均值不等式公式总结及应用00697

1、均值不等式应用1.（1） 若，则 （2） 若，则 （当且仅当时取“ =”）2. （1）若，则 （2）若，则 （当且仅当时取 “ =）”（3）若，则 （当且仅当时取 “ =）”3. 若，则 （当且仅当时取 “ =）” 若，则 （当且仅当时取 “=”） 若，则 （当且仅当时取 “=”）4. 若，则 （当且仅当时取 “ =）” 若，则 （当且仅当时取 “=”）5. 若，则（当且仅当时取 “ =）”（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最 小值，正所谓 “积定和最小，和定积最大 ”（2）求最值的条件 “一正，二定，三取等 ”（3）均值定理在求最值

2、、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值例 1 ：求下列函数的值域(1) y = 3x2 +( 2) y= x+解：(1)y = 3x2 +2.值域为,+m)(2)当 x0 时，y= x+ 2= 2;当 x v 0 时，y = x + = 一 (一 x一) w 2= 一 2 值域为(一 汽 一2 U 2 , +R)解题技巧 技巧一：凑项例已知，求函数的最大值。解：因，所以首先要 “调整 ”符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑项，当且仅当，即时，上式等号成立，故当时， 。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例 1

3、. 当时，求的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形 式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。当，即x = 2时取等号当x= 2时，的最大值为8。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不 等式求最大值。变式：设，求函数的最大值。解：当且仅当即时等号成立。技巧三：分离例 3. 求的值域。解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x + 1）的项，再将其分离。当，即时，（当且仅当x二1时取号）。技巧四：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x + 1,化简

4、原式在分离求最值。当，即t=时，（当t=2即x= 1时取“=”号）。 评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利 用不等式求最值。即化为， g（x） 恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数的单调性。 例：求函数的值域。解：令，则 因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。 因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。所以，所求函数的值域为。 练习求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值 .（1）（2）（3）2已知，求函数的最大值 .； 3，求函数的最大值 .条件求最值

5、1. 若实数满足，则的最小值是 .分析： “和 ”到“积 ”是一个缩小的过程，而且定值，因此考虑利用均值定理求最小值， 解：都是正数，当时等号成立，由及得 即当时，的最小值是 6变式：若，求的最小值 .并求 x ， y 的值技巧六：整体代换 多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。 。 2：已知，且，求的最小值。错解：，且，故。错因： 解法中两次连用均值不等式， 在等号成立条件是， 在等号成立条件是即， 取等号的条件的不一致， 产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换 是否有误的一种方法。正解：，当且仅当时，上式等

6、号成立， 又，可得时， 。变式：（ 1）若且，求的最小值(2)已知且，求的最小值技巧七已知x, y为正实数，且 x2 + = 1，求x的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab同时还应化简中 y2 前面的系数为，x= x = x 下面将x，分别看成两个因式：x =即 x = x 0 得，0v bv 15令 t = b+1, 1 v t v 16, ab= = - 2 (t + )+ 34t + 2= 8abw 18ay当且仅当t = 4,即b = 3, a = 6时，等号成立。法二：由已知得： 30- ab= a2b a 2 b2 30- a b2令 u =则 u22u-30

7、w 0,- 5w uw3w 3, abw 18, y点评：本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知不等式出发求得的范围，关键 是寻找到之间的关系,由此想到不等式,这样将已知条件转换为含的不等式,进而解得的范围.变式：1.已知a0, b0, ab- (a+ b) = 1,求a+ b的最小值。2. 若直角三角形周长为 1,求它的面积最大值。技巧九、取平方5、已知x, y为正实数，3x+ 2y = 10,求函数 W = +的最值.解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，0, W2 = 3x + 2y+ 2 = 10+ 2出0)2 ()2 = 10+ (3x + 2y) = 2

8、0 Ww = 2变式 : 求函数的最大值。解析：注意到与的和为定值。又，所以当且仅当 =，即时取等号。故。 评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。 总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些 变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。应用二：利用均值不等式证明不等式1已知为两两不相等的实数，求证：1 正数 a, b, c 满足 a+ b + c= 1 求证：(1 a)(1 b)(1 c) 8abc例6 :已知a、b、c,且。求证：分析：不等式右边数字 8,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘,又,可由此变形入手。解： a、 b、