非线性方程的数值解法习题解答

1、第六章非线性方程的数值解法习题解答填空题：1. 求方程 x f (x) 根的牛顿迭代格式是Ans:xn 1xn f(xn)1 f (xn )2.求解方程在(1, 2)内根的下列迭代法中，(1)(2)(3)(4)收敛的迭代法是( A)A(1)和(2) B. (2)和(3) C. (3)和(4) D. (4)和(1)3.若 f (a) f (b) 0 ，则 f (x) 0在 (a,b) 内一定有根。 ( )4用二分法求方程 f (x) x3 x 1 0在区间 0,1内的根 ,进行一步后根的所在区间为,进行两步后根的所在区间为. (答案 ,1， ,)计算题：1、已知方程 x3 x2 1 0 在 x

2、1.5附近有根，将方程写成以下三种不同的等价形式： x 1 12 ； x 3 1 x 2 ； xx 试判断以上三种格式迭代函数的收敛性，并选出一种较好的格式。231.531解：令 1(x) 1 12 ，x则 1 (x)令 2(x) 3 1 x2 ，则2(x)令 3 (x)则3(x)23，x2 x(1 x2 ) 331(1.5)0.5926 1 ，故迭代收敛；2(1.5) 0.45581 ，故迭代收敛；12 (x 1)33 (1.5) 1.41421 ，故迭代发散。以上三中以第二种迭代格式较好。2、设方程 f (x) 0 有根，且 0m f (x) M。试证明由迭代格式 xk 1 xkf (xk

3、 )2(k 0,1,2,L ) 产生的迭代序列 xk k 0 对任意的初值 x0 ( , )，当 0 M 时，均收敛 于方程的根。(x) 1 m ，进而可知，证明：设 (x) xf(x)，则 (x) 1 f(x)，故 1 M2 当 0 M 时， 1 (x) 1，即 (x) 1，从而由压缩映像定理可知结论成立。3、试分别用 Newton 法和割线法求以下方程的根x cosx 0取初值 x0 0.5, x1，比较计算结果。4解： Newton法： x1 0.75522242,x2 =0.73914166,x3 =0.73908513 ；割线法： x2 0.73638414,x3 =0.739058

4、14,x4 =0.73908515,x5=0.73908513；比较可知 Newton 法比割线法收敛速度稍快。4. 已知一元方程 x 3x 1.2 0 。1) 求方程的一个含正根的区间；2) 给出在有根区间收敛的简单迭代法公式 (判断收敛性 )；3) 给出在有根区间的 Newton 迭代法公式。解：(1) f(0)1.2 0, f(2) 1.8 0 又f (x)连续故在(0,2)内有一个正根(2)233,maxx (0,2)(x)x 3 3x 1.2,(x) (3x 1.2)(3) f (x)3x23,xn 1 xn3xn33x 1.223xn2 3121.231, xn 1 3 3xn 1

5、.2收敛5、用二分法求方程 f (x)3x3 x 1在区间 1,1.5 内的根时，若要求精确到小数点后二位，(1) 需要二分几次； (2)给出满足要求的近似根。 解：6次； x* 1.32 。6为求方程 x x 1 0在x0 1.5 附近的一个根，设将方程改写成下列等价形 式，并建立相应的迭代公式。4)5)6)x21x2,迭代公式xk 1 1 1xk2;1 x ,迭代公式 k 1312xk1x11,迭代公式 xk1 1xk 1.解：试分析每种迭代公式的收敛性。1 0.125 0为有根区间)x 1 1/ x2(x)1 1/ x2(x)迭代公式 xk111/ xk2收敛。2)x3 1 x2(x)3

6、 1 x2(x)迭代公式 xk1 3 1xk2收敛。213)x(x)1(x)x1x1迭代公式 xk111 发散。xk 1Q1.4 1.4 10.216 0 1.5 1.521.430.73 111(1 x2) 3 2x3312(x 1) 2(11.531.5/(1 1.0)331) 21.4 10.63 17、已知x 在区间 a b 内只有一根，而当时， (x) k 1,试问如何将 xx 化为适于迭代的形式将解：化为适于迭代的形式，并求 x由反函数微分法则有故当( x) k将 x ( x) 则迭代法是收敛的。对 x tgx用搜索法知在 4.1时，有xx45, 4.50弧度)附近的根。 1( 1

7、(x) 1( 1(x) ( x)x karctgx内有根，取x 0(x)1( x) 1.1(xk)4.45 迭代，(k 0,1 ,L )arctgx kx (5) 4.493418、能 解的不能用迭代法求解下列方程，如果不能时， 形式。试将方程改写成能用迭代法求1) xx x( 2) x解: (1)x 对所有的x有(x)sin x4cosx24 12 1故能用迭代法求根。（2）方程为1，2故有根区间为(x)(x)x2x ln2 2ln1.368291, 故不能用4 2 来迭将原方程改写为此时，x)11x ln 214 2 ln 212ln故可用迭代公式xk 1ln(4 xkln 2来求解用牛顿 （切线 ）法求3 的近似值x0=, 计算三次，保留五位小数是 f(x)xxn 1xnx0=, 列表如下：0给定方程0 的正根，32xn ，x)xn2x，牛顿迭代公式为xn223xn (n0,1,2, )f(x)(x 1)ex101）分析该方程存在几个根；2）用迭代法求出这些根，精确到 5 位有效数字；3）说明所用的迭代格式是收敛的。解：1）将方程(x 1)ex10（1）改写为x1x e（2）作函数 f1（x）x 1， f2(x) ex的图形（略）知（2）有唯一根 x（1,2）2） 将方程（ 2）改写为x 1 exxk 11 e xk(k0,1,2, )构造迭代格式x01.5计算