高中数学导数及其应用

1、高中数学导数及其应用一、知识网络二、高考考点1、导数定义的认知与应用；2、求导公式与运算法则的运用；3、导数的几何意义；4、导数在研究函数单调性上的应用；5、导数在寻求函数的极值或最值的应用；6、导数在解决实际问题中的应用。三、知识要点（一）导数1、导数的概念（ 1）导数的定义（）设函数在点及其附近有定义，当自变量x 在处有增量x （ x 可正可负），则函数y 相应地有增量，这两个增量的比，叫做函数在点到这间的平均变化率。如果时，有极限，则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点处的导数（或变化率），记作，即。（）如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间（）内可导， 此时， 对于开区间

2、（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（）内的导函数（简称导数），记作或，即。认知：（）函数的导数是以 x 为自变量的函数，而函数在点处的导数是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。（）求函数在点处的导数的三部曲：求函数的增量；求平均变化率；求极限上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。（ 2）导数的几何意义：函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。（ 3）函数的可导与连续的关系函数的可导与连续既有联系又有区别：（）若函数在点处可导，则在点处连续；若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。事

3、实上，若函数在点处可导，则有此时，记, 则有即在点处连续。（）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。反例：在点处连续，但在点处无导数。事实上，在点处的增量当时，；当时，由此可知，不存在，故在点处不可导。2、求导公式与求导运算法则（ 1）基本函数的导数（求导公式）公式 1常数的导数：公式 2幂函数的导数：（ c 为常数），即常数的导数等于。0。公式3正弦函数的导数：。公式4余弦函数的导数：公式5对数函数的导数：（）；（）公式 6（）指数函数的导数：；（）。（ 2）可导函数四则运算的求导法则设为可导函数，则有法则 1；法则 2；法则 3。3、复合函数的导数（ 1）复合函数的求导法

4、则设，复合成以x 为自变量的函数，则复合函数对自变量x 的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量u 对自变量 x 的导数，即。引申：设，复合成函数，则有（ 2）认知（）认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的顺序，即从外向内分析：首先由最外层的主体函数结构设出，由第一层中间变量的函数结构设出，由第二层中间变量的函数结构设出，由此一层一层分析，一直到最里层的中间变量为自变量x 的简单函数为止。于是所给函数便“分解”为若干相互联系的简单函数的链条：；（）运用上述法则求复合函数导数的解题思路分解： 分析所给函数的复合关系， 适当选定中间变量， 将所给函数“分解”为相互联系的若干简单函数；求

5、导：明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后，运用上述求导法则和基本公式求；还原：将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函数，并作以适当化简或整理。二、导数的应用1、函数的单调性（ 1）导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数在某个区间内可导，则若为增函数；若为减函数；若在某个区间内恒有，则在这一区间上为常函数。（ 2）利用导数求函数单调性的步骤（）确定函数的定义域；（）求导数；（）令，解出相应的x 的范围当时，在相应区间上为增函数；当函数。（ 3）强调与认知（）利用导数讨论函数的单调区间，首先要确定函数的定义域始终立足于定义域D。若由不等式确定的 x 的取值集合为的取值范围为B，则应用

6、；时在相应区间上为减D，并且解决问题的过程中A，由确定的x（）在某一区间内（或）是函数在这一区间上为增（或减）函数的充分（不必要）条件。因此方程的根不一定是增、减区间的分界点，并且在对函数划分单调区间时，除去确定的根之外， 还要注意在定义域内的不连续点和不可导点，它们也可能是增、减区间的分界点。举例：（ 1）是 R 上的可导函数，也是R 上的单调函数，但是当x=0 时，。（ 2）在点 x=0 处连续，点x=0 处不可导，但在（ - ， 0）内递减，在（0，+）内递增。2、函数的极值（ 1）函数的极值的定义设函数在点附近有定义，如果对附近的所有点，都有，则说是函数的一个极大值，记作；如果对附近的

7、所有点，都有，则说是函数的一个极小值，记作。极大值与极小值统称极值认知：由函数的极值定义可知：（）函数的极值点 是区间 内部的点， 并且函数的极值只有在区间内的连续点处取得；（）极值是一个局部性概念；一个函数在其定义域内可以有多个极大值和极小值，并且在某一点的极小值有可能大于另一点处的极大值；（）当函数在区间上连续且有有限个极值点时，函数在内的极大值点，极小值点交替出现。（ 2）函数的极值的判定设函数可导，且在点处连续，判定是极大（小）值的方法是（）如果在点附近的左侧，右侧，则为极大值；（）如果在点附近的左侧，右侧，则为极小值；注意：导数为0 的不一定是极值点，我们不难从函数的导数研究中悟出这

8、一点。（ 3）探求函数极值的步骤：（）求导数；（）求方程的实根及不存在的点；考察在上述方程的根以及不存在的点左右两侧的符号：若左正右负， 则在这一点取得极大值，若左负右正，则在这一点取得极小值。3、函数的最大值与最小值（ 1）定理若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值。认知：（）函数的最值（最大值与最小值）是函数的整体性概念：最大值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最小值。（）函数的极大值与极小值是比较极值点附近的函数值得出的（具有相对性），极值只能在区间内点取得； 函数的最大值与最小值是比

9、较整个定义区间上的函数值得出的 （具有绝对性） ，最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值。（）若在开区间内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值。（ 2）探求步骤：设函数在上连续，在内可导，则探求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：（ I）求在内的极值；（ II）求在定义区间端点处的函数值，；（ III）将的各极值与，比较，其中最大者为所求最大值，最小者为所求最小值。引申：若函数在上连续，则的极值或最值也可能在不可导的点处取得。对此，如果仅仅是求函数的最值，则可将上述步骤简化：（ I）求出的导数为0 的点及导数不存在的点（这两种点称为可疑点）；

10、（ II）计算并比较在上述可疑点处的函数值与区间端点处的函数值，从中获得所求最大值与最小值。（ 3）最值理论的应用解决有关函数最值的实际问题，导数的理论是有力的工具，基本解题思路为：（ I ）认知、立式：分析、认知实际问题中各个变量之间的联系，引入变量，建立适当的函数关系；（ II ）探求最值：立足函数的定义域，探求函数的最值；（ III ）检验、作答：利用实际意义检查（2）的结果，并回答所提出的问题，特殊地，如果所得函数在区间内只有一个点满足，并且在点处有极大（小）值，而所给实际问题又必有最大（小）值，那么上述极大（小）值便是最大（小）值。四、经典例题例 1、设函数在点处可导，且，试求（ 1

11、）；（ 2）；（ 3）；（ 4）（为常数）。解：注意到当）（ 1）；（ 2）=A+A=2A（ 3）令，则当时，（ 4）点评：注意的增量的形式是多种多样的，但是，不论应的形式，这种步调的一致是求值成功的保障。若自变量x 在处的增量为的本质，在这一定义中，自变量选择哪一种形式，相应的，则相应的x 在也必须选择相，处于是有；若令，则又有例 2、（ 1）已知，求；（ 2）已知，求解：（ 1）令，则，且当时，。注意到这里（ 2）注意到，由已知得由、得例 3、求下列函数的导数（ 1）；（ 2）；（ 3）；（ 4）；（ 5）；（ 6）解：（ 1）（ 2），（ 3），（ 4），（ 5），（ 6）当时，；当时，

12、即。点评：为避免直接运用求导法则带来的不必要的繁杂运算， 首先对函数式进行化简或化整为零，而后再实施求导运算，特别是积、 商的形式可以变为代数和的形式， 或根式可转化为方幂的形式时，“先变后求”的手法显然更为灵巧。例 4、在曲线 C：上，求斜率最小的切线所对应的切点，并证明曲线C 关于该点对称。解：（ 1）当时，取得最小值-13又当时，斜率最小的切线对应的切点为A（ 2， -12 ）；（ 2）证明：设为曲线C上任意一点，则点P 关于点A 的对称点Q的坐标为且有将代入的解析式得，点坐标为方程的解注意到 P， Q的任意性，由此断定曲线C 关于点例 5、已知曲线求证：两曲线在公共点处相切。A 成中心

13、对称。，其中，且均为可导函数，证明：注意到两曲线在公共点处相切当且仅当它们在公共点处的切线重合，设上述两曲线的公共点为，则有，于是，对于有；对于，有由得由得，即两曲线在公共点处的切线斜率相等，两曲线在公共点处的切线重合两曲线在公共点处相切。例 6、（ 1）是否存在这样的k 值，使函数在区间（1，2）上递减，在（2，+）上递增，若存在，求出这样的k 值；（ 2）若恰有三个单调区间，试确定的取值范围，并求出这三个单调区间。解：（ 1）由题意，当时，当x(2,+)时，由函数的连续性可知，即整理得解得验证：或（）当时，若，则；若， 则，符合题意；（）当时，显然不合题意。于是综上可知，存在使在（ 1，

14、2）上递减，在（2，+）上递增。（ 2）若，则，此时只有一个增区间，与题设矛盾；若，则，此时只有一个增区间，与题设矛盾；若，则并且当时，；当时，综合可知，当时，恰有三个单调区间：减区间；增区间点评：对于（1），由已知条件得，并由此获得k 的可能取值，进而再利用已知条件对所得k 值逐一验证，这是开放性问题中寻求待定系数之值的基本策略。例 7、已知函数，当且仅当时，取得极值，并且极大值比极小值大4.（ 1）求常数的值；（ 2）求的极值。解：（ 1），令得方程在处取得极值或为上述方程的根，故有，即又仅当时取得极值，方程的根只有或，方程无实根，即而当时，恒成立，的正负情况只取决于的取值情况当 x 变化

15、时，与的变化情况如下表：1(1 ，+ )+00+极大值极小值在处取得极大值，在处取得极小值。由题意得整理得于是将，联立，解得（ 2）由（ 1）知，点评：循着求函数极值的步骤，利用题设条件与的关系，立足研究的情况，乃是解决此类含参问题的一般方法，这一解法体现了方程思想和分类讨论的数学方法，突出了“导数”与“在处取得极值”的必要关系。的根例 8、（ 1）已知的最大值为3，最小值为-29 ，求的值；（ 2）设，函数的最大值为1，最小值为，求常数的值。解：（ 1）这里，不然与题设矛盾令（）若当，解得，则当时，或 x=4 （舍去）时，在，内递减在内递增；又连续，故当时，取得最大值由已知得而此时的最小值为

16、由得（）若，则运用类似的方法可得当时有最小值，故有；又当时，有最大值，由已知得于是综合（）（）得所求或（ 2），令得解得当在上变化时，与的变化情况如下表：-1(-1,0)01+00+极小值极大值当时，取得极大值；当时，取得极小值。由上述表格中展示的的单调性知最大值在与之中，的最小值在和之中，考察差式，即，故 的最大值为由此得考察差式，即，的最小值为由此得，解得于是综合以上所述得到所求。五、高考真题（一）选择题1、设，则（）。A、B、C 、D 、分析：由题意得，具有周期性，且周期为4，应选 C。2、函数A、B 、有极值的充要条件为（ C 、）D 、分析：当时，且；当时，令得有解，因此才有极值，故

17、应选C。3、设，分别是定义在R 上的奇导数和偶导数，当时，且，则不等式的解集是（）A、（ -3 ， 0）（ 3，+）C、（ - ， -3 ）（ 3，+）B 、（ -3 ， 0）（ 0， 3）D 、（ - ， -3 ）（ 0， 3）分析：为便于描述，设，则为奇导数，当时，且根据奇函数图象的对称性知，的解集为（ - ， -3 ）（ 0， 3），应选D。二、填空题1 过原点作曲线的切线，则切点坐标为，切线的斜率为。分析：设切点为M，则以M为切点的切线方程为由曲线过原点得，切点为，切线斜率为。点评：设出目标（之一）迂回作战，则从切线过原点切入，解题思路反而简明得多。2 曲线在点处的切线与x 轴，直线所

18、围成的三角形面积为，则 =。分析：曲线在点处的切线方程为即切线与 x 轴交点，又直线与切线交点纵坐标为，上述三角形面积，由此解得即3 曲线与在交点处的切线夹角是（以弧度数作答）分析：设两切线的夹角为，将两曲线方程联立，解得交点坐标为又，即两曲线在点处的切线斜率分别为-2 ， 3，应填。（三）解答题1 已知，讨论导数的极值点的个数。解析：先将求导，即。当时，有两根，于是有两极值点。当时，为增函数，没极值点。本题考查导数的应用以及二次方程根、“”等知识。解答：令，得1、当即或时，方程有两个不同的实根、，不防设，于是，从而有下表：+00+为极大值为极小值即此时有两个极值点；2、当即时，方程有两个相同

19、的实根，于是，故当时，；当时，因此无极值；3、当即时，而，故为增函数。此时无极值；当时，有两个极值点；当时，无极值点。2 已知函数的图象在点处的切线方程为。（）求函数的解析式；（）求函数的单调区间。解析：（ 1）由在切线上，求得，再由在函数图象上和得两个关于的方程。（ 2）令，求出极值点，求增区间，求减区间。此题考查了导数的几何意义以及利用导数求函数的单调区间。解答（）由函数的图象在点处的切线方程为知：，即，即解得所以所求函数解析式（）令解得当或时，当时，所以在内是减函数，在内是增函数。3 已知是函数的一个极值点， 其中（）求与的关系表达式；（）求的单调区间；（）当时，函数的图象上任意一点的切

20、线斜率恒大于3m，求的取值范围。解析：（ 1）本小题主要考查了导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法以及函数与方程的思想，第2 小题要根据的符号，分类讨论的单调区间；第3 小题是二次三项式在一个区间上恒成立的问题，用区间端点处函数值的符号来表示二次三项式在一个区间上的符号，体现出将一般性问题特殊化的数学思想。解答：（），是函数的一个极值点；（）令，得与的变化如下表：10+0单调递减极小值单调递增极大值单调递减因此，的单调递减区间是和；的单调递增区间是；（）由（）即令，且，即 m的取值范围是。4已知函数。（）求的单调区间和值域；（）设，函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围

21、。解析：本题考查导数的综合运用， 考查综合运用数学知识解决问题能力， 考查思维及推理能力以及运算能力，本题入手点容易，（）中对分式函数定区间内单调性与值域问题，往往以导数为工具，（）是三次函数问题，因而导数法也是首选，若成立，则二次函数值域必满足关系，从而达到求解目的。解：（）由得或。（舍去）则，变化情况表为：010+因而当时为减函数；当时为增函数；当时，的值域为；（）因此，当时因此当时为减函数，从而当时有又，即当时有任给，存在使得则由（ 1）得或，由（ 2）得又故的取值范围为。5 已知，函数（ 1）当为何值时，取得最小值？证明你的结论；（ 2）设在上是单调函数，求的取值范围。解析：本题考查导

22、数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力，本题（）常规题型，方法求，解的根，列表，确定单调性，并判断极值点，对（）由（）在上单调，而，因此只要即满足题设条件，从中解出的范围。解答：（）令则从而，其中当变化时 ,，的变化情况如下表+00+极大值极小值在处取得极大值，处取得极小值当时，且在为减函数，在为增函数而当时，当时当时取最小值；（）当时在上为单调函数的充要条件是，解得综上，在上为单调函数的充要条件为,即的取值范围为）。6. 已知，函数（）当时，求使成立的成立的的集合；（）求函数答案：（） 0， 1，在区间上的最小值。（）解答：（）由题意，,当时, 解得或，当时，解得综上，所

23、求解集为 0,1,1+( ) 设此最小值为 m当时，在区间1， 2上，因为），则是区间 1， 2上的增函数，所以时，在区间1， 2，由知；当时，在区间1， 2上，如果在区间（ 1， 2）内，从而在区间 1， 2上为增函数，由此得；如果则。当时，从而为区间 1，上的增函数；当时，从而为区间， 2上的减函数因此，当时，或。当时，故当时.综上所述 , 所求函数的最小值7、( ) 设函数求的最小值 ;()设正数满足，证明。解析：本题考查数学归纳法及导数应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。（ ）已知函数为超越函数，若求其最小值，则采用导数法，求出，解得，再判断与时的符号，确定为极小值点，也是

24、函数的最小值，对（）直接利用数学归纳法证明，但由到过渡是难点。解答：（）函数f （ x）的定义域为（0， 1）令当时， f (x)0, f(x) 在区间是增函数。 f （ x ）在时取得最小值且最小值为( ) 用数学归纳法证明（ i ）当 n=1 时，由（）知命题成立；(ii) 假定当 n=k 时命题成立，即若正数满足, 则当 n=k+1 时，若正数满足令,则为正数，且由归纳假定知同理，由, 可得(1 x)( k)+(1 x)log 2 (1 x).综合、两式x+(1 x)( k)+xlog2x+(1 x)log2(1 x) (k+1).即当 n=k+1 时命题也成立。根据（ i ）、 (ii

25、)可知对一切正整数n 命题成立。8 函数，在区间是 曲线内可导，导函数在 点是减函数，且 ，设处 的 切线 方 程 ，并 设 函 数（）用、表示 m；（）证明：当时 ,（）若关于求 b 的取值范围及x 的不等式a 与 b 所满足的关系。在上恒成立，其中a、b 为实数，解答：（ I）在点处的切线方程为即因而；( ) 证明：令，则因为递减，所以递增, 因此，当时，；当时，所以因此是0 即唯一的极值点，且是极小值点，可知；的最小值为0（）解法一：是不等式成立的必要条件，以下设此条件成立。， 即对 任 意成 立 的 充 要 条 件 是，另一方面，由于满足前述题设中关于的条件，利用 ( ) 的结果可知，的充要条件是：过点与曲线相切的直线的斜率不大于，该切线的方程为：，于是的充要条件是综上，不等式对任意成立的充要条件是显然，存在使式成立的充要条件是：不等式有解，解不等式得因此，式即为的取值范围，式即为实数与所满足的关系。（）解法二：是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立。， 即对 任 意成 立 的 充 要 条 件 是令，于是对 任 意成立的充要