04-2转动定律(新)

1、F f a 0 A G R 0 0 日常生活经验告诉我们日常生活经验告诉我们：开关门的时候开关门的时候，门转动得快慢门转动得快慢，不不 仅与作用力的大小有关仅与作用力的大小有关，还和力的作用点到门轴的距离有关还和力的作用点到门轴的距离有关 ，并且与力的方向有关并且与力的方向有关。表征表征力对物体转动力对物体转动运动的作用称为运动的作用称为 力矩力矩。描述物体转动运动中描述物体转动运动中力矩转动惯性力矩转动惯性以及以及角加速度角加速度的关的关 系规律系规律：转动定律转动定律（体现转动物体转动的牛顿第二定律体现转动物体转动的牛顿第二定律） 力矩力矩Moment of force 转动惯量转动惯量M

2、oment of inertia 转动定律转动定律law of running 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量 刚体定轴转动的动力学刚体定轴转动的动力学： 一一. . 力矩力矩 是是矢量矢量 力矩物理符号力矩物理符号： M 物理单位物理单位： 牛顿米（Nm） 研究刚体获得角加速度的原因和刚研究刚体获得角加速度的原因和刚 体在转动过程中所遵循的牛顿第二体在转动过程中所遵循的牛顿第二 定律定律 转动定律转动定律。 要使一个刚体进行绕轴转动要使一个刚体进行绕轴转动，光有外力的光有外力的 大小还不行大小还不行，必须注意到外力的作用点的必须注意到外力的作用点的 位置和力的方向位置和

3、力的方向，即必须要有外力矩即必须要有外力矩。 F =Md 中学里的概念中学里的概念：力矩力矩 力力力臂力臂 1. 力在转动平面内力在转动平面内： 转动中心到力的作用转动中心到力的作用 线的线的垂直垂直距离距离。 0 rF cos F sinF 力在转动平面内力在转动平面内 进行分解为进行分解为切向切向 分力分力和和法向分力法向分力 sin=FFt cos=FF n 经验告诉我们只有经验告诉我们只有 切向分力切向分力对物体的对物体的 转动效应有作用转动效应有作用。 =MFrsin 其力矩效果其力矩效果 1. 力在转动平面内力在转动平面内： M 0 rF cos F sinF =MFrsin 力矩

4、的量值力矩的量值 力矩的方向判断力矩的方向判断 右手螺旋前进法则右手螺旋前进法则 F r 力矩的矢量式力矩的矢量式： r=M F 力矩量值的一般书写力矩量值的一般书写： =MFrsin（） r F 、 2. 力不在转动平面内力不在转动平面内: : 0 r F 2 F 1 F 力矩的矢量式力矩的矢量式 r=M F r=M F =r ( )F1+F2 =r F1+r F2 只能引起轴的变形只能引起轴的变形，而对物体而对物体 的转动效应无贡献的转动效应无贡献。 在定轴转动问题中在定轴转动问题中，如不讨论轴上受力如不讨论轴上受力，所考虑的所考虑的 力矩是指力在转动平面内的分力对转轴的力矩力矩是指力在转

5、动平面内的分力对转轴的力矩。 如果多个外力同时作用在一个刚体上如果多个外力同时作用在一个刚体上，（在此列在此列 举三个外力举三个外力）则它们的则它们的合外力矩合外力矩情况如何呢情况如何呢？ z 0 r2 r1 r3 F1 F3 F 2 3 2 1 F1r1 sin 1 当刚体是由当刚体是由n个质点所组成个质点所组成，它们之间内力矩情况是它们之间内力矩情况是: : 当当 M 0，合力矩的方向沿合力矩的方向沿z 轴正方向轴正方向。 当当 M 0，合力矩的方向沿合力矩的方向沿z 轴负方向轴负方向。 MF1r1sinF2r2sin1 23 F3r3sin 同理同理：外力外力F2 .F3也能也能 进行矢

6、量的分解进行矢量的分解，它它 们的合外力矩为们的合外力矩为： 外力外力F1在转动平面内进行分在转动平面内进行分 解解，切向分力矩切向分力矩 对转动效果有贡献对转动效果有贡献。 sinr F11 当刚体是由当刚体是由n 个质点个质点 所组成所组成，它们之间内它们之间内 力矩情况是力矩情况是: : z 0 r2 r1 r3 2 1 F12 F21 作为一个系统作为一个系统， 是一对内力是一对内力，它们大小相等它们大小相等、方向相方向相 反作用在一条直线上反作用在一条直线上。 F 12F21 与与 F 21F12 它们之间内力矩情况是它们之间内力矩情况是: :MM12M21 F12r1sinF21r

7、2sin = 1 20 刚体各质点之间的作用力刚体各质点之间的作用力 对转轴的合内力矩等于零对转轴的合内力矩等于零M M0 i 例题例题：有一根均匀质量为有一根均匀质量为m6kg 的细棒长度是的细棒长度是60cm等距等距 离的穿有四个小球离的穿有四个小球，它们的质量分别为它们的质量分别为m12kg、m23kg、 m34kg、m45kg。问问：支撑在这个装置中的哪一点上支撑在这个装置中的哪一点上，才才 能使它保持静止平衡能使它保持静止平衡？ m4 60cm m 20cm m3m1m2 解解：这类题目用力矩平这类题目用力矩平 衡的方法就容易多了衡的方法就容易多了。 A B 画出各个小球的重力线画出

8、各个小球的重力线： 设设：左端最小球处为左端最小球处为A， 右端最大球处为右端最大球处为B 并设并设：整个装置的支点整个装置的支点在在 离细棒中心处为离细棒中心处为x 地方地方 x30cm 2kg3kg4kg5kg 由的力矩定义由的力矩定义 r=M F 可列出下列方程可列出下列方程 由的力矩定义由的力矩定义r =MF 可列出下列方程可列出下列方程 点支点支应设在离应设在离A 端端35cm处处 才能使该装置静止平衡才能使该装置静止平衡。 6x2 （30 x） 3+（3020）x m4 60cm m 20cm m3m1m2AB x30cm 2kg3kg4kg5kg 6kg 4 （10 x） 5 （

9、30 x） 20 x100 x5 支点支点左右左右 力矩量值相力矩量值相 等装置平衡等装置平衡 二二. . 转动定律转动定律 0 riFii 0 0 f i ji mi i F 外力外力 i f 内力内力 Ff ii sinsin+=m atj ii ii 切向分力切向分力： Ff ii coscos-=m rj ii ii - 2 法向分力法向分力： F f ii coscos=m rj ii ii -2（） 负号说明与法向负号说明与法向 加速度的方向相反加速度的方向相反 研究刚体受外力矩作用时研究刚体受外力矩作用时，外力矩外力矩与与角加速度角加速度 之间的关系之间的关系：刚体转动中的牛顿第

10、二定律刚体转动中的牛顿第二定律。 i 对 对 m 质点进行质点进行 牛顿第二定律有牛顿第二定律有： 受力分析并应用受力分析并应用 F f ii sinsin+=m atj ii ii 切向分力切向分力： Ff ii coscos-=m rj ii ii - 2 法向分力法向分力： 法向分力是沿着矢径方向的法向分力是沿着矢径方向的 因此对刚体的转动效应无贡献因此对刚体的转动效应无贡献 对切向分力进行数学处理对切向分力进行数学处理：两边两边ri Ff ii sinsin+=m atj ii ii ririri Ff ii sinsin+=m atj ii ii ririri 内力矩相互抵内力矩相互

11、抵 消内力矩为消内力矩为0 外力矩之和外力矩之和 M J 0 riFii 0 0 f i ji mi Ff ii sinsin+=m atj ii ii ririri 内力矩相互抵内力矩相互抵 消内力矩为消内力矩为0 外力矩之和外力矩之和 M J Ff ii sinsin+=m atj ii ii ririri a=r =m iri 2 J =MJ 上式就是描述定轴转动的刚体上式就是描述定轴转动的刚体，外力矩和角外力矩和角 加速度之间关系的加速度之间关系的: : 转动定律转动定律 为一个新的物理量为一个新的物理量 m iri 2 转动惯量转动惯量 J 三. 转动惯量转动惯量 J： =MJ 转动

12、定律转动定律的物理意义的物理意义 刚体在绕定轴转动时刚体在绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受刚体的角加速度与它所受 的合外力矩成的合外力矩成正比正比，与刚体的转动惯量成与刚体的转动惯量成反比反比。 描述刚体在转动中转动惯性大小的量度描述刚体在转动中转动惯性大小的量度 单位单位 ： Kg.m2 为一个新的物理量为一个新的物理量 m iri 2 当质量连续当质量连续（可导可导）分布时分布时： 当物体几何形状当物体几何形状、质量为规则质量为规则 时时，那么其转动惯量可写作那么其转动惯量可写作： r=m 2 J r=m 2 J d =MJ 当以当以相同的力矩相同的力矩分别作用在分别作用在 两个绕定轴

13、转动的刚体时两个绕定轴转动的刚体时 转动惯量大的刚体获转动惯量大的刚体获 得的角加速度小得的角加速度小, ,角速度改角速度改 变得慢变得慢，保持原有转动状态保持原有转动状态 的惯性大的惯性大。 转动惯量小的刚体获转动惯量小的刚体获 得的角加速度大得的角加速度大, ,角速度改角速度改 变得快变得快 ，保持原有转动状保持原有转动状 态的惯性小态的惯性小。 （1）刚体的形状刚体的形状（2）质量分布质量分布（3）转轴的位置转轴的位置 决定转动惯量的决定转动惯量的三个要素三个要素： 见教材见教材P95 （1）刚体的形状刚体的形状（2）质量分布质量分布（3）转轴的位置转轴的位置 决定转动惯量的决定转动惯量

14、的三个要素三个要素： 0 0 质量相同质量相同，但质量分布不同但质量分布不同 转动惯量转动惯量J 也不同也不同。 转轴的位置不同转轴的位置不同， 转动惯量转动惯量J 也不同也不同。 r 球壳球壳 实心球体实心球体 圆环圆环 几种有规则刚体的转动惯量几种有规则刚体的转动惯量 r2 圆筒圆筒 r1 1 2 m+(r1 2 r2 2 ) 1 2 mr 2 2 5 mr 2 2 3 mr 2 r r 同一个物体对不同转同一个物体对不同转 轴转动惯量的不相同轴转动惯量的不相同 0 0 ml 1 12 2 J= 0 0 ml 1 3 2 J= 0 1 4 mr 2 J= 0 r 0 1 2 mr 2 J=

15、 0 r 转动惯量的计算转动惯量的计算 例题例题：如图所示如图所示 、求求：整个装置整个装置 绕绕A点转动时的转动惯量点转动时的转动惯量。 A 4m 2m 3m m L L L L 解解：根据转动惯量计算的定义根据转动惯量计算的定义 r=m 2 J r=m 2 J d 本题不必用积分的形式求解本题不必用积分的形式求解 分别在分别在3m和和4m到到A点点 作辅助线得到作辅助线得到r 2L J=3m2L （） 2 2m 2L（） 2 4m 2L （） 2 =22mL 2 例题例题：求质量为求质量为m 、长度为长度为 L 的均质细杆绕的均质细杆绕00 轴旋转的转动惯量轴旋转的转动惯量。 0 0 dx

16、 x L 解解：根据转动惯量计算的定义根据转动惯量计算的定义 r=m 2 J r=m 2 J d 本题必须用积分的形式求解本题必须用积分的形式求解 m =dmdx L 取长度元取长度元dx，进而求出质量元进而求出质量元dm。 线密度：单位线密度：单位 长度的质量长度的质量 m =dJdx L dmx 2 =x 2 J = dJ = m dx L x 2 0 L mL 1 3 2 = 此结果作为经验此结果作为经验 公式牢记公式牢记！ 例题例题：求质量为求质量为m 、半径为半径为R 的均质的均质 圆盘绕圆盘绕oo轴旋转的转动惯量轴旋转的转动惯量。 0 m r R 0 dr 解解：根据转动惯量计算的

17、定义根据转动惯量计算的定义 r=m 2 J d 设单位面积的质量为设单位面积的质量为（面密度面密度） R = m 2 dm=2 rdr =2 rdr R m 2= 2 rdr R m 2 r=m 2 J d=r 2 2 rdr R m 2 0 R = 2 R m 2 r 4 4 R mR 1 2 2 = 此结果作为经验此结果作为经验 公式牢记！公式牢记！ 例题例题：一均质圆形薄板绕一条以其直径为轴一均质圆形薄板绕一条以其直径为轴 转动转动，求其转动惯量求其转动惯量。已知已知: : r , , m 。 0 0 r x y 解解: :建立直角坐标建立直角坐标，并添设辅助线并添设辅助线： dy x

18、y j d=mdS 2x dy = rcosj 2rcosjdj= =r cosj2dj 22 rcos=xj rsin=yj rcos=dyjdj dS= 2x dy r = m 2 () 2 d=J 1 12 dm 2x =r cosj2dj 22 12 )( 1 ( 2rcos j) 2 rcos=xj rsin=yj rcos=dyjdj dS= 2x dy r = m 2 0 0 r x y dy x y j = 2 3r cos jdj 44 () 2 d=J 1 12 dm 2x= r cosj2 dj 2 2 12 )( 1 ( 2rcos j) 2 J= 2 3r 4 cos

19、jdj 4 2 2 = 2 3r 4 cosj 2 2 sinj 5 8 1 4 sinj 3 cosj3 8 j = 2 3 r 4 8 3= 2 4 1 mr 例题例题：计算刚体对垂直于纸面的计算刚体对垂直于纸面的0 轴的转动惯量轴的转动惯量（1）半径为半径为R 、质量为质量为M 的均匀圆盘的均匀圆盘，连接一根长为连接一根长为L、质量为质量为m 的均匀细的均匀细 棒棒（2）两根细棒长度分别为两根细棒长度分别为0.5L、质量分别为质量分别为m1、m2，连接连接 在一起在一起。 R o o M L m mm o 12 0.5L0.5L 细棒和圆盘构成了系统由转细棒和圆盘构成了系统由转 动惯量的

20、可加性动惯量的可加性，转动惯量转动惯量 是两部分所组成是两部分所组成。 转动惯量的大小与转轴的转动惯量的大小与转轴的 位置有关位置有关，有平行轴定理有平行轴定理： J0J细棒 细棒 J圆盘 圆盘 J 圆盘圆盘 1 2 MR 2 M（ ） LR 2 J细棒 细棒 1 3 mL 2 R o o M L m J 圆盘圆盘 1 2 MR 2 M（ ） LR 2 J细棒 细棒 1 3 mL 2 mm o 12 0.5L0.5L 同理同理： J 0 1 3 mL 2 1 2 MR 2 M（ ） LR 2 J0J杆 杆1J 杆杆2 J杆 杆1 1 3 m L 2 1 2 （） 1 12 m L 2 2 2

21、（）J杆 杆2 m2 2 （ L 4 L 2 ） J0J杆 杆1J 杆杆2 1 12 m L 2 1 7 12 m L 2 2 转动定律和牛顿第二定律对照转动定律和牛顿第二定律对照 =Fma d dt v =m= d dt r m 2 2 =MJa a d dt =J d dt J 2 = 2 合外力合外力。使质点使质点 运动状态改变运动状态改变。 合外力矩合外力矩。使刚体使刚体 转动状态发生改变转动状态发生改变 质量质量。质点运动质点运动 惯性大小的量度惯性大小的量度 转动惯量转动惯量。刚体刚体 转动惯性大小的转动惯性大小的 量度量度。三个要素三个要素 加速度加速度。质质 点运动速度点运动速

22、度 改变快慢的改变快慢的 一个物理量一个物理量 角加速度转角加速度转 动角速度改动角速度改 变快慢的一变快慢的一 个物理量个物理量。 转动定律转动定律 牛顿第二定律牛顿第二定律 应用转动定律的解题四步骤应用转动定律的解题四步骤 特别要注意特别要注意：角量和线量的关系及转换角量和线量的关系及转换 例题例题： 在图示的装置中滑轮可视作均质圆盘其半径在图示的装置中滑轮可视作均质圆盘其半径 为为r、质量为质量为m 、滑轮两边悬挂重物质量分别为滑轮两边悬挂重物质量分别为m1、m2 试求试求 ：重物的加速度及绳子的张力重物的加速度及绳子的张力。 1. 确定研究对象选择确定研究对象选择 参照系建立坐标参照系

23、建立坐标 2.用隔离法画出各个用隔离法画出各个 物体受力分析图物体受力分析图 3.按刚体转动定律列按刚体转动定律列 出相应的解题方程出相应的解题方程。 4.代入数字代入数字、进行进行 计算计算，统一单位统一单位。 例题例题： 在图示的装置中滑轮可视作均质圆盘其半径在图示的装置中滑轮可视作均质圆盘其半径 为为r、质量为质量为m 、滑轮两边悬挂重物质量分别为滑轮两边悬挂重物质量分别为m1、m2 试试 求求 ：重物的加速度及绳子的张力重物的加速度及绳子的张力。 已知已知：m2m1绳子紧绷绳子紧绷、滑轮滑轮 轴心等摩擦力不计轴心等摩擦力不计 并对各个物体进行受力并对各个物体进行受力 分析分析。画出受力

24、分析图画出受力分析图 m m1 r m2 o T2 a m2 gm2 am1 T1 gm1 m a r o a T1T2 研究对象研究对象： m2、m1、滑轮滑轮。 m m1 r m2 o T2 a m2 gm2 am1 T1 gm1 m a r o a T1T2 1 = J 2 2 mr 切向加速度切向加速度 与滑轮角加与滑轮角加 速度的关系速度的关系 根据定律根据定律 列方程列方程： 转动定律转动定律 MJa gm 2=m2a -T2 T1- gm 1 =m1a T2r-T1r=Ja a=ra 记忆记忆 背出背出 牛顿第二定律牛顿第二定律 a= （）m2-m 1 g （m1+m2+ m 2

25、 )r a= （）m2-m 1 g （m1+m2+ m 2 ) m 1 T1= m （m1+m2+ 2 ) （ 2m 2+ m 2 )g m 2 T2= m （m1+m2+ 2 ) （ 2m 1+ m 2 )g m m1 r m2 o 解联立方解联立方 程可得程可得： 1 = J 2 2 mr gm 2=m2a -T2 T1- gm 1 =m1a T2r-T1r=Ja a=ra 以后以后 aAaB（A）= （B） （D）开始时开始时 aAaB （C）aAaB aAaB= aAaBM A B R F 00 在做选择题时千万不能无根据地猜测在做选择题时千万不能无根据地猜测，可以可以 用排除法用排除

26、法，去除不正确的答案去除不正确的答案。但本题是要但本题是要 通过适当的计算通过适当的计算，才有正确的结果才有正确的结果。 对对A进行进行受受 力分析力分析再由再由 转动定律列转动定律列 出方程求解出方程求解 例题例题：如图所示如图所示，A、B 为两个相同的绕着轻绳的定滑轮为两个相同的绕着轻绳的定滑轮。A 滑轮挂一质量为滑轮挂一质量为M 的物体的物体，B 滑轮受拉力滑轮受拉力F，而且而且FMg ， 设设： A、B 两个滑轮的角加速度分别为两个滑轮的角加速度分别为aBaA 不计滑轮轴的摩擦不计滑轮轴的摩擦，请选择下列正确的答案请选择下列正确的答案。 和和 M A B R F 00 对对A进行进行受

27、力分析受力分析再由再由 转动定律转动定律列出方程求解列出方程求解 Mg T 对对A： MgTMa TRJaA JaA Mg R MRaA J aAMg R MR （） 2 aA JMR 2 MgR 对对B：FRJaB aB FR J MgR J 两个结果两个结果，分子相同分子相同，而分母而分母 JMR 2 J 选择选择 （C）aAaB 例题例题：有半径为有半径为R 、质量为质量为m的均质圆盘的均质圆盘，以角速度以角速度 绕盘心绕盘心 轴转动轴转动，现有一刹车片以正压力现有一刹车片以正压力 FN 均匀地作用在该圆盘上均匀地作用在该圆盘上，从从 而使其转速逐渐变慢而使其转速逐渐变慢，已知他们之间的

28、摩擦系数为已知他们之间的摩擦系数为 ， 求求： （1）刹车片对圆盘的摩擦力矩刹车片对圆盘的摩擦力矩M （2）圆盘的角加速度圆盘的角加速度 （3）经过多长时间圆盘停止转动经过多长时间圆盘停止转动？ R 0 解解： 由的力矩定义由的力矩定义r =M F 摩擦力矩元摩擦力矩元dM =r dF f 圆盘单位面积上所圆盘单位面积上所 受的压力为受的压力为： FN R 2 在圆盘上取面积元在圆盘上取面积元dS dr dl R dr dl 0 该面积元所受的压力为该面积元所受的压力为： dFf dl N FN R 2dr dFf 摩擦力矩元摩擦力矩元dM =r dF f dFf dl N FN R 2dr

29、dM=dl FN R 2drr R 0 R dr dl 0 dFf r 刹车片对距轴刹车片对距轴0为为：rrdr 的圆环作用的摩擦力矩为的圆环作用的摩擦力矩为： dl FN R 2drrdM= 0 2r 0 2r = dl FN R 2drr = FN R 2drr2 2 = FN R 2drr 2 2 0 刹车片对整个刹车片对整个 圆盘的摩擦力圆盘的摩擦力 矩为矩为： M= R dM （1）刹车片对圆盘的摩擦力矩刹车片对圆盘的摩擦力矩M： R 0 R dr dl 0 dFf r 刹车片对整个圆盘的摩擦力矩为刹车片对整个圆盘的摩擦力矩为： 0 M= R dM= FN R 2drr 2 2 0

30、R = 2 3 R FN （2）圆盘的角加速度圆盘的角加速度： = M J 由转动定律由转动定律： = M J = 2 3 R FN 1 2 R m 2 4 3R FN = m （3）经过多长时间圆盘停止转动经过多长时间圆盘停止转动？由由： = t t = t= 4 3R F N m 本题结束本题结束 k 根据已知条件根据已知条件 M 2 转动定律转动定律 MaJ 解解：此类题目是以转动定律为基础此类题目是以转动定律为基础 进行数学上的求导或积分运算进行数学上的求导或积分运算。 d J dt 2 k 例题例题：转动着的飞轮转动着的飞轮，其转动惯量为其转动惯量为J ，在在t0时时，角速度为角速度

31、为 0 ，此后经历制动过程此后经历制动过程。阻力矩阻力矩M 的大小与角速度的大小与角速度 的平的平 方成正比方成正比，比例系数是比例系数是k（k 0的常数的常数） （1）从开始制动从开始制动 到到 所经过的时间为多少所经过的时间为多少？ 3 0 （2）此飞轮的角加速度是多少此飞轮的角加速度是多少？ （1） 从开始制动到从开始制动到 3 o 所经过的时间为多少所经过的时间为多少？ d J dt 2 k d J dt 2 k 1 J t k 0 0 3 0 t J2 k k 根据已知条件根据已知条件 M 2 转动定律转动定律 MaJ 从开始制动到从开始制动到 3 o 所经过所经过 的时间的时间。

32、（2）此飞轮的角加速度是多少此飞轮的角加速度是多少？ 转动定律转动定律 MaJ k 根据已知条件根据已知条件 M 2 2 Jak（） 3 o a 9 o J k 2 本题结束本题结束 例题例题：一根长为一根长为L 质量为质量为m 的匀质细棒在重力的作用下的匀质细棒在重力的作用下，由竖由竖 直位置绕转动轴直位置绕转动轴0点倒下点倒下，试计算细棒转到与竖直线成试计算细棒转到与竖直线成角时角时 的角加速度和角速度的角加速度和角速度。 （教材P98例题3） L L 2 0 分析分析：细棒在绕转动轴细棒在绕转动轴0点倒下时点倒下时，受到重力受到重力 和轴心对它的约束力和轴心对它的约束力，画出受力分析图画

33、出受力分析图： N mg 轴心对棒的约束力轴心对棒的约束力N 是通过轴心是通过轴心 的的，所以它的力矩为零所以它的力矩为零。 对重力分解对重力分解： mg mgsin mgcos 此分力此分力 力矩为零力矩为零 重力的力矩重力的力矩 2 1 mgL sin M 转动定律转动定律 MaJ 由由和和 mL 1 3 2 =J L L 2 0 N mg 对重力分解对重力分解： mg mgsin mgcos 此分力此分力 力矩为零力矩为零 重力的力矩重力的力矩 2 1 mgL sin M 转动定律转动定律 MaJ 由由和和 mL 1 3 2 =J 2 1 mgLsinmL 1 3 2 =a sina L

34、 g 得得:3 2 细棒转到与竖直线成细棒转到与竖直线成 角时的角时的角加速度角加速度 L L 2 0 N mg 数学处理数学处理: : sina L g 3 2 d dt sina L g 3 2 d dt d d dsin L g 3 2 d dsin L g 3 2 d 00 L g 3 （）1cos 本题结束本题结束 细棒转到与竖直线成细棒转到与竖直线成 角时的角时的角速度角速度 例题例题：有一均质细直杆在一个粗糙的水平面上可绕一条通过其有一均质细直杆在一个粗糙的水平面上可绕一条通过其 一端的竖直轴旋转一端的竖直轴旋转，它与平面之间的摩擦系数为它与平面之间的摩擦系数为，设杆子质设杆子质

35、 量为量为m 、长度为长度为L ，其初始转速为其初始转速为0 试求试求：当它的转速为原当它的转速为原 来的一半时所用的时间来的一半时所用的时间。 L 0 0 0 0 本题是在摩擦力矩作用下细棒作减本题是在摩擦力矩作用下细棒作减 速旋转运动的问题速旋转运动的问题，棒在粗糙水平棒在粗糙水平 面旋转运动时面旋转运动时，每一段长度上摩擦每一段长度上摩擦 力矩不同力矩不同，所以要加以积分考虑所以要加以积分考虑。 0 0 dx x L m =dmdx L 取长度元取长度元dx，进而求出质量元进而求出质量元dm 分析分析： L 0 0 0 0 0 0dx x L m =dmdx L 质量元质量元： gm=d

36、fdmm N = 摩擦力元摩擦力元： =dMdfx=x gdm m =xgm m dx L 摩擦力具有的力矩元摩擦力具有的力矩元： M=gm m L 0 Lxdx = 1 2 g m m L 摩擦力力矩摩擦力力矩： 转动定律转动定律 MaJ 由由和和 mL 1 3 2 =J J d dt mL 1 3 2 = d dt 0 0 dx x L 转动定律转动定律 MaJ 由由和和 mL 1 3 2 =J J d dt mL 1 3 2 = d dt M=gm m L 0 Lxdx = 1 2 g m m L 摩擦力力矩摩擦力力矩 mL 1 3 2 = d dt 3 2 gm d= L dt 3 2

37、 gm d= L dt 0 t 0 0 2 0 0 dx x L L 0 0 0 0 3 2 gm d= L dt 0 t 0 0 2 3 2 gm = L t 0 2 0 3 gm t= L0 当它的转速为当它的转速为 原来的一半时原来的一半时 所用的时间所用的时间。 本题结束本题结束 例题例题：一圆柱体质量为一圆柱体质量为m、长为长为L、半径为半径为R，用两根轻软的用两根轻软的 绳子对称地绕在圆柱两端绳子对称地绕在圆柱两端，两绳的另一端分别系在天花板上两绳的另一端分别系在天花板上。 现将圆柱体从静止释放现将圆柱体从静止释放。 试试 求求： （1）它向下运动的线加速度它向下运动的线加速度 （

38、2）向下加速运动时向下加速运动时，两绳的张力两绳的张力。 L 解解：设系统做纯滚动设系统做纯滚动 受力分析后运用转动定律列方程受力分析后运用转动定律列方程 mg TT 2 2 1 + =( )R m 2 R ma a= 3 2 R g gm 2Tma C = -（1） aRJ= gm （2） aR= gm 2 2 3 mR aR= gm 2 2 3 R ma= 3 2 R g L mg TT =aCRag= 3 2 gm 2Tma C = -（1） gm 2Tm=- g 3 2 T=mg 6 1 向下运动的线加速度向下运动的线加速度 向下加速运动时向下加速运动时，两绳的张力两绳的张力。 本题结束本题结束 例题例题：有一高为有一高为h ，宽为宽为b ，质量为质量为m 的的均质平板可绕均质平板可绕 一条通过其一端的竖直轴旋转一条通过其一端的竖直轴旋转，板上面元所受到的阻力和板上面元所受到的阻力和 面元的大小及面元的速度平方乘积成正比面元的大小及面元的速度平方乘