因式分解办法总结

1、精心整理因式分解方法总结一、定义定义： 把一个多项式化为几个最简整式的乘积 的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也 叫作分解因式） .因式分解与整式乘法为相反变形，同时也是解 一元二次方程中公式法的重要步骤 .二、因式分解三原则1分解要彻底 （是否有公因式， 是否可用公式） 2最后结果只有小括号 3最后结果中多项式首项系数为正（例如：3x2 x x（ 3x 1） ）三、基本方法（一）提公因式法 ma mb mc m（a b c） 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这 个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘 积的形式，这种分解因式的方法叫做 提取公因式 法.找公因式的一般步骤：（1）

2、若各项系数是整系数， 取系数的最大公约 数；（2）取相同的字母， 字母的指数取次数最低的； （ 3）取相同的多项式， 多项式的指数取次数最 低的；精心整理4）所有这些因式的乘积即为公因式 5）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数，提 出“-”号时，多项式的各项都要变号口诀： 找准公因式，一次要提尽；全家都搬走，留1 把家守；提负要变号，变形看奇偶例如：am bm cm m(a b c)注意：把 2a 21 变成 2（a 14）不叫提公因式 .例1、 分解因式 x3 2x2 x（2003 年淮安市中考题） 解： x3 2x2 x x（x2 2x 1）例 2

3、、993 99能被 100整除吗？还能被那些数整除 ?（二）公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式 .1、平方差公式：22a2 b2 (a b)(a b)2、完全平方公式：a2 2ab b2 (a b)23、立方和公式：a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )4、立方差公式：a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )52 2 2 2、 a2b2c22ab 2bc 2ca (abc)26、完全立方公式： a3 3a2b 3ab2 b3 (a b)3 7、 a3b3c33abc (a b c)(a2b2c2ab bc ca)例

4、3、分解因式 a2 4ab 4b22003年南通市中考题）2 2 2 a2 4ab 4b2 (a 2b)2精心整理 解： 例 4、已知 a,b,c 是 ABC 的三边，且 a2 b2 c2 ab bc ca ，则 ABC 的形状是()A.直角三角形 B.等腰三角形 C .等边三角形 D .等 腰直角三角形解： a2 b2 c2 ab bc ca 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca(三) 分组分解法能分组分解的多项式一般有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法、三 一分法 .1. 分组后能直接提取公因式 . 例 5、分解因式 am an bm bn.解：原式 =(am a

5、n) (bm bn)=a(m n) b(m n) 每组之间还有公因式！2ax 10ay 5by bx项为一组；解法二：第一、四项a2 ab ac bc ( 2 ) xy x y 1=(m n)(a b) 例 6、分解因式 解法一：第一、 为一组； 第三、四项为一组。第二、三项为一组。 解：原式 =(2ax 10ay) (5by bx)原式 =(2ax bx) ( 10ay 5by) = 2a(x 5y) b(x 5y)=x(2a b) 5y(2a b) =(x 5y)(2a b)=(2a b)(x 5y) 练习 ：分解因式( 1)精心整理2. 分组后能直接运用公式 例 7、分解因式： x 2

6、y2 ax ay解：原式 =22例 8、分解因式：2 2 2 a 2ab b c解：原式 = (a22ab b2) c2=(a b)2 c2 =(a b c)(a b c)(xy ) (ax ay) =(x y)(x y) a(x y)= (x y)(x y a)练习： 分解因式( 1) x2 x 9y 2 3 y (2) x2 y2 z 2 2 yz(四) 十字相乘法口诀： 首尾分解，交叉相乘，求和凑中 1.二次项系数为 1 的二次三项式 直接利用公式 x2 ( p q)x pq (x p)(x q) 进行分解 特点：( 1)二次项系数是 1； (2)常数项是两个数的乘积；(3) 一次项系数

7、是常数项的两因数的和 例 9、分解因式： x 2 5x 6分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等 于 5.由于 6=23=(-2) (-3)=1 6=(-1) (-6) ，从中可以 发现只有 23 的分解适合，即 2+3=5.12 解： x2 5x 6= x2 (2 3)x 2 3 13=(x 2)(x 3) 1 2+1 3=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因 数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系 数.例 10、分解因式： x 2 7x 6精心整理解：原式 = x2 ( 1) ( 6) x ( 1)( 6) 1-1=(x 1)(x 6) 1-6-1) + ( -

8、6) =-7练习、 分解因式 (1) x2 14x 24(2) a 2 15a 36 (3) x2 4x 5练习、 分解因式 (1)x2 x 2(2) y2 2y 15 (3) x2 10x 242.二次项系数不为 1 的二次三项式 ax 2 bx c条件：1）a a1a 2 a1 c 12）c c1c2 a2 c 2(3) b a1c2 a 2c1 b a1c2 a2c1 分解结果： ax2 bx c= (a1x c1)(a2x c2)例 11、 分解因式： 3x2 11x 10分析： 1-23-5（-6）+（ -5）=-11 解： 3x2 11x 10= （x 2）（3x 5） 练习、 分

9、解因式（ 1） 5x2 7x 6（2） 3x2 7x 2（3） 10x 2 17x 3 （4） 6 y 2 11y 103. 二次项系数为 1 的齐次多项式 例 12、分解因式： a 2 8ab 128b2 分析：将 b看成常数，把原多项式看成关于 a 的二次 三项式，利用十字相乘法进行分解。18b1-16bb+(-16b)=-8b解：2 2 2a2 8ab 128b 2 = a2 8b ( 16b)a 8b ( 16b)精心整理= (a 8b)( a 16b)练习、 分解因式 (1) x 2 3xy 2 y 2(2) m 2 6mn 8n2 (3) a2 ab 6b24. 二次项系数不为 1

10、 的齐次多项式 例 9 、 2x 2 7xy 6y 2 例 10、 x2 y2 3xy 2 1-2y 把xy看作一个整体 1-12-3y1-2 (-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3 解：原式 =(x 2y)(2x 3y) 解：原式 = (xy 1)( xy 2) 练习、 分解因式： (1)15x2 7xy 4y2(2) a2x2 6ax 8 思考： 分解因式： abcx2 (a 2b2 c2 )x abc(五) 换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同 的部分换成另一个未知数，整体代入，然后进行因 式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法 注意：换元后勿忘还元 .例

11、 11、分解因式 ( x2 x 1)( x2 x 2) 12 解：令 y x2 x则原式 ( y 1)( y 2) 12 y2 3 y 10 ( y 5)( y 2) 例 12、分解因式( 1) 2005 x2 (20052 1) x 2005( 2) (x 1)(x 2)( x 3)(x 6) x2 解：(1)设 2005=a，则原式 = ax2 (a2 1)x a= (ax 1)( x a ) = (2005x 1)( x 2005)(2)型如 abcd e的多项式，分解因式时可以把四 个因式两两分组相乘 .精心整理原式 = (x2 7x 6)( x 2 5x 6) x2设 x 2 5x

12、6 A ， 则 x 2 7x 6 A 2x 原式 =(A 2x)A x2= A2 2Ax x22 2 2= (A x)2 = (x 2 6x 6)2练习、 分解因式( 1) ( x2 xy y2)2 4xy(x2 y2 )(2) (x2 3x 2)( 4x2 8x 3) 90(3) (a2 1)2 (a2 5)2 4(a2 3)2(六) 拆项、添项法 这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互 为相反数的两项 (或几项)，使原式适合于提公因式 法、运用公式法或分组分解法进行分解 .要注意，必 须在与原多项式相等的原则下进行变形 .解：原式(七)配方法例 13、分解因式 bc(b c) ca (c

13、 a) ab(a b)bc (c a a b) ca(c a) ab(a b)对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其 配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法 .属于拆项、添项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式解：原式(八)主元法相等的原则下进行变形 例 14、分解因式 x2 4 x 322x2 4x 4 4 3 (x 2)2 1 (x 2 1)(x 2 1) (x 3)( x 1)先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解精心整理例 15、分解因式 a2 (b c) b2(c a) c2(a b)解：原式 a2(b

14、 c) a(b2 c2 ) (b2c c2b)(九)特殊值法将 2 或 10 代入 x，求出数 P，将数 P 分解质因 数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因 数写成 2 或 10的和与差的形式， 将 2或 10还原成 x，即得因式分解式 .则例 16、分解因式 x3 9 x2 23x 1532x3 9x2 23 x 15 8 36 46 15 105将105分解成 3 个质因数的积，即 105 3 5 7 注意到多项式中最高项的系数为 1，而 3、5、7 分别为 x+1， x+3，x+5，在 x=2 时的值则 x3 9x2 23x 15 ( x 1)(x 3)(x 5)(十)待定系数法

15、 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整 式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式 分解.例 17、分解因式 x4 x 3 5x 2 6 x 4解：由分析知， 这个多项式没有一次因式，因而只 能分解为两个二次因式4 3 2 2 2x x 5x 6x 4 (x ax b)( x cx d) c1， b 1 ， c 2 ， d4于是设 所以a 解得 a 1 所以 x4 x3 5x2 6x 4 ( x2 x 1)(x2 2x 4)精心整理例 18、分解因式 x2 xy 6y2 x 13y 6分析：原式的前 3 项x2 xy 6y2可以分为 (x 3y)(x 2 y) ，则原多 项式必定可分为

16、(x 3y m)( x 2 y n)解：设 x2 xy 6y2 x 13y 6= (x 3y m)(x 2y n)(x 3y m)(x 2y n) = x2 xy 6y2 (m n) x (3n 2m) y mn2 2 2 2对比左右两边相同项的系数可得m2 n3x2 xy 6y2 x 13y 6 = x2 xy 6y2 (m n)x (3n 2m) y mn mn1 3n 2m 13 ，解得mn 6原式 =( x 3y 2)(x 2y 3)例 19、(1)当 m为何值时，多项式 x2 y2 mx 5y 6能分解因 式，并分解此多项式 .b)(2)如果 x 3 ax 2 bx 8 有两个因式为

17、 x 1和 x 2，求 a b的值 . ( 1)分析： 前两项可以分解为 (x y)(x y)，故此多项式 分解的形式必为 ( x y a)(x y解：设 x2 y2 mx 5y 6= (x y a)(x y b)比较对应的系数可得：则 x2 y2 mx 5y 6= x2 y2 (a b)x (b a)y ab abm b a 5，解得： ab 6当 m 1时，原多项式可以分解； 当 m 1时，原式 =(x y 2)(x y 3) ； 当 m 1时，原式 = (x y 2)( x y 3)2)分析： x3 ax2 bx 8是一个三次式，所以它应该分成三 个一次式相乘，因此第三个因式必为形如 x c 的一次二项式。精心整理解：设 x3 ax2 bx 8=(x 1)(x 2)(x c)则 x3 ax2 bx 8= x3 (3 c)x2 (2 3c)x 2c a 3 c a 7c4 b 2 3c 解得 b 14 ， 2c 8 a b=21(十一)双十字相乘法用于分解形如 ax2 bxy cy2 dx ey f 的二次六项式 具体方法 ：将 a 分解成 mn乘积作为一列， c分解成 pq乘 积作为第二列， f 分解成 jk 乘积作为第三列，如果mq np b， pk qj e， mk nj d ，即第 1,2 列和第 2,3 列都 满足十字相乘规则。 则 ax2 bxy cy2 d