚的兴趣，1823年考入剑桥大学三一学院，1827年毕业。1828年后在伦敦的大学学院任数学教授多年。他曾任伦敦数学学会第一届会长。 德摩根对19世纪数学的发展作出了贡献。他于1838年提出以“数学归纳法”的概念描述以往数学家们曾经使用的

22、证明定理的方法。1842年，他发表了微积分演算一文，详尽讨论微积分基本原理和极限定义，并讨论了无穷序列及确定序列收敛的新规则。他曾从事当时称为“形式代数”的研究，其成果有助于对复数的性质给出一个完全的几何解释。 德摩根的主要成就在逻辑方面，主要逻辑著作是形式逻辑（1847）。他在逻辑史上首先提出“论域”的概念，第一次明确用公式表达合取和析取的关系，现代逻辑称之为德摩根律。他还最先提出了关于“大多数”的推理。他对逻辑的最主要贡献在于开拓了形式逻辑的新领域，建立了关系逻辑，有的学者称他为“关系逻辑之父”。他对关系的种类和性质作了研究，并使用了一些他自己所创造的符号。 德摩根逝世后，为了纪念他，人们

23、将月球上的一个环形山命名为德摩根环形山。2.设全集为，其子集为，则有如下的德摩根定律：；。德摩根定律用文字语言可以简单的叙述为：两个集合的并集的补集等于它们各自补集的交集；两个集合的交集的补集等于它们各自补集的并集.3. 德摩根定律的简单应用同学们，请利用德摩根定律解决以下两个问题：（1） 已知全集，求。（2） 若全集，则集合=（ ）A. B. C. D.答案：（1），； （2）C。各种数集字母符号的意义和来历本章我们学习了很多数集的表示符号，一般情况下，符号的记法都是取自英文单词的首字母。当然，也有例外的。序号字母符号 意义来历1表示自然数集（1993年对自然数新定义为：不小于0的所有整数叫

24、做自然数）或非负整数的集。自然数的英文是Natural number，所以就用N表示自然数集。或正整数集。2表示实数集。实数的英文是Real number，所以就用表示实数集。或表示正实数集。或表示负实数集表示非零实数集。3P表示质数集（素数集）。质数的英文是Prime number,所以就用P表示质数集。4O表示奇数集。奇数的英文是Odd number，所以就用O表示奇数集。5E 表示偶数集。偶数的英文是Even number,所以就用E表示偶数集。6Q表示有理数集。由于任何一个有理数都是两个整数之比的结果（商），而商的英文是quotient，所以就有Q表示有理数集。或表示正有理数集。或表示

25、负有理数集。7表示整数集。整数的英文是Whole number，但没能用W表示。因为这个涉及到一个德国女数学家诺特对环理论的贡献。1921年她写出的整环的理想理论是交换代数发展的里程碑。其中，诺特在引入整数环概念的时候（整数集本身也是一个数环），由于她是德国人，德语中的整数叫做Zahlen，于是当时她将整数环记作Z，从那时起整数集就用Z表示了。 【数学欣赏】谈谈集合语言同学们进入高中之后，将面对一个崭新的数学世界数学（必修1）中，我们首先要学习集合及其运算的有关知识在本章中，我们把集合作为一种语言来学习，学习用集合语言简洁、准确地表述数学对象和结构，从而为以后的学习作准备，也有利于发展用数学语

26、言进行表达和交流的能力其实，我们在小学和初中已经接触了集合，如自然数集、有理数集、实数集等，只是没有明确提出来在这一章里，我们又定义了一些新的“运算”运算的对象不再是初中时的数、字母和式子，而是集合运算的类型，也不再是加、减、乘、除、乘方和开方，而是“交”、“并”、“补”这是我们从数学内部发展的需要来加以定义的这不仅开拓了同学们的视野，也为今后学习别的数学运算打下基础同学们可以结合生活中的实例来感受和领悟集合的概念及它们之间的运算，并学会用适当的符号语言来表述例如，自然数集、有理数集、实数集分别用N、Q、R表示，2Q清楚地表明了2作为一个有理数和有理数集整体的隶属关系，而简明地表示了两个数集作

27、为大小类之间的包含关系需要注意的是，当我们结合生活中的实例来感受和理解集合的概念和运算时，应了解数学语言与生活语言有时存在差异例如，生活中的“或”常具有排斥、非此即彼的意思，“我或你去参加比赛”意味着只有一个人能去而数学上的集合并的运算规定的：“在中或在中的元素全体”，却不排斥既在又在中的情况，同时还包括在中但不在中，以及在中但不在中的情况在日常生活中，将两堆东西合并，意味着数量的增加，而在数学中则不同，（）却可能仍然等于符号化、形式化是数学的显著特点从某种意义上来说,学习数学就是学习一种有特定含义的形式化语言,以及用这种形式化语言去表达、解释、解决各种问题我们知道，用描述法表示集合能准确地刻

28、画集合中这类元素的共同特性，如偶数集可用描述其“2”的整数倍的特征，有理数集可用来刻画其“分数形式”的特征当然，对于同一个集合可以有不同的描述方法，如偶数集也可用来表示要理解不同表示形式之间的等价性，尽量用简洁的形式来表示在集合语言的学习中，我们应学会针对具体问题，恰当地选择用自然语言（文字语言）、图形语言或集合语言去表示相应问题的数学内容，培养数学语义转换能力，从而将一个问题转换为较简单明了的问题，最终使问题得到解决当然，本章的学习中，接触到的集合语言，有时抽象难懂这时我们要常常将其转换、“翻译”成更为熟悉的文字语言或图形语言，理解符号语言所表达的含义，不被符号语言的表面形式搞糊涂例如，设，

29、求如果翻译为文字语言，其含义就十分明朗了表示“2的倍数”全体，表示“3的倍数”全体，即“既是2的倍数又是3的倍数的整数”全体，当然就是“6的倍数”全体，所以又如，（为平面上的定点，为该平面上的动点）表示平面上到定点的距离等于2的动点的全体，即“以为圆心，2为半径的圆”最后，我们看一个较复杂的问题：设集合，问当取何值时？ 解决本题，先要弄明白集合的含义我们可以在平面直角坐标系中来表示这些集合表示平面上满足的动点的集合，这是一条以为端点的线段；集合表示直线，当的值改变时，直线作上下平移运动表示动直线与定线段无交点，此时可求得或所以，当或时，悖论与危机悖论（paradox）来自希腊语“para+do

30、kein”，意思是“多想一想”。这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。美国作家马丁加德纳在从惊讶到思考一书的前言中对悖论的形式进行了分类：（1） 一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。（2） 一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。（3） 一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上的自相矛盾。数学史家和科普作家常常将数学悖论和三次数学危机联系在一起。三次数学危机是数学史上的精彩情节，引人入胜；而那些蕴含哲理的数学悖论更是发人深省。每个悖论的破译，都可以从正反两个方面加深对数学基本概念和基本方法

31、的理解。你会感觉到数学的发展真是一波三折。数学的严谨是一代又一代数学家努力的结果，数学的抽象更是千锤百炼而成的。对于数学悖论，大家的理解至今并不一致。同一个问题，例如有理数的平方不可能等于2，在古希腊被认为是悖论，在今天看来不过是平常的事实。就是在同一个时代，不同学术素养的人对一个问题是不是悖论也会有不同的看法，甲以为是悖论，乙可能认为不过是推理中的一个普通而隐蔽的错误。但是，不管一个数学问题是否被称为悖论，它总是一个问题。问题是数学的心脏，对问题的研究推动着数学的发展，对“悖论”的研究当然也会推动数学的发展。把某些悖论的出现叫做数学危机，不知道是谁最早提出来的。有人认为：数学中有的大大小小的

32、许多矛盾，比如正与负、加法与减法、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数，等等。但是整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾，例如，有穷与无穷、连续与离散，乃至存在与构造、逻辑与直觉、具体对象与抽象对象、概念与计算，等等。在整个数学发展的历史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就产生了数学危机。但在多数数学家看来，数学中存在悖论，但没有危机，也不会有危机。数学家忙着自己的研究，一般不太关心数学危机的说法。研究数学哲学的人，对于有没有数学危机，也是各有不同的看法。但既然现在已经有了这个说法，又比较能吸引大众的目光，让大家对数学有更多的兴趣，也是好事。古今中外不少著名的悖论

33、吸引了人们的注意力，激发了人们的思考。我们在面对这些悖论时，不妨多问几个为什么，和古人作一次假想的对话，提出自己独立的看法。苏格拉底有句名言：“我只知道一件事，那就是什么都不知道。”我们可以理解成是苏格拉底的谦虚。但这句话有没有问题呢？我们无法从这句话中推论出苏格拉底是否知道这件事本身。马克思有句名言：“世界上没有绝对的真理。”我们也不知道这句话本身是不是“绝对的真理”。我们可以将悖论看作是思维的魔方、智力的挑战、激发理智的思考、独立的思考。正如布尔巴基所说：古往今来，为数众多的悖论为逻辑思想的发展提供了食粮。数学史上的第三次数学危机1“数学基础”的曙光集合论到19世纪，数学从各方面走向成熟。

34、非欧几何的出现使几何理论更加扩展和完善；实数理论（和极限理论）的出现使微积分有了牢靠的基础；群的理论、算术公理的出现使算术、代数的逻辑基础更为明晰，等等。人们水到渠成地思索：整个数学的基础在哪里？正在这时，19世纪末，集合论出现了。人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。其理由是：算术以整数、分数等为对象，微积分以变数、函数为对象，几何以点、线、面及其组成的图形为对象。同时，用集合论的语言，算术的对象可说成是“以整数、分数等组成的集合”；微积分的对象可说成是“以函数等组成的集合”；几何的对象可说成是“以点、线、面等组成的集合”。这样一来，都是以集合为对象了。集合成了更基本的概念。于是，集合

35、论似乎给数学家带来了曙光：可能会一劳永逸地摆脱“数学基础”的危机。尽管集合论自身的相容性尚未证明，但许多人认为这只是时间问题。庞加莱（ (Jules Henri Poincar，法，1854-1912 ）甚至在1900年巴黎国际数学家大会上宣称：“现在我们可以说，完全的严格性已经达到了！”2算术的集合论基础（1）人们按下列逻辑顺序把全部数学的基础归结为算术，即归结为非负整数。弗雷格（法,18481925）（算术）非负整数n有理数（）实数复数图形 因此，全部数学似乎都可归结为非负整数了，或者说，全部数学都可以归结为算术了。这样，如果能把算术建立在集合论的基础上，就相当于解决了整个“数学基础”的问

36、题。法国数学家、数理逻辑先驱弗雷格（G.Frege,18481925）就做了这样的工作。他写了一本名叫算术基础的书。（2）弗雷格的算术基础为了使算术建立在集合论的基础上，所有的非负整数，都需要用集合论的观点和语言重新定义。首先从0说起。0是什么？应当先回答0是什么，然后才有表示“0”的符号。为此，先定义“空集”。空集是“不含元素的集合”。例如，“ 方程在实数集中的根的集合 ”就是一个空集，再例如“由最大的正整数组成的集合”也是一个空集。所有的空集放在一起，作成一个集合的集合，（为说话简单我们把“集合的集合”称作类），这个类，就可以给它一个符号：0，中国人念“ling”，英国人念“Zero”。空

37、集是空的，但由所有空集组成的类，它本身却是一个元素了，即，0是一个元素了。由它再作成一个集合0，则不是空集了。弗雷格再定义两个集合间的双射：既是满射又是单射的映射叫作双射，也称可逆映射；通俗地说，就是存在逆映射的映射。它可以在两个集合间来回地映射，所以一般称为“双射”。弗雷格再定义两个集合的“等价”：， 能够在其间建立双射的两个集合A、B称为“等价”。下边可以定义“1”了。把与集合0等价的所有集合放在一起，作成一个集合的集合。这个类，就可以给它一个符号：1。再定义“2”。把与集合0，1等价的所有集合放在一起，作成一个集合的集合。这个类，就叫：2。然后，把与0，1，2等价的集合作成的类，叫：3。

38、一般地，在有了0，1，2，n的定义后，就把所有与集合0，1，2，n等价的集合放在一起，作成集合的集合，这样的类，定义为：n+1。这种定义概念的方法，叫作“归纳定义”的方法。这样，弗雷格就从空集出发，而仅仅用到集合及集合等价的概念，把全部非负整数定义出来了。于是根据上边说的“可以把全部数学归结为非负整数”，就可以说，全部数学可以建立在集合论的基础上了。3 罗素的“集合论悖论”引发危机（1） 悖论引起震憾和危机罗素，英，1872-1970正当弗雷格即将出版他的算术基础一书的时候，罗素的集合论悖论出来了。这也是庞加莱宣布“完全严格的数学已经建立起来！”之后刚刚两年，即1902年。集合论中居然有逻辑上

39、的矛盾！倾刻之间，算术的基础动摇了，整个数学的基础似乎也动摇了。这一动摇所带来的震憾是空前的。许多原先为集合论兴高采烈的数学家发出哀叹：我们的数学就是建立在这样的基础上的吗？罗素悖论引发的危机，就称为第三次数学危机。罗素把他发现的悖论写信告诉弗雷格。弗雷格在他的算术基础一书的末尾无可奈何地写道：“一个科学家遇到的最不愉快的事莫过于，当他的工作完成时，基础崩塌了。当本书即将印刷时，罗素先生的一封信就使我陷入这样的尴尬境地。”（2）罗素悖论在叙述罗素悖论之前,我们先注意到下边的事实：一个集合或者是它本身的成员(元素),或者不是它本身的成员(元素)，两者必居其一。罗素把前者称为“异常集合”，把后者称为“正常集合”。例如,所有抽象概念的集合，本身还是抽象概念。即，它是这一集合本身的元素，所以是“异常集合”。但是，所有人的集合，不是人，即，它不是这一集合本身的元素，所以是“正常集合”。再例如，所有集合的集合，本身还是集合，即，它是这一集合本身的元素，所以是“异常集合”。但是，所有星星的集合不是星星，即，它不是这一集合本身的元素，所以是“正常集合”。罗素当年的例子“异常集合”1：不多于29个字母表达的句子所构成的集合（这一集合的定义是“不多于29个字母表达的句子”，它是这一集合本身的成员）“异常集合”2：不是麻雀的东西所构成的集合（“不是麻雀的东西所构成的集合”肯定不是麻雀，所以