2019数列的概念与等差数列错解剖析.

1、数列的概念与等差数列错解剖析例1.数列an的前n项和为Sn = n2 -2n - 5，试判断an是否为等差数列解：当 n = 1 时，a = S1 = 4 ；当 n_2 时，an=Sn-Snj = (n -2n，5)24, n = 1(n 1)2 -2(n1)+5 = 2n 3,由于a4不适合上式，所以a显然,2n - 3, n 启 2an不是等差数列。易错点分析：本题存在错误是根据 an与Sn的关系得到an =2 n-3，就推出数列an是等比数列，而数列an中的n是从n= 1开始取的正整数，当n= 1时，a Si = 4,不适合a.=2n 3.由于a1 , aa1 = 1 4 = - 3 =

2、 2，所以此数列不是等差数列。所以使用“ an二Sn - Sn”时要注意“ n 一 2”这个前提条件；再就是需要检验“a S1 ”是否符合求出的an.例2 已知数列an, 6=1,且an卑a. = n(n Nj，数列an的通项公式 解：an 1 -an = n(n Z ),(1 n -1)2(n -1), an易错点分析：有些同学看见an 1 -an二n(nN )的结构就联想到an1-an=d(n，Z ),没有意识到等差数列定义中要求后项减前项是同一个常数这一条件，只是记住了公式的外形，而没有领会公式内在的本质要求，所以造成了把变量当成常量的错误即出现这样错误：an 1 -an二n(n N )

3、 a an是以1为首项，以n为公差的等差数列，则an =1 (n1)n 二 n2n 1.例 3在等差数列an中，an=m, am = n(mn)，则 amt =.解：d二 am_二 n-1，aam n二 an(mn _ n)d = m(_m)二 0 .m - nm - n于是有些同学就“想当然”认为也有易错点分析：受等差数列性质：“若m n = p q，则有am a ap aq ”的“启发”；amam - an性质，随意构造结论，而导致此题的错解.即出现这样错误：am ,n = am a m n .例4在等差数列a.中，a. =3n 31，记bn =务，则数列bj的前30项和是.1解：an =

4、3n 一31 0，n 10-，数列的前10项是负值，从第11项起开始为正数。所以3易错点分析：本题常见错误是把数列bj也看成等差数列.又bn=an| |3n 31 ,二b1 =28 , b30 =59 .数列bj 的前 30305 .这里错2 2把in 也当作等差数列，实际上解此题的关键是搞清寺J绝对值符号内的的正负，易知当n 10时，an 11时，an 0 所以分成两部分分别求和即可。S7 n 十 2例5.已知Sn, Tn分别为等差数列an 0前n项的和，且=,那么Tnn + 3a5b5解:法一：设 Sn =(7n 2)nk, Tn = (n 3)nk , 则有主= 185k20k 止b5

5、T5-T440k-28k12S9 _ 65T912a _ 2a5 _ a1 a9b5 2b5 b1 b9易错点分析：本题常见错解是：由题意设Sn = (7 n 2)k, Tn = (n 3)k ,则有aS 5 - S 4 3 7k - 3 0:二右F 8k二7 .其解题过程看上去似乎步步有理，原因就是对等差数列前n项和公式没有理解透彻.错解中设Sn =(7n 2)k, Tn =(n - 3)k ,即将等差数列前n项的和 看成了是关于n的一次函数，显然是错误的.事实上，在等差数列中 Sn二na, n(n ,22即Sn二An Bn，它不一定是n的一次函数.例6.在数列%中， =5 n-105，则当n=时，Sn取最小值.解：根据数列的通项公式知，数列是等差数列，且是递增数列，由an =5n-105 0，解得n 21.即该数列从第 22项起数列各项为整数，由于 a21 =0，所以Sn取得最小值时，n为 2