实数的概念及性质

1、实数的概念及性质篇一：实数的有关概念和性质以及实数的运算 实数的概念 实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正实数，负实数和零 三类。实数集通常用黑正体字母 R 表示。而 表示 n 维实数空间。实数是不可数的。实数 是实数理论的核心研究对象。实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数 点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的） 。在实际运用中，实数经 常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n 为正整数）。在计算机领域，由于计算机 只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。实数的运算法则1、加法法则：（1）同号两数相

2、加，取相同的符号，并把它们的绝对值相加；（ 2）异号两数相加， 取绝对值大的加数的符号， 并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 可使用 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变即： 加法结合律： 三个数相加， 先把前两个数相加， 或先把后两个数相加， 和不变 即：2、减法法则： 减去一个数等于加上这个数的相反数。即 a-b=a+（-b）3、乘法法则：（1）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。（2）n个实数相乘，有一个因数为 0，积就为 0；若 n个非 0的实数相乘，积的符号 由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为奇数个时，积为负。（ 3）乘法可使用 乘法交换律

3、：两个数相乘，交换因数的位置，积不变即： 乘法结合律 ：三个数相乘， 先把前两个数相乘， 或者先把后两个数相乘， 积不变即：。 分配律 ： 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相 加即： 4、除法法则：（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。（2）除以一个数等于乘以这个数的倒数。即（3）0除以任何数都等于 0，0 不能做被除数。5、乘方：所表示的意义是 n 个 a 相乘，即 正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数 乘方与开方互为逆运算。6、实数的运算顺序： 乘方、 开方为三级运算， 乘、除为二级运算， 加、减是一级运算， 如果没有括号

4、， 在同一级运算中要从左到右依次运算， 不同级的运算， 先算高级的运算再算 低级的运算，有括号的先算括号里的运算。无论何种运算，都要注意先定符号后运算。实数计算的常见类型及方法一、实数的运算(1) 加法同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加； 异号两数相加。取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；任 何数与零相加等于原数。(2) 减法 a-b=a+(-b)(3) 乘法 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零即(4) 除法(5) 乘方(6) 开方如果 x2 a 且 x ，0那么 x； 如果 x3=a，那么 在同一个式于里，先乘方、开方，然后乘、除，

5、最后加、减有括号时，先算括号里 面3实数的运算律(1)加法交换律 a+b b+a(2) 加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c)(3) 乘法交换律 ab ba(4) 乘法结合律 (ab)c=a(bc)(5) 分配律 a(b+c)=ab+ac其中 a、b、c 表示任意实数运用运算律有时可使运算简便 一、加法运算中的方法与技巧例 1 计算： 分析：()题的关键是确定运算顺序，有括号的还应先计算括号内的；( 2)题的关键是求出绝对值符号中式子的值，进而求出整个式子的值进行有理数的 混合计算时 ,小学学过的确定运算顺序的方法仍然适用【小结】巧用加法的交换律与结合律，以达到简化的目的，同时注意交换加数

6、位置时， 一定要连同前面的符号一起移动 .实数加法运算中通常有以下规律：互为相反数的两个数先相加 “相反数结合法 ”；符 号相同的数先相加 “同号结合法 ”；分母相同的数先相加 “同分母结合法 ”；几个数相加得 到整数先相加 “凑整法 ”；整数与整数，小数与小数相加 “同形结合法 ”.二、乘、除运算中的方法与技巧例 2：计算： 分析：()这里没有用括号规定运算顺序，所以我们应先算乘方，再算除法，最后算 除法(2)用括号规定运算顺序，所以应先算括号内的，再按顺序进行另外也可以利用乘 法对加法的分配律去掉括号，然后再按顺序进行点评：在进行有理数的混合运算时，一要注意运算顺序的正确；二要注意符号的变

7、化； 三要注意在运算性质时不要出现错误三、幂的运算【例 3】 计算：【小结】表示 4 个 -2 相乘，负数的偶次方是正数，而表示的相反数，结表示的相反果为负数，两者意义不同，注意区别.同理，表示 3 个-2 相乘，数，表示 3 个相乘，表示除以 5 的商的相反数，两者意义不同，注意观察，当底数是 分数时，底数要加括号 .四、在混合运算中灵活运用运算律【小结】 此题利用分配律计算非常简便，但同时是同学们在计算时容易出错的地方 第一种方法是把括号中的式子看作和的形式，分别相乘，再相加.第二种方法是先定符号，后面注意整体思想 .第三种方法，第一部分相乘时先定符号，后定值.【小结】 善于观察，寻求解决

8、问题的策略，是至关重要的.灵活使用交换律和分配律，使解决本题的步骤变得简捷明快 .篇二：实数的有关概念和性质 2015一、选择题1. （ 2015福建泉州， 1,3） 7 的相反数是（） A7 B7C11D77 考点解剖：本题主要考查了相反数的求法，准确掌握相反数的定义是关键； 解题思路：只有符号不同的两个数，叫做互为相反数； 解答过程：与 7 只有符号不 同的数是 7，故应选 B. 【答案】 B 规律总结：求一个数的相反数，只要在这个数的前面加 上负号即可 . 正数的相反数是负数， 负数的相反数是正数， 0 的相反数是 0. 关键词：相反数；2. （ 2015广东广州， 1，3 分）实数 3

9、的倒数是（ *） A?11BC 3D 3 33【答案】 B 考点解剖：本题考查了求实数的倒数掌握求倒数的方法是解题的关键 解题思路： 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 解答过程：解： 3是一个整数， 3 的倒 数就是1故选 B 3 规律总结：（1）求一个整数（或整式）的倒数，就是写成这个整数（或整式）分之一；（2）求一个分数（或分式）的倒数，就是调换分子和分母的位置求出倒数之后，如果分 母中含有根号，则需要分母有理化 关键词：实数；倒数3. （ 2015广东省， 1，3分） 5的绝对值是（）A5B5C15D1 5【答案】 A 考点解剖：本题考查了求实数的绝对值掌握求绝对值的代数方法是解

10、题的关键 解题思路： 5 是一个负数，根据 正数的绝对值等于它本身，零的绝对值是零，负 数的绝对值等于它的相反数 可以直接求得答案解答过程：解： 5 一个负数，它的绝对值等于它的相反数，而 5 的相反数是 5， 5 的绝对值是 5故选 A规律总结：求一个整数的绝对值通常有代数方法和几何方法，其中代数方法就是直接 依据定义， 即正数的绝对值等于它本身， 零的绝对值是零， 负数的绝对值等于它的相反数 ； 几何方法就是通过数轴，直接根据绝对值的定义在数轴上画出相应的结合长度即可得知答 案 关键词：绝对值4. （ 2015广西桂林， 1，3分） 2012 的相反数是（） A.2012 B.2012C.

11、 -2012 D.12012考点解剖：本题考查了相反数的概念，解答本题的关键是理解相反数的意义 . 解题思路：可直接根据相反数的意义求解，方法一：数 a 的相反数是 a；方法二：在 数轴上分居原点左右两侧且到原点的距离相等的两个数互为相反数 .解答过程：方法一： 2012 的相反数是 2012 ；方法二： 2012 在原点的右边且到原点 的距离为 2012 个单位长度，所以它的相反数在原点的左边，到原点的距离也是 2012 个单 位，故这个数是 2012，选择答案 B. 答案： B规律总结：一般地，我们确定一个数的相反数时，只需在这个数前面加上负号即可， 即数 a 的相反数是 -a，此题属于基

12、础题 .关键词： 相反数5. （ 2015 广西桂林， 2， 3 分）下面是几个城市某年一月份的平均温度，其中平均温 度最低的是（） A.桂林市 11.2 B.广州 13.5C.北京 -4.8D.南京 3.4考点解剖：此题考 查的是有理数的大小比较，直接比较这四个数的大小即可找到答案 . 解题思路：根据正数大 于 0，负数小于 0，正数大于负数可知， 此四个数中， 4.8 最小 . 解答过程： 因为 13.5 11.2 3.44.8，所以均温度最低的是北京 -4.8，选择 C. 答案： C规律总结： 有理数大小比较的法则是： 正数都大于 0； 负数都小于 0； 正数大 于一切负数； 两个负数，

13、绝对值大的其值反而小 关键词： 有理数的大小比较12015 贵州安顺， 1，3 分）在， 0，1，,2 这四个数中，最小的数是（）21A B 0C 1D 22考点解剖： 本题考查了有理数的大小比较 .掌握有理数大小比较方法是关键 . 解题思路： 有理数中，负数小于 0，负数小于正数，所以最小的是 -2. 解答过程：解： -2 01 | 2| ，得 3 | 3| ， 4 0 0.1 2，最小的数是 2.故选 A规律总结：绝对值的求法：正数的绝对值是它本身， 0 的绝对值是 0，负数的绝对值是 它的相反 数；有理数比较大小的方法：正数都大于 0，负数都小于 0，两个负数比较大小， 绝对值大的反 而

14、小 .关键词：有理数 有理数的相关概念 绝对值有理数的比较大小 11. （ 2015 湖北黄冈， 1，3 分）下列实数中是无理数的是（）A4BC?D2考点解剖：本题考查了无理数的概念.根据概念求解是解决问题的根本 .解题思路： 4 2，4 是有理数； 8 2 2，8 是有理数； 0 1，?是有理数； 2 中，被开方 2 为无理数 .解答过程：解： 42，A 是有理数； 822，B 是有理数； 0 1， C2 中，被开方数开方开不尽， D为无理数，故选 D 规律总结：常见的几种无理数 与 有关的，如3333?，?3等； 根号型： 2，等开方开不尽得数； 无2限不循环小数：如 1.12112111

15、2 ； 三角函数：如 tan30 等 . 关键词：无理数12. （2015 湖南长沙， 1，3 分） +3相反数是（ ） A1 3B-3C -13D3【答案】 D 考点剖析：本题考察了相反数的概念，需要学生掌握相反数的概念才能够获得正确答 案 解题思路：根据相反数的概念求解 .解答过程：由互为相反数的概念：数字相同，符号相反可求解. 3 的相反数是 3.所以本题选项为 D 规律总结：（ 1）a的相反数是 a，当 a0时， a a；当 a=0 时，a= a；（2）若 a 与 b 互为相反数，则 a b=0；（3）a 和它的相反数在数轴上对应的点，与原点的距离相等.关键词：相反数13. （2015

16、湖南常德， 9，3分）若 a与 5互为倒数，则 a（） A11 B5 C 5D - 55考点解剖： 本题考查了倒数的求法， 做题时注意与求绝对值、 相反数区分 解题思路： 若 a 与 b 互为倒数，则 ab1 解答过程：解： a与 5 互为倒数，而 5的倒数是故选 A规律总结：求一个整数的倒数，直接写成这个数分之一即可求一个分数的倒数，就 是把这个分数的分子、 分母颠倒位置即可； 求一个小数的倒数， 可以先把这个小数化成分数， 再求其倒数；求一个带分数的倒数，先化为假分数再求其倒数特别注意 0 没有倒数，但 0 有相反数 关键词：有理数 倒数14. （2015 湖南衡阳， 1，3分）3的绝对值

17、是 （）A11，所以 a 5511B 3C 3 D? 33 考点解剖：本题考查绝对值的概念，关键在于理解绝对值的意义 解题思路：根据绝对值的意义，求一个负数的绝对值就是求这个负数的相反数。所以 -3的绝对值是 3 解答过程：因为 -3的相反数是 3，所以 -3的绝对值是 3，故选 C规律总结：正数的绝对值等于它本身， 0 的绝对值是 0，负数的绝对值等于它的相反 数 关键词：绝对值15. （2015 湖南娄底， 1，3 分） 2012 的倒数是 （） A11B. ?C. 2012 D. ?2012 20122012考点解剖： 本题考查了倒数的概念， 关键是弄清有关数的概念， 不要混淆 . 解题

18、思路： 互为倒数的积为 1. 借助 2012 与解答过程：解： 2012 的倒数是1的积为 1 求解倒数 20121故选择 A. 2012规律总结：如果 a 与 b 互为倒数，则有 ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是 1 和 -1。零没有倒数 . 关键词：倒数湖南益阳， 1，4分）-2 的绝对值等于 （）11D? 22考点解剖：本题考查有理数的绝对值，掌握绝对值的意义是关键 . 解题思路：根据负 数的绝对值是它的相反数可得解 . 解答过程：解： |-2|=2 故选 A规律总结：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数， 0 的绝对 值是 0. 关键词：绝对值17. （201

19、5 湖南株洲， 1，3 分） ?9的相反数是（ ）A2B-2CA9B?9C19D1 9 考点解剖：本题主要考查相反数的概念，注意只有符号不同的两个数是互为相反数， 不要错误地理解为符号不同的两个数是互为相反数解题思路：根据相反数的概念，只有符号不同的两个数称互为相反数所以9 的相反是 9解答过程： 9 的相反数是 9，故选 A规律总结： 掌握概念是解此类题的关键 相反数、绝对值、数轴等概念是中考的重点 关 键词：相反数18. （2015 江苏淮安， 1，3 分）1的相反数是 （ ） 211A B C 2D 2221前面加上 “-”就是它的相反数 . 2考点解剖：本题考查了有理数的相反数概念.掌

20、握相反数的意义是解题的关键 . 解题思路：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，因此只要在解答过程：解：11的相反数是 -故选 A 221=2 规律总结：求一个数的相反数，只要改变它的符号，其他部分都不变要注意，切勿 用连等号连接相反数，如1，这是错误的 2 关键词：相反数2015江苏连云港， 1，3分） 3的绝对值是（ ） A.3 B. 3C.11D.? 33 考点解剖：本题考查有理数的绝对值，掌握绝对值的相关知识是正确解题的关键 . 解 题思路：根据 a0 时，?a a的原理可求出 3 绝对值的大小 . 解答过程：30，?3 （3）3，答案选 A.?a（a?0）?规律总结：化简一个数（式）的

21、绝对值，先要判断数（式）的正负，再根据 a?0（a?0） 的原理得出 .?a（a?0）?关键词：绝对值 .20. （2015 江苏宿迁， 1，3 分） 8 的绝对值是（） A8B11C D 888考点解剖： 本题主要考查有理数的概念， 考查的知识点较为单一， 系容易题 解题思 路：根据绝对值的定义，负数的绝对值等于它的相反数，即可求解规律总结：正数的绝对值是它的本身； 0 的绝对值是 0；负数的绝对值等于它的相反 数 关键词：有理数的概念绝对值21. （2015 江西南昌， 1，3 分） 1 的绝对值是（ ）A1B0 C1D1 考点解剖：有理数的绝对值的求法， 任何一个有理数的绝对值都是非负数

22、 解题思路： 负数的绝对值等于它的相反数 解答过程： 11)，则与这个自然数相邻的两个自然数的算术平方 根为.?111?由 4 请你观察思考下列计算过程： ?112?121,?11;同样： ?111?12321此猜想： 7654321?(济南市中考题 )5如图，数轴上表示 12 的对应点分别为 A、B，点 B 关于点 A 的对称点为 C，则点 C 所表示的数是 ( )2A.2?1B.1?2C.2?2 D2?26已知 x 是实数，则 x?x?x?1的值是 ( )A.1?1?B.1?1?C.1?1D无法确定的(第 14届“希望杯 ”邀请赛试题 ) 7已知 |a|?5,2?3, 且 ab0，则 a+b的值为 ( )A8 B-2 C8 或一 8 D2 或一 2 (2005年镇江市中考题 ) 8若实数 a、b满足(a?b?2)2?2a?3?0,求 2b+a一 l的值 (山西省中考题 )9细心观察图形。认真分析各式，然后解答问题 ()2?1?2,S1?; 22; 3 (3)2?1?4,S3?;(2) 2?1?3,s2?(1)请用含有 n(n 是正整数