常见线性递推数列通项的求法

1、文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑欢迎下载支持常见线性递推数列通项的求法对于由递推式所确定的数列通项公式问题，往往将递推关系式变形转化为我们熟知的等差数列或等比数列，从而使问题简单明了。这类问题是高考数列命题的热点题型，下面介绍常见线性递推数列求通项的 基本求法。一、一阶递推数列1、an 1pan q 型5形如an 1pan q( p 1且q为不等于0的常数) 的数列，可令 an 1 x p(an x)即an 1pan (p 1)x与an 1 pan q比较得x 9 ，从而构造一个以 印 q 为首项以p为公p 1p 1比的等比数列 an -p 1例1.在数列an中，a11,an 1

2、3 an1,求 an.解：在an 13 an1的两边同加待定数，得 an 13 an 13 (an +(1) /3),令(1),得1an11 _3 (an1-).数列 an丄是公比为3的等比数列.J322221 1亠n 11n 1-an3, a1 n-(31).2 222、a n 1c an gn型(1) c1时：解题思路:利用累差迭加法，将anan1g(n 1),an 1an 2 =g(n 2)，a2a1 = g(1),各式相加，正负抵消，即得an例2在数列an中，a10 且 an1an2n1，求通项an.解：依题意得，a10 , a2 a11,a3a23,anan 12n 112n3，把以

3、上各式相加，得【评注】由递推关系得,若 g n是-常数，即第一种类型，直接可得是-一等差数列；若an 1 an 非常数，而是关于n的一个解析式，可以肯定数列an不是等差数列，将递推式中的n分别用n 1,n 2,4,3,2代入得n 1个等式相加，目的是为了能使左边相互抵消得a.,而右边往往可以转化为一个或几个特殊数列的和。(2)C 1 时：例3 .在数列an中，a11,an13ain n2,求通项an.解：作新数列bn，使bnan(An2BnC),即 anbn(An2 BnC),(A,B, C为待定常数)。由an 13ann2可得:bn1A(n1)2B(n 1)C = 3(bn An2BnC)2

4、n ,所以，bn 13bn(2A1)n2(2B2A) n2C AB ,设2A+仁0,2B-2A=0 ,2C-A-B=0，可得：A=B=C=-1/2 ,bn3bn，bi文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑欢迎下载支持. a1 (A AB C) 5，所以bn是公比为3的等比数列，25 n 1bn32当一个数列是一阶递推或二阶递推齐次数列时，可通过线性代换把问题化为等差或等比数列，本题是an 23n1丄(n2 n 1)。2AlZ22设 an 1A(n 1) B(n 1) C=3an (An Bn C)，用待定系数法求 A、B、C 即可。【评注】求递推数列的通项的主要思路是通过转化，构造新的

5、熟知数列，使问题化陌生为熟悉我们要根据不同的递推关系式，采取不同的变形手段，从而达到转化的目的例4.在数列an中,a11,an1 3an 2n,求通项 a. 解：设an 1 k3(ank 2n)，a. 1 3a. k 2n,又 a. 1 3an 2n, k 1,3(an2n),2an 2 是以3为首项，3为公比的等比数列,an2n3n 13n, an3n 2n。f(n)an型解题思路:利用累乘法anf n 1 dan 22,a2各式相乘得，aianan 1an 1an 2屯f na1f 1 ,即得an.例5.在数列an中,a1an，求通项an an解：由条件等式也annNana2【评注】此题亦

6、可构造特殊的数列，由以1为公比的等比数列,nana1.qan 1ana11annan 1an得,n 1 an 11，则数列nannan是以a1为首项,1 得 an4、Sn与an关系型(求差法)数列有形如f(sn,sn1) g(an)的关系(非递推关系)，可考虑用求差Sn Sn 1an后，再用其它初等方法求得an -例6. ( 94年全国高考试题)设an是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的自然数 n,an与2的等差中项等于 Sn与2的等比中项:(1 )写出数列an的前3项； (2)求数列an的通项公式出题者的意图是：通过(1)问求出数列前 3项再猜想出通项公式；(2)再用数学归纳法

7、证明猜想正 确实际上用求差法求通项公式更简单解：(1)略a 2.(2)由条件，得-2Sn，即(an 2)28 Sn，,22 2 2(an 1 2)8 Sm，得 8an (an 2)(an ! 2),22即(an 2)(an 1 2)0. 分解因式得(an an 1)(an an 1 4) 0.对于 n N,an 0,. an an 14. an是公差为4的等差数列，5、a n 1a an b ( a,c,d为非零常数)c an d型(1) b1d0时，上式可化为：1d111，即转化为第一种类型可求解。an 1Canan例6.设数列an满足a12, an 1an 3(nN),求 an.解：原条件

8、变形为an 1 an 3 an 11 1an.两边同乘以1,得13 an an 1an111 1 1-3(-)Jan2an 12an(2)b0时，等式两边冋加参数a an b则 an 1 t - t (ac an d1c n 12-3,- ann 122 31t ,bdtanCt)aCtC andK -jx令t 片，即 Ct2 (a d)t b 0记此方程的两根为t1,t2,(1 ) 若t1 t2，将t1,t2分别代入式可得an 1 h(aCt1)ant1d，ant2an 1 t2 (aCt2)c an dC an以上两式相除得an 1t1aCt1ant1an 1t2aCt2 ant2文档来源

9、为：从网络收集整理.word版本可编辑欢迎下载支持77于是得到an t1为等比数列，其公比为an t2a ct1a ct2 数列ana t的通项an可由一1an t2a1 t1a1 t2a ct1) nct2(a1求得;(2)若t1 t2，将t打代入式可得an 1 t1(aCti)an t1c an d考虑到上式结构特点,两边取倒数得1 1an 1 b act1c(anant1) d ct1t1由于ti t2时方程的两根满足2tict1d ct1于是式可变形为1a n 1t1ca ct11a nt11an t1为等差数列，其公差为ca ct11数列an的通项an可由a nt11) 求得.a c

10、t1这样，利用上述方法，我们可以把分式线性递推数列转化为等比数列或等差数列，从而求得其通项。a a b如果我们引入分式线性递推数列an 1n ( a,b,c,d R,c 0)的特征方程为 xc and3，即cx d2cx(d a)x b0，此特征方程的两根恰好是方程两根的相反数，于是我们又有如下结论:分式线性递推数列ana a*bc and(a,b,c,d R,c 0)，其特征方程为 xcx d，即2cx(d a)x b(1)若方程有两相异根Si、S2，则an S1成等比数列，其公比为皂旦anS2a cs2(2 )若方程有两等根S|S2 ,1成等差数列，其公差为anS1a C3例7、设数列an

11、满足a12, an2an解：对等式两端同加参数t得文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑欢迎下载支持5)an 1 t5an 42an2t 5an 7t 4 2t 2an7t 4an52L,令t2an 77t 4亍,解之可得t 1,2,代入an(2tan t2an得an 1an2an1,an 12an2,相除得7an 1an 2anan即aan是首项为弓1a114,公比为3的等比数列，an 1 an 2n,解得an3n 14 3n9二、二阶线性递推数列1 设递推公式为an 1pan2qan 1,其特征方程为xpxq即x2px q 0 ,(1)若方程有两相异根B，则 an c1 Anc2B

12、n(2)若方程有两等根 A B,则an (c1 nc2)An其中g、C2可由初始条件确定。很明显，如果将以上结论作为此类问题的统一解法直接呈现出来，学生是难以接受的，也是不负 责任的。下面我们结合求一阶线性递推数列的参数法，探讨上述结论的来源”。设 an 1 tan s(an tan 1)，则 an 1 (s t)an Stan 1 ,令s t p st q(*)(1)若方程组(*)有两组不同的解(s1 ,t1), (s2,t2)则an 1bansi(ant1 an 1 ),an 1t?anS2(ant2an 1 ),n 1由等比数列性质可得 an 1 t1an(a2 t1 a1)s1an 1

13、 t2ant1t2,由上两式消去an 1可得文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑欢迎下载支持19anSia?1i aina 2I2 ainS2 .S2 I2 1i特别地,若方程组（*）有一对共扼虚根r cosi sin,通过复数三角形式运算不难求得此时数列的通项公式为nan rCicosnc2 Sinn ,其中Ci、C2可由初始条件求出。(2)若方程组（* ）有两组相等的解1iS2t2，易证此时Siti，则an 1tianS an tian 12Si(an 1tian2）a?ti ai,an 1SiannSia：1i a i2Si，即annSi是等差数列,由等差数列性质可知annSi

14、aii.a1iai2Si所以aa naiSia 211ai2Si1i ai2Si.nnSi-这样,我们通过将递推数列转化为等比（差）数列的方法,求得二阶线性递推数列的通项，若将方程组（*）消去1 （或s ）即得s2ps q 0或12pt q 0,此方程的两根即为特征方程x2px q的两根，读者不难发现它们的结论是完全一致的，这正是特征方程法求递推数列通项公式的根源所在。例8.斐波那契数列aia21,an1 ananjn 2,3,），求通项公式an。解：此数列对应特征方程为解得x 2设此数列的通项公式为anCiJC2(15)n2由初始条件ai a21可知,Ci1Ci(-1 -525)215C2丁

15、1 5C2(Ci，解之得所以an(宁)n例9、已知数列ai 1, a?解：此数列对应特征方程为)2(1C21I 51，- 5 5、n 厂）。5,且 an 1 4an4an i(n2），求通项公式an。2 2x 4x 4即 x4x 40 ,解得 XiX22 ,设此数列的通项公式为an(Clnc2)2，由初始条件a11,a2 5,可知,(7 2?)：；，解之得C21434所以 an (3n 1) 2n 2 。例10、已知数列a10, a21,且 an 12an2an n 2)，求通项公式an。解：此数列对应特征方程为x2 2x2即x22x 20，解得 x 1 i .2Geos sin ), 44n

16、 cos-设此数列的通项公式为C2)n(GnC2S in 4由初始条件a10, a21,可知,(Cicos 才 c2 s in) 0222( .2) (c1 cosc2 sin)44，解之得1C2所以ancos)。4例 11、数列an中，a120,an 1an3n解：特征方程原递推式，B(n1)C Bn C3n321114an A ( 1)例12、已知数列an满足条件:解：特征方程x4-x3-x-1=0四根nan 1in2( i)54,求通项an.1,.齐次方程解anh)A (54得n*1)，设特解为anBnC代入3111A -24(1)a1=a2=1, a3=2, a4=4, (2)an=a

17、n-1+an-3+an-4( n4)求通项公式Q(1-5)通项公式1 雋54()n,由初值条件得21i2( i)1.515.21丨i)2.31丨2(i)3.41丨i)42(二 2 3(2)()3 3(2)J、5、43 (说明:5)2 (3 4(2)()44(2)4d特征根求通项公式实际包括平时所说anpan2 i702 i103 5103510an1 pan f(n) an 1pa“ qa“ 1 形式最后我们指出，上述结论在求一类数列通项公式时固然有用，但将递推数列转化为等比(等差)数列 的方法更为重要。如对于高阶线性递推数列和分式线性递推数列，我们也可借鉴前面的参数法，求得通项 公式。2、复

18、合数列构成等差、等比数列法数列有形如f(an 2, an 1 ,an) 0的关系，n 2,可把复合数列化为等差数列或等比数列，再用其它初等方法求得a例 13在数列an中，a12, a23, anan 12 an,求an.解：由条件an23 an 12 an ,an 2 an 12(an 1 an ),-an 2 an 1n 12再用多式相加法可得:ana2皿A2“ 1.数列有形如f(an 2, an 1 ,an) 0的关系,3、循环法 如果复合数列构不成等差、等比数列，有时可考虑构成循 环关系而求出an an 1 an,求 a1998.例 14.在数列an中，a1 1, a2 5,an解：由条

19、件 an 3an 2 a n 1(an即an 3an 7an 6an 3an ,即每间隔6 项循环一次.1998=6 X 333,a1998a64.三、数学归纳法例15 （全国高考题）设数列an满足an 1 a；na.1, n 1,2,3,。当&=2时，求a2,a3,并猜想an一个通项公式，并证明解：当a1=2时，易得a2=3,a3=4，猜想下面证明：当n=1时，显然成立，若an=n+1 n=k时成立，则当n=k+1时,ak 1 ak kak 1(k1)2 k(k 1)k 2，即当n=k+1时也成立，所以an=n+1成立四、其它类型例16、已知a14, a249,an 114an求an的通项公式。解：令an 1 k14(an(ank），得:14anan112k ,1an 114(an12)(an 112)，令cnanC172,C2972cn 114Cncn 1 ,由14xCna(74 3)nb(7 4 3)n，a(74、3)b(7a(74、3)2b(74 3)272972Cn丄(74、3)n4丄(7 4 3)n ,4An1Ll丄(7 4 3)n(7 4.3)n4例17、已知a11,ana；4an，求an的通项公式。解:an 1a；4anan 1十an12 an(an 2)22anan 12a n 12an2ig( an2），令bnan 2an 2 练习