傅里叶级数-变换

1、傅里叶级数-变换 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱 4.4 非周期信号的频谱（傅里叶变换）非周期信号的频谱（傅里叶变换） 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 4.6 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 4.7 LTI连续系统的频域分析连续系统的频域分析 4.8 取样定理取样定理 本章主要内容本章主要内容: 变换域分析的基本思想仍为：将信号分解为基本信号之和变换域分析的基本思想仍为：将信号分解为基本信号之和 或积分的形式，再求系统对基本信号的响应，从而求出系统对或积分的形式，再求系统对基本信号的响应，从而

2、求出系统对 给定信号的响应（零状态响应）。给定信号的响应（零状态响应）。 傅里叶级数-变换 在第二章中我们以在第二章中我们以 t 为基本信号将任意信号进行分解为基本信号将任意信号进行分解 dthfthtfty f 其中其中h(t)反映了系统的特性。反映了系统的特性。 dtfttftf t j e (虚指数函数虚指数函数) 为基本信号为基本信号本章以正弦函数或本章以正弦函数或 任意周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或任意周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或 虚指数函数之和。虚指数函数之和。 210 , tncos, sin ,n etn tjn 任意非周期信号可以表示为一系列不同频率的正

3、弦或虚任意非周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或虚 指数函数积分。指数函数积分。 , cos, sin tj e tt 傅里叶级数-变换 具有一定幅度和相位，角频率为具有一定幅度和相位，角频率为 的虚指数函数的虚指数函数 tj Fe 作用于作用于LTI连续系统时，所引起的响应连续系统时，所引起的响应(零状态响应零状态响应)是同是同 频率的虚指数函数，可表示为：频率的虚指数函数，可表示为： tjtj FejHYe 系统的影响表现为频率响应函数系统的影响表现为频率响应函数 jH ，它是信号角，它是信号角 频率频率 的函数，而与时间的函数，而与时间t无关，用于系统分析的独立变无关，用于系统分析的

4、独立变 量为量为 ，故称之为频域分析。，故称之为频域分析。 jFjHjY 傅里叶级数-变换 信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的 概念相似。概念相似。 y x y vC2 x vC1 A yx vCvCA 21 yx vv , 为各相应方向的正交单位矢量。为各相应方向的正交单位矢量。 它们组成一个二维正交矢量集。它们组成一个二维正交矢量集。 矢量正交分解的概念可以推广到信号空间，在信号空矢量正交分解的概念可以推广到信号空间，在信号空 间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信 号空间中的任

5、意信号均可表示成它们的线性组合。号空间中的任意信号均可表示成它们的线性组合。 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数 傅里叶级数-变换 （2）正交函数集）正交函数集 在区间在区间 上的上的n个函数（非个函数（非 零）零） ,其中任意两个均满足其中任意两个均满足 为常数，则称函数集为常数，则称函数集 为区间为区间 内的正交函数集。内的正交函数集。 , 21 tt )( 1 t )( 2 t 2 1 0)()( 21 t t dttt )( 1 t , 21 tt （1）正交函数）正交函数 在在 区间上定义的非零实函数区间上定义的非零实函数 和和 若满足条件若满足条件 则函数则函数 与与 为

6、在区间为在区间 的正交函数。的正交函数。 一、正交函数集一、正交函数集 )( 2 t )( 1 t , 21 tt )(t n 2 1 )()( t t ji dttt , 0 , 0 jik ji i i k )().( 1 tt n , 21 tt 傅里叶级数-变换 （3）完备正交函数集）完备正交函数集 之外不存在函数之外不存在函数 如果在正交函数集如果在正交函数集 )().( 1 tt n )(t满足等式满足等式 2 1 0)()( t t i dttt ni,.,2 , 1 ，则称该函数集为完备正交函数集。，则称该函数集为完备正交函数集。 .),(sin,.,t sin2 , sin

7、, . , )cos( , . , 2cos , cos , 1tnttmtt 在区间在区间 内组成完备正交函数集。内组成完备正交函数集。),( 00 Ttt 2 T 对于复函数对于复函数: 若复函数集若复函数集 在区间在区间 满足满足 )n ., , 2 , 1( )( it i ) t, ( 21 t jik ji dttt i j t t i 0 0 )()( 2 1 ，则称此复函数集为正，则称此复函数集为正 交函数集。交函数集。 傅里叶级数-变换 复函数集复函数集 在区间在区间 内是完备的正交函数集。内是完备的正交函数集。 ntj e ). , 2 , 1 , 0( n) , ( 00

8、 Ttt nmT nm dtedtee Tt t tnmj Tt t tjntjm , , 0 )( 0 0 0 0 )( 2 T 其中其中 。 二、信号分解为正交函数二、信号分解为正交函数 设有设有n个函数个函数 )(, . , )( , )( 21 ttt n 在区间在区间 ) , ( 21 tt构成构成 一个正交函数空间。将任一函数一个正交函数空间。将任一函数 用这用这 个正交函数的个正交函数的 线性组合来近似，可表示为：线性组合来近似，可表示为： )(tf n 傅里叶级数-变换 n j jjnn tCtCtCtCtf 1 2211 )()(.)()()( 根据最小均方误差原则，可推出：

9、根据最小均方误差原则，可推出： dtttf K dtt dtttf C i t t i t t i t t i i )()( 1 )( )()( 2 1 2 1 2 1 2 式中：式中： dttK t t ii 2 1 )( 2 如果分解的项数越多则误差愈小。即如果分解的项数越多则误差愈小。即 n，均，均 方误差方误差 0 2 ，即，即 在区间在区间 内分解为无穷多项内分解为无穷多项 )(tf ) , ( 2 1 tt 之和。之和。 傅里叶级数-变换 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 将周期信号将周期信号 )()(mTtftf 在区间在区间 Ttt 00, 内展开成完内展开成完 备正交信号空间中的

10、无穷级数。如果完备的正交函数集备正交信号空间中的无穷级数。如果完备的正交函数集 是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的 无穷级数就分别称为无穷级数就分别称为“三角形傅里叶级数三角形傅里叶级数”或或“指数形指数形 傅傅 里叶级数里叶级数”，统称为傅里叶级数。，统称为傅里叶级数。 ., ) (sin , . ,t sin2 , sin . , ) cos( , . , 2cos , cos , 1 tnt tmtt ntj e ). , 2 , 1 , 0( n 傅里叶级数-变换 一、周期信号的分解一、周期信号的分解 设有一个周期信号设有一

11、个周期信号 )(tf，它的周期是，它的周期是 T，角频率，角频率 T F 2 2 ，它可分解为：，它可分解为： .)2sin()sin( .)2cos()cos( 2 )( 21 21 0 tbtb tata a tf 其中其中 称为傅里叶系数，称为傅里叶系数， 。 nn ba , T 2 11 0 )sin()cos( 2 n n n n tnbtna a 傅里叶级数-变换 . , 2 , 1 , )sin()( 2 ,. 2 , 1 , 0 , )cos()( 2 2 2 2 2 ndttntf T b ndttntf T a T Tn T Tn dttf T a T T 2 2 0 )(

12、 1 2 那么那么,傅里叶系数如何求得呢傅里叶系数如何求得呢? dtttf K dtt dtttf C i t t i t t i t t i i )()( 1 )( )()( 2 1 2 1 2 1 2 式中：式中： dttK t t ii 2 1 )( 2 傅里叶级数-变换 . , 2 , 1 , )sin()( 2 ,. 2 , 1 , 0 , )cos()( 2 2 2 2 2 ndttntf T b ndttntf T a T Tn T Tn 由上式可见，由上式可见， 是是 的偶函数的偶函数 ， 是是 的奇函数，的奇函数， n a nnn aa n bn nn bb 由于由于tntn

13、 sincos和和是同频率项是同频率项,因此可将其合并因此可将其合并 傅里叶级数-变换 .)2cos()cos( 2 )( 2211 0 tAtA A tf )cos( 2 1 0 n n n tnA A 式中：式中： ,. 3 , 2 , 1 , 22 nbaA nnn 00 aA )arctan( n n n a b 则有则有 00 Aa . , 2 , 1 , cos nAa nnn nnn Ab sin . , 2 , 1 , n n An nn AA 可见，可见， 是是 的偶函数，即有的偶函数，即有 而而 是是 n n 的奇函数，即有的奇函数，即有 nn 傅里叶级数-变换 .)2co

14、s()cos( 2 )( 2211 0 tAtA A tf )cos( 2 1 0 n n n tnA A 可见，任何满足狄里赫利条件的周期信号均可分解为可见，任何满足狄里赫利条件的周期信号均可分解为 直直 流分量流分量 ，一次谐波或基波，一次谐波或基波 ， 它的角它的角 频率与原周期信号相同，二次谐频率与原周期信号相同，二次谐 波波 ， 以此类推，三次，四次等谐波。以此类推，三次，四次等谐波。 2 0 A )cos( 11 tA )2cos( 22 tA 一般而言一般而言 称为称为 次谐波次谐波 ， 是是 次谐波的振幅，次谐波的振幅， 是其初相角。是其初相角。 *结论：周期信号可分解为各次谐

15、波分量之和。结论：周期信号可分解为各次谐波分量之和。 )cos( nn tnAn n A n n 傅里叶级数-变换 例例4.2-1 将下图中的方波信号展开为傅里叶级数。将下图中的方波信号展开为傅里叶级数。 解：解： 11 0 sincos 2 )( n n n n tnbtna a tf dttntf T a T Tn cos)( 2 2 2 sin 12 sin 21 2 0 0 2 T T tn nT tn Tn 2 2 0 0 cos 2 cos)1( 2 T T dttn T dttn T 傅里叶级数-变换 sin 12 sin 21 2 0 0 2 T T tn nT tn Tn ,

16、.3 , 2 , 1 ,0 n0 2 n a T 傅里叶级数-变换 2 0 0 2 2 2 sin 2 sin)1( 2 sin)( 2 T T T Tn dttn T dttn T dttntf T b 2 0 0 2 cos 12 cos 12 T T tn nT tn nT n n n n n n n cos1 2 1 cos 1 cos1 1 ,. 7 , 5 , 3 , 1 , 4 ,. 8 , 6 , 4 , 2 , 0 n n n 傅里叶级数-变换 它仅含有一、三、五、七它仅含有一、三、五、七. 等奇次谐波分量。等奇次谐波分量。 如下页图所示，是用有限项傅里叶级数来逼近的情况：如

17、下页图所示，是用有限项傅里叶级数来逼近的情况： .sin 1 .5sin 5 1 3sin 3 1 sin 4 tn n ttttf , 5 , 3 , 1 n ,.3 , 2 , 1 ,0 n 0 n a ,. 7 , 5 , 3 , 1 , 4 ,. 8 , 6 , 4 , 2 , 0 n n n bn 傅里叶级数-变换 T T/ 20t (a)基波 0T/ 2 T t (b)基波+三次谐波 0 T/ 2Tt (c)基波+三次谐波+五次谐波 0T/ 2Tt (c)基波+三次谐波+五次谐波+七次谐波 图 4.2-3 方波的组成 傅里叶级数-变换 （1）所取项愈多，合成波形（除间断点外）愈接近

18、于）所取项愈多，合成波形（除间断点外）愈接近于 原方波信号。原方波信号。 （2）所取项数愈多，在间断点附近，尖峰愈靠近间断）所取项数愈多，在间断点附近，尖峰愈靠近间断 点。点。 （3）即使）即使 ，在间断点处尖峰仍不能与之吻合，在间断点处尖峰仍不能与之吻合， 有有 的偏差。但在均方的意义上合成波形同原方波的偏差。但在均方的意义上合成波形同原方波 的真值之间没有区别。的真值之间没有区别。 (吉布斯现象）吉布斯现象） n %9 主体主体 -低频低频 细节细节-高频高频 傅里叶级数-变换 若给定的若给定的 有某些特点，那么，有些傅里叶系数将有某些特点，那么，有些傅里叶系数将 等于零从而式计算较为简便

19、。等于零从而式计算较为简便。 )(tf （1） 为偶函数为偶函数)(tf 则有则有 ，波形对称于纵坐标。，波形对称于纵坐标。 )()(tftf 二、奇偶函数的傅里叶系数二、奇偶函数的傅里叶系数 傅里叶级数-变换 )2,. , 1( 0sin)( 2 ,.)2 , 1 , 0( cos)( 4 cos)( 2 2 2 2 2 2 0 ndttntf T b ndttntf T dttntf T a T Tn T T T n ,.2 , 1 , 0 22 nabaA nnnn )( 为为整整数数mm a b arctg n n n 从而有从而有 傅里叶级数-变换 （2） 为奇函数为奇函数)(tf

20、则有则有 ，波形对称于原点。，波形对称于原点。)()(tftf 傅里叶级数-变换 进而有进而有 )( 2 )12( 为为整整数数m m bA n nn , 2 , 1n 这时有这时有 2 0 )sin()( 4 0 T n n dttntf T b a ,2,1n 傅里叶级数-变换 实际上，任意信号都可分解为奇函数和偶函数两部分。实际上，任意信号都可分解为奇函数和偶函数两部分。 )()()( )()()( tftftf tftftf evod evod 2 )()( )( 2 )()( )( tftf tf tftf tf od ev 其中其中 )()( )()( tftf tftf evev

21、 odod *一个函数是奇函数还是偶函数不仅与其波形有关，一个函数是奇函数还是偶函数不仅与其波形有关， 而且与原点的选择有关。而且与原点的选择有关。 傅里叶级数-变换 如果如果 的前半周期波形移动的前半周期波形移动 后，与后半周期波形后，与后半周期波形 对称于横轴即：对称于横轴即： )(tf 2 T ) 2 ()( T tftf ，称为奇谐函数。，称为奇谐函数。 此时傅里叶级数展开式中将只含有奇次谐波分量，而不此时傅里叶级数展开式中将只含有奇次谐波分量，而不 含有偶次谐波分量。即含有偶次谐波分量。即 0 42420 bbaaa 0 t-T T -T/ 2 f (t) T/ 2 1 -1 图 4

22、.2-6 奇谐函数 （3） 为奇谐函数为奇谐函数 )(tf 傅里叶级数-变换 例例4.2-2 正弦交流信号正弦交流信号 经全波或半波整流后的经全波或半波整流后的 波形分别如下图所示。求它们的傅里叶级数展开式。波形分别如下图所示。求它们的傅里叶级数展开式。 )sin( 0t E （a）全波整流信号）全波整流信号 （b）半波整流信号）半波整流信号 解解 （1）全波整流信号）全波整流信号 图（图（a）的全波整流信号可写成（其周期）的全波整流信号可写成（其周期 ， 为原正弦信号角频率为原正弦信号角频率 ） 0 2 T 0 ) 2 sin()sin()( 01 t T EtEtf 傅里叶级数-变换 由于

23、它是由于它是t的偶函数，故的偶函数，故 ，0 n b 2 0 1 ,.)2 , 1 , 0( cos)( 4 T n ndttntf T a 2 0 0 )cos()sin( 4 T dttntE T 2 0 0 )cos()sin( 4 T dttnt T E 基波角频率基波角频率 与信号角频率与信号角频率 相等相等, ) 2 ( T 0 并令并令 ，对上式进行变量替换得，对上式进行变量替换得: ttx 0 傅里叶级数-变换 dxdtdtdxttx 0 00 1 , 2 , 1 , 0, 1 )cos(12 2 n n nE 2 0 00 )cos()sin( 4 T n dttnt T E

24、 a 0 0 0 )1( )1cos( )1( )1cos( )cos(sin 4 n xn n xnE dxnxx T E 2 0 T 傅里叶级数-变换 )4cos( 15 2 )2cos( 3 2 1 2 )( 001 tt E tf 可见，它除直流外，仅含有可见，它除直流外，仅含有 的偶次谐波。的偶次谐波。 0 2,4,n , 1 4 1,3,5n , 0 0n , 4 1 )cos(12 2 2 n E E n nE an 傅里叶级数-变换 想一想：本题中若把想一想：本题中若把 f1(t)看成以看成以T/2为周期，则为周期，则 tEtf T 210 2 sin 2 2 傅里叶级数-变换

25、 4 0 1 2 ,.)2 , 1 , 0( cos)( 4 T T n ntdtntfa 4 0 2 )cos()sin( 8 T dttntE T 4 0 2 )cos()sin( 8 T dttnt T E 由于它仍是的偶函数，故由于它仍是的偶函数，故 ，0 n b 傅里叶级数-变换 , 2 , 1 , 0 , 14 14 1 2 4 1 2 n n E n E 4 0 2 )cos()sin( 8 T dttnt T E a n 0 2 1 2 1 2 1 2 1 0 2 )(2 )cos( )(2 )cos(2 )cos(sin 8 n xn n xnE dxnx T E a x n

26、 4 T 令令 ，则，则 对上式进行变量替换对上式进行变量替换: tx dtdx 傅里叶级数-变换 15 4 a , 3 4 a , 4 210 EEE a )4cos( 15 2 )2cos( 3 2 1 2 )2cos( 15 2 )cos( 3 2 1 2 )( 00 1 tt E tt E tf , 2 , 1 , 0 , 14 14 2 n n E an 傅里叶级数-变换 （2）半波整流信号）半波整流信号 图（图（b）的半波整流信号可写为（其周期）的半波整流信号可写为（其周期 ） 0 2 T TntT n T n tnTtE tf ) 1( 2 12 , 0 2 12 ),sin(

27、)( 0 2 傅里叶级数-变换 它的傅里叶级数可直接由下式求出它的傅里叶级数可直接由下式求出 . , 2 , 1 , )sin()( 2 ,. 2 , 1 , 0 , )cos()( 2 2 2 2 2 ndttntf T b ndttntf T a T Tn T Tn )cos(sin )cos()sin( 2 )cos()( 2 0 2 0 00 2 2 dxnxx E dttntE T dttntf T a T T Tn 傅里叶级数-变换 , 2 , 1 , 0 , 1 cos1 1 cos1 1 cos1 2 1 )1cos( 1 )1cos( 2 )1sin()1sin( 2 2 0

28、 0 n n nE n n n nE n xn n xnE dxxnxn E an 15 2 3 2 0 2 42 5310 E a E a aaa E a 傅里叶级数-变换 )1( 0 1 )1sin( 1 )1sin( 2 )1cos()1cos( 2 )sin(sin )cos()sin( 2 )sin()( 2 0 0 0 2 0 00 2 2 0 n n xn n xnE dxxnxn E dxnxx E dttntE T dttntf T b T T Tn 2 1 1 E bn 时时， 傅里叶级数-变换 )4cos( 15 2 )2cos( 3 2 )sin( 2 1)( 0002

29、 ttt E tf 15 2 3 2 0 2 42 5310 E a E a aaa E a 2,3,4n 0 2 1 n b E b 傅里叶级数-变换 本题也可将它分解成奇函数和偶函数两部分：本题也可将它分解成奇函数和偶函数两部分： 2 )()( )( 2 )()( )( 22 22 tftf tf tftf tf od ev sin 2 )( 2 1 )( 0 1 t E tf tftf od ev tfev T T 0 t 2 E 2 T 2 T tfod T 0 T 2 E 2 E t 2 T 2 T 傅里叶级数-变换 )4cos( 15 2 )2cos( 3 2 1 2 )( 001

30、 tt E tf )sin( 2 )( 2 1 )()()( 012 t E tftftftf odev )4cos( 15 2 )2cos( 3 2 )sin( 2 1 )( 0002 ttt E tf 傅里叶级数-变换 讨论讨论 关于关于n的奇偶性。的奇偶性。 nnnn Aba , n T Tn adttntf T a 2 2 cos 2 n T Tn bdttntf T b 2 2 sin 2 nnnn AbaA 22 n n n n a b tg arg 是是n的偶函数。的偶函数。 是是n的奇函数。的奇函数。 是是n的偶函数。的偶函数。 是是n的奇函数。的奇函数。 傅里叶级数-变换 三

31、、傅里叶级数的指数形式三、傅里叶级数的指数形式 2 cos jxjx ee x 11 0 1 )()( 0 2 1 2 1 2 22 )( n tjnj n n tjnj n n tnjtnj n eeAeeA A ee AA tf nn nn 将上式第三项中的将上式第三项中的 用用 代换，并考虑到代换，并考虑到 是是 的的 偶函数，即偶函数，即 ； 是是 的奇函数的奇函数, 则上式可写为则上式可写为 : n n n A n nn AA n nnn )cos( 2 1 0 n n n tnA A tf 傅里叶级数-变换 11 0 2 1 2 1 2 n tjnj n n tjnj n eeAe

32、eA A nn 11 0 2 1 2 1 2 n tjnj n n tjnj n eeAeeA A nn 如将上式中的如将上式中的 写成写成 （ ），）， 则上式可以写成则上式可以写成: 0 A tjj eeA 0 0 0 0 0 n tjnj n eeAtf n 2 1 )( 11 0 2 1 2 1 2 )( n tjnj n n tjnj n eeAeeA A tf nn 傅里叶级数-变换 令复数量令复数量 ，称其为复傅里叶，称其为复傅里叶 系数，简称傅里叶系数。其模为系数，简称傅里叶系数。其模为 ，相角为，相角为 ， 则得傅里叶级数的指数形式为则得傅里叶级数的指数形式为 n j n j n FeFeA nn 2 1 n F n n tjn n eFtf)( n tjnj n eeAtf n 2 1 )( 傅里叶级数-变换 复傅里叶系数复傅里叶系数 )( 2 1 sincos 2 1 2 1 nnnnnn j nn jbajAAeAF n . , 2 , 1 ,