2020-2021学年数学高中人教A版选修2-1课后习题：2.1　曲线与方程 含解析

1、祝学子学业有成，取得好成绩第二章圆锥曲线与方程2。1曲线与方程课后篇巩固提升基础巩固1。方程(2x-3）2+（y+2)2=0表示的曲线是()a.一个圆b.两条直线c。一个点d.两个点解析由已知得2x-3=0,y+2=0,解得x=32,y=-2,所以方程表示一个点32,-2.答案c2.与点a（-1，0）和点b(1,0）连线的斜率之和为-1的动点p的轨迹方程是（）a.x2+y2=3b。x2+2xy=1（x1)c。y=1-x2d.x2+y2=9(x0）解析设p（x，y），因为kpa+kpb=1,所以y-0x-(-1)+y-0x-1=1,整理得x2+2xy=1(x1)。答案b3。方程x1=1-(y-1

2、)2表示的曲线是（）a.一个圆b。两个半圆c。两个圆d.半个圆解析方程x1=1-(y-1)2等价于(x1）2+(y1)2=1（x1),表示的曲线是半个圆。故选d.答案d4.“点m在曲线y2=4x上是点m的坐标满足方程y=2x的()a。充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分又不必要条件解析点m在曲线y2=4x上，其坐标不一定满足方程y=-2x,但当点m的坐标满足方程y=-2x时,则点m一定在曲线y2=4x上。答案b5。在直角坐标系中，方程xy=1的曲线是(）解析由|x|y=1知y0,曲线全部位于x轴上方,故选c.答案c6.已知点a(a,2）既是曲线y=mx2上的点，也是直线x-

3、y=0上的一点,则m=,a=.解析由题意知2=ma2,a-2=0,解得a=2，m=12.答案1227.已知定点a（-2，0）,b(1,0),如果动点p满足|pa|=2pb，则点p的轨迹所包围的图形的面积等于.解析设p(x，y）,由|pa=2|pb|得(x+2)2+y2=2(x-1)2+y2，整理得x24x+y2=0,即(x2）2+y2=4.故点p的轨迹是以（2，0）为圆心,以2为半径的圆，s=r2=4.答案48.已知动点m（x,y)到直线l:3x+4y+1=0的距离等于1,则动点m的轨迹方程为。解析由题意知|3x+4y+1|32+42=1,3x+4y+1=5.点m的轨迹方程为3x+4y+6=0

4、和3x+4y4=0.答案3x+4y+6=0和3x+4y4=09.如图,圆o1与圆o2的半径都是1，o1o2|=4，过动点p分别作圆o1、圆o2的切线pm，pn（m,n分别为切点),使得|pm=2pn，试建立适当的坐标系，并求动点p的轨迹方程。解以o1o2的中点为原点,o1o2所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系，得o1(2,0),o2(2,0）。连接po1，o1m,po2，o2n.由已知pm|=2|pn，得pm2=2|pn|2,又在rtpo1m中,|pm|2=|po1|2-|mo1|2,在rtpo2n中,pn2=|po2|2-|no2|2,即得|po1|21=2（|po2|2-1).设

5、p(x，y）,则(x+2）2+y2-1=2(x-2）2+y21,化简得(x-6）2+y2=33.因此所求动点p的轨迹方程为（x6)2+y2=33.10.已知曲线c的方程是y2-xy+2x+k=0.(1)若点（1,-1)在曲线c上，求k的值；(2）当k=0时,判断曲线c是否关于x轴、y轴、原点对称?解(1）因为点(1，-1)在曲线c上，所以（1）21(-1)+21+k=0,解得k=-4.（2）当k=0时,曲线c的方程为y2xy+2x=0。以-x代替x,y不变，方程化为y2+xy-2x=0，所以曲线c不关于y轴对称;以y代替y,x不变,方程化为y2+xy+2x=0，所以曲线c不关于x轴对称;同时以

6、x代替x,y代替y,方程化为(-y)2（-x）(-y)+2(x)=0,即y2-xy-2x=0，所以曲线c不关于原点对称。能力提升1.已知02,点p(cos ，sin )在曲线(x2)2+y2=3上,则的值为()a.3b。53c。3或53d.3或6解析将点p坐标代入曲线方程,得(cos 2）2+sin 2=3，cos =12。又因为02,所以=3或=53.答案c2.设方程f(x,y）=0的解集非空，若命题“坐标满足方程f（x,y)=0的点都在曲线c上是不正确的,则下面命题中正确的是()a。坐标满足f（x,y）=0的点都不在曲线c上b。曲线c上的点的坐标不满足f（x,y)=0c。坐标满足f(x，y

7、）=0的点有些在曲线c上，有些不在曲线c上d.一定有不在曲线c上的点，其坐标满足f(x，y）=0解析“坐标满足方程f(x,y）=0的点都在曲线c上”不正确，就是说“坐标满足方程f（x，y）=0的点不都在曲线c上”是正确的。这意味着一定有这样的点(x0,y0）,虽然满足方程f(x,y)=0，但（x0，y0)c.即一定有不在曲线c上的点,其坐标满足f（x，y)=0,故应选d.答案d3。已知两点m(2，0),n（2，0），点p为坐标平面内的动点，满足mnmp|+mnnp=0,则动点p(x,y)的轨迹方程为（)a.y2=-8xb.y2=8xc.y2=-4xd。y2=4x解析设p(x,y)，x0，y0,

8、m(2,0），n（2,0）,|mn=4,则mp=(x+2，y）,np=(x-2，y)，又由|mnmp+mnnp=0，则4(x+2)2+y2+4(x2)=0，化简整理得y2=-8x.故选a。答案a4.方程x|+|y=1所表示的曲线c围成的图形的面积为。解析方程x+y=1所表示的曲线c围成的图形是正方形abcd（如图）,其边长为2。故方程x|+y=1所表示的曲线c围成的图形的面积为2.答案25。设a为圆(x1）2+y2=1上的动点，pa是圆的切线，且|pa=1,则动点p的轨迹方程是。解析圆(x1)2+y2=1的圆心为b（1,0）,半径r=1，则pb2=|pa2+r2,所以pb|2=2.故p的轨迹方

9、程为：（x-1)2+y2=2.答案（x1）2+y2=26.若曲线y2=xy+2x+k通过点（a,-a）（ar），则k的取值范围是.解析由曲线y2=xy+2x+k通过点(a,-a),所以(-a）2=a(a）+2a+k,即k=2a22a=2a-122-12.所以k-12。答案-12,+7.过点p(2，4）作两条互相垂直的直线l1、l2,若l1交x轴于点a,l2交y轴于点b，求线段ab的中点m的轨迹方程。解法一:如图,设点m的坐标为(x,y）,m为线段ab的中点，a点的坐标为(2x,0),b点的坐标为(0，2y）.l1l2,且l1,l2过点p（2，4)，papb，即kpakpb=-1,而kpa=4-

10、02-2x=21-x(x1)，kpb=4-2y2-0=2-y1，21-x2-y1=-1(x1）,整理得x+2y-5=0(x1）。当x=1时，a，b的坐标分别为（2,0）,(0，4）,线段ab的中点坐标是（1，2),它满足方程x+2y5=0.综上所述,点m的轨迹方程是x+2y5=0.法二:设点m的坐标为(x,y）,则a，b两点的坐标分别是(2x,0）,（0,2y),连接pm(如图)。l1l2，2pm|=ab|。而|pm|=(x-2)2+(y-4)2,|ab|=(2x)2+(2y)2，2(x-2)2+(y-4)2=4x2+4y2,化简得x+2y-5=0，即为所求的点m的轨迹方程.8。设定点m(-3,4）,动点n在圆x2+y2=4上运动,以om,on为两边作平行四边形monp，求点p的轨迹方程。解如图所示,设p（x，y),n（x0,y0）,则线段op的中点坐标为x2,y2，线段