绝对值与一元一次方程

1、绝对值与一元一次方程知识纵横绝对值是初中数学最活跃的概念之一，？能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程解绝对值方程的基本方法有：一是设法去掉绝对值符号，将绝对值方程转化为常见的方程求解；一是数形结合，借助于图形的直观性求解前者是通法，后者是技巧解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义，去绝对值的符号法则，？非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法例题求解【例1】方程|5x+6 | =6x-5的解是. （2000年重庆市竞赛题）思路点拨设法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解解:x=

2、11提示：原方程5x+6=（6x-5）或从5x+6 0、5x+60讨论.【例2】适合|2a+7 | + | 2a-1 | =8的整数a的值的个数有（）.A. 5B.4C.3D.2（第 11 届“希望杯”邀请赛试题 ）思路点拨用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也许能找到简捷的解题途径.解:选B提示：由已知即在数轴上表示2a的点到7与+1的距离和等于8, ?所以2a表示7到1 之间的偶数.【例3】解方程：I X- | 3x+1 | | =4;（天津市竞赛题）思路点拨从内向外，根据绝对值定义性质简化方程53解:x=或乂=提示：原方程化为X- | 3x+1=4或x| 3x+1 | =-

3、442【例4】解下列方程(1) I x+3 | - | x-1 | =x+1;(北京市”迎春杯”竞赛题)(2) I x-1 | + | x-5 | =4.(“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论，采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论；有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解解: 提示：当x-3时，原方程化为x+3+(x1)=x+1,得x=-5;当3 x 1时，原方程化为x+3-(x-1)=x+1,得x=3.综上知原方程的解为x=-5,-1,3.(2)提示：方程的几何意义是，数轴上表示数x的点到表示数1及5的距离和等于4,画出

4、数轴易 得满足条件的数为1Wx1时，原方程解为x= 口 ；2(2) 当a=1时，原方程解为2W x 3;(3) 当a0,bv0,则使| x-a | + | x-b | =ab成立的x的取值范围是.（武汉市选拨赛试题）14. 若0vxv10,则满足条件| x-3 | =a?的整数a?的值共有 ?个,？它们的和是15. 若 m 是方程 | 2000-x | =2000+ | x | 的解，则 | m-2001 | 等于（）A.m-2001 B. -m-2001 C. m+2001 D. -m+200116. 若关于x的方程|2x3| +m=0无解，| 3x-4 | +n=0只有一个解，丨4x-5

5、| +?k=0有两个 解，贝I m、n、k的大小关系是（）.A.mnk B.nkm C.kmn D.mkn17. 适合关系式|3x-4 | + | 3x+2 | =6的整数x的值有（）个.A.O B.1 C.2 D.大于2的自然数18. 方程x+53x-7 =1的解有（）A.1 个 B.2 个C.3个D.无数个19. 设a、b为有理数,且a0,方程x-a -b =3有三个不相等的解,?求b的值.（“华杯赛”邀请赛试题）20.当a满足什么条件时,关于x的方程| x2 | x-5 | “有一解？有无数多个解？无解？三、综合创新21. 已知|x+2 | + | 1-x | =9-| y-5 | 1+

6、y | ,求x+y的最大值与最小值.(第15届江苏省竞赛题)22. (1)数轴上两点表示的有理数是a、b,求这两点之间的距离；(2) 是否存在有理数x,使|x+1 | +| x-3 | =x?(3) 是否存在整数x,使x4+ x-3+ x+3+x+4 =14?如果存在，？求出所有的整数X；如果不存在，说明理由【学力训练】(答案)1. 土巴、2或 0 2.0 或3.574.-1,a 0 提示：由 a+1 | = | a | +1 得 0,即 a 05.D6.B 7.A8.D9.(1 )x=3或1 x=;3(2)x=9或3 x=-;7(3)x=-4或 x=2;311(4) 提示：分xv1、-1 x

7、 x ? - x2四种情况分别去掉绝对值符号解方程2 21当考虑到 丄 x 2时,？原方程化为(2x-1)-(x-2)=x+1,即 仁1,这是一个恒等式，说明2凡是满足1 x2时，原方程有两解:x+3= 2(?2+k).11. 5 12.1-x 13.bw x a提示：利用绝对值的几何意义解.14.7、21提当0vxv3时,则有|x3 | =3-x=a,a的解是1,2;当 3 wx10 时，则有 |x-3 | =x-3=a,a 的解为 0,1,2,3,4,5,615.D 提示:m w 0 16.A 17.C 提示:2 w 3x w 4 18.B19.提示：若b+3、b3都是非负的，而且如果其中一个为零，则得3个解；如果都不是零，则得4个解，故b=3.20. 提示：由绝对值几何意义知:当-3a3或a-3时，方程无解.21. 提示：已知等式可化为：I x+2 | + | x-1 | + | y+1 | + | y-5 |