常微分方程习题.

1、第八部分 常微分方程 第10页共16页第八部分常微分方程容易题1-8中等题9-36难题37-401. 微分方程 ylytanx-cosx=0 的通解为 y=(xC)cosx。1 y2. 过点(一,0)且满足关系式 y arcsinx1的曲线方程为2 匚 22 1 -X1 y arcs in x = x -23微分方程xy ； 3y丄0的通解为x4 设y1 (x), y2(x), y3(x)是线性微分方程y a(x)y b(x)y二f (x)的三个特解，且y2(x) - y。)= c，则该微分方程的通解为y3 (x) - (x)y 二 G (y2 (x) - 屮(x) C2(y3(x) - 屮(

2、x)% (x)。5. 设y3 x2, y3 x2 e是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相应齐次 方程的一个解为y3 = x，则该微分方程的通解为 y = 3 x2 C1x C2e。6. 设出微分方程 y -2y - 3y = x xe* - ex cos2x的一个特解形式y* Ax B x(Cx D)eex(Ecos2x F sin2x)。7微分方程 y-2y、2y = e 的通解为 y = e (1 C1 cosx C2 sin x)。f1 、&微分方程 y“_4y=e2x的通解为 y=C|e/x+ C2 +-x e2x。l4丿9函数y =5 cos2x C2sin2x满足的二阶线性常

3、系数齐次微分方程为y； 4y =0。2x tc10.若连续函数f(x)满足关系式 f (x) f (-)dt Tn 2,则f(x)二e ln2。11设曲线积分 (f (x)-exsinydx - f (x) cos ydy与路径无关，其中f (x)具有一阶连续 导数，且f (0) =0，则f(x)等于11(A)丄(-ex)。(B)丄心-e。2 211(C) (ex - e ) -1。(D)1 - (ex e)。22答B1注：根据题意，f (x) cosy =f(x)ex cosy，解得 f(x)ex Cx。由1 1f (0) = 0 ,得 C，所以 f (x) (ex 一 ex)，即选项(B)

4、正确。12.若函数y =cos2x是微分方程 、 p(x)y =0的一个特解，则该方程满足初始条件 y(0) = 2的特解为(A) y = cos2x 2。(B)y = cos2x 1。(C) y = 2cosx。(D)y = 2cos2x。答D注：根据解的结构，通解为 y = Ccos2x，由y(0) =2得C = 2。故选项(D)正确。13.设函数(x), y2(x)是微分方程其他选项经验证不满足方程或定解条件。y p(x)y =0的两个不同特解，则该方程的通解为(A) y = C1 y1 C2 y2。(B)y = 丫1 Cy2。(C) y 二浙 C y2)。(D)y =C(y2 - yj

5、。注：因为ydx), y2(x)是微分方程y - p(x)y =0的两个不同特解，所以y2 y1是该方程的一个非零特解。根据解的结构，其通解为y =C(y2 - yj，即选项(D)正确。另：根据通解定义，选项(A)中有两个任意常数，故其不对。当旳2三0时，选项(B)不对。当y2 一 - y1时，选项(C)不对。14已知函数 y二y(x)在任意点x处的增量.：y匕与 o x), y(0二，贝U y(1)等于1 + xKJI(A) 2二。(B) 二。(C) e4。(D)二e4。答D注：根据微分定义及微分与导数的关系得、二y，解得In y二arctanx C，由1 +x2y(0)=二，得 C =ln

6、 二，所以 y(1)=二earctan1 二:e4。因此选项(D)正确。15设函数y = f(x)是微分方程y 2y4y=0的一个解。若f(x0) . 0, f (x0 0 , 则函数f (x)在点x0 (A)取到极大值。(B)取到极小值。(C)某个邻域内单调增加。(D)某个邻域内单调减少。答A注：因为 f (x0) = 0, f (x0) = -4f (x0) ： 0，所以选项(A)正确。16设y1, y是二阶常系数线性齐次方程y ” py qy = 0的两个特解，C1 ,C2是两个任意常数，则下列命题中正确的是 (A) C1y1 C2y2 一定是微分方程的通解。(B) C1y1 C2y2不

7、可能是微分方程的通解。(C) C1 y1 C2y2是微分方程的解。(D) C1 y1 C2 y2不是微分方程的解。答C注：根据叠加原理，选项(C)正确，选项(D)错误。当y1, y2线性相关时，选项(A) 错误，当y1, y?线性无关时，选项(B)错误。17.微分方程y“-y=ex 1的一个特解应具有形式(A) aex b。(B)axex b。(C) aex bx。(D)axex bx。答B注：相应齐次方程的特征根为1, -1，所以y-y = ex的一个特解形式为axex ,y ” _ y = 1的一个特解形式为 b。根据叠加原理，原方程的一个特解形式为axex b ,即选项(B)正确。其他选

8、项经检验不满足方程。18. 具有特解y1 =e= y2 =2xe： y3 =3ex的三阶线性常系数齐次微分方程是(A) y，；y _ y y =0。(B)厂 y _ y _ y =0。(C) y 6y 11八6y=0。(D) y 2y y 2y = 0。答B注：根据题意，1, -1是特征方程的两个根，且-1是重根，所以特征方程为 (-1)( 1)2 V3 2 - -1 =0。故所求微分方程为 y y”-y-y =0，即选项(B) 正确。19. 设力二ex, y2二x是三阶线性常系数齐次微分方程厂 ay ； by ： cy = 0的两个特解，贝U a,b,c的值为(A) a =1,b - -1,

9、c =0。(B)a=1,b=1,c = 0。(C) a =-1,b=0,c=0。(D)a =1,b =0, c = 0。答C注：根据题意，1,0是特征方程的两个根，且0是重根，所以特征方程为(扎一1)九2 = =0。故原微分方程应为y y = 0，所以a = 1,b = 0,c = 0即选项(C)正确。20.设二阶线性常系数齐次微分方程y ” by y = 0的每一个解y(x)都在区间(0, ：)上有界，则实数b的取值范围是(A) b _ 0。(B) b 乞 0。(C) b 乞 4。(D) b _ 4。答Ab b2 Yb=b2 Yxx注：因为当 b-2 时，y(x)二 C1e 2 C2e 2

10、，所以，当 b2 - 4 0f时，要想使 y(x)在区间(0：)上有界，只需要bb2 -4 一0, b - .b2 - 4 一 0，即2 | 2b 2。当b2-4：0时，要想使 y(x)在区间(0：)上有界，只需要b-4与b_.b2 -4的实部大于等于零，即 0 _b ： 2。当b = 2时，y(x) C2xex在区间(0,：)上有界。当 b - 一2 时，y(x C1ex C2xex (C12 C；2 - 0)在区间(0,：)上无 界。综上所述，当且仅当b_0时，方程y”by；y=：0的每一个解y(x)都在区间(0 :) 上有界，即选项(A)正确。21.求微分方程x . 1 y2 y,1 x

11、0的通解。解：方程两端同乘以dx，得1 x223_xdx_ydy 二 0J x2.1 y2此方程是一个变量分离方程，其通解为y2.1 x2 二 C(C 2)。22.求微分方程 鱼丄y二inx的通解。dx x x解:这是一个一阶线性微分方程，求解其相应的齐次方程 丄0,dx x得其通解为CIn y = In ，即x令y = C(x)，代入原方程，得xsin x=5xxC (x) -C(x) C(x)2 2xx解得C(x) - -cosx C。所以原方程的通解为1y(_cosx C)。x注：本题也可直接利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式，得sin x 1 dx1 dx 1y = ( e xdxd

12、x c)茁 严 (_cosx c)。xx223求解微分方程 xdy 一 ydx = y eydy。解：将y看成自变量,x看成是的y函数，则原方程是关于未知函数x = x(y)的一阶线性微分方程dx xyye ，dy y此方程通解为1dyyx 二 ep,1dyC- Jyeye、y dy =Cy-yey， 、 )其中C是任意常数。24 求微分方程x2 y-xy二y2满足初始条件y(1) = 1的特解。解：将原方程变形，得这是一个齐次型方程。令y二xu，代入上式，得xu = u2 -2u ,分离变量，得du _ dx-2 = u -2u x积分，得u -2u-Cx2，y 2x2=Cx 。因为y(1)

13、 = 1，所以C = -1。于是所求特解为y(ln 2)=0 的25.设y =ex施微分方程 xf p(x)y = x的一个解，求此微分方程满足条件 特解。解：将y二ex代入原方程，得xexp(x)ex 二 x，解出所以原方程为xy (xe _ x)y = x，解其对应的齐次方程，得y =Cex。所以原方程的通解为y = ex Ce由 y(ln2) =0，得 C1=_e 2。故所求特解为_2。26.求微分方程yV?4x ； y = x的通解。x21解：将原方程化为这是一个伯努利方程。令z = . y，则原方程化为dz 2x xz =。2dxx21这是一个一阶线性微分方程,解得1 / 2；(x1

14、)(CIn(x2 1)，所以原微分方程的通解为y = z2 二1z =16(x2 +1)(C +ln(x2 +1) )2。xxx u(y)二y27.求微分方程(1 ey)dx e(1 _)dy =0的通解。 y解：将y看成自变量，则x=x(y)是y的函数。由于原方程是齐次型方程，令原微分方程化为yueuueu T这是一个变量可分离的方程，解得y(eu所以原方程的通解为xyey另解：令 P(x,y) =1 ey,Q(x, y)二xey(-) y，则：:p(x，y)x J2 “y：:Q(x, y).x所以，在y .0时，原方程为全微分方程。令x(x,y)-u(x,y)二(叮)(1 e )dx ex

15、(1-)dy，y由于此曲线积分与路径无关， 所以u(x, y)就是全微分式(1 ey)dx ey 0 - -)dyy的一个原函数，且u(x,y)二xx y yx(1 ey )dx ey(1 )dyyxey)dx(x,y)(0,1)0y y 0x1 ey(1 - ？)dy0(1xy T x y(ey T)xyeyx _ 1。所以原方程的通解为xyey x = C。28设，为实数，求微分方程 y”ly =0的通解。解：此方程的特征方程为 2=0，所以，(1)当1 0时，特征方程有一对复根二 二i .，方程有两个线性无关解cos. “X, sin .。因此微分方程的通解为y 二 Ci cos Jx

16、C2 sin x (Ci ,C R)。(2)当亠=0时，特征方程有一个二重根 = 0。方程有两个线性无关解1, x,于是微分方程的通解为(3)当：:0时，特征方程有两个单重实根J 。方程有两个线性无关解-_，xe所以微分方程的通解为y 二 GeCze x (Ci ,C R)。29.求微分方程y二y 2x21的通解。解将方程写作y； y、(2x2 1)e0x。因为怎=0是特征方程 2川冬=0的单根，所以原方程一个特解形式为*32y (x)二 ax bx cx，将此解代入原方程，得3ax2(2b 6a)x (c 2b) =2x21,比较两端同次项的系数，有3a = 2,2b 6a =0,c 2b

17、=1。解上述方程组，得2a , b - -2, c = 5。3从而得到原方程的一个特解* 2 3 2y (x) x - 2x 5x 。3又因为相应齐次方程 y y = 0的通解为所以原方程的通解为x 232y =G 亠C2ex - 2x 亠 5x。3另解：方程y - y = 2x 1两端积分，得y y = x3 x C1，3这是一个一阶线性微分方程，其通解为y =e(C2 亠 1(2x3 x CJexdx)2=G C2ex3 -2x2 5x _53x 2 3 =G C2ex 2x 5x。330.求解微分方程 y ” _ 2yy = 4xex。解：因为=1是特征方程2-2，1=0的重根，所以原方

18、程的一个待定特解为*2xy -x (ax b)e，将此解代入原方程，得(6ax 2b)ex 二 4xex。2比较两端系数，得a ,b =0。于是得到原方程的一个特解3*23 xy x e 。3又因为相应齐次方程的通解是y =(G C2X)ex。因此原方程的通解为y =(C, C2x)ex -x3ex。331.求微分方程 y y = x cosx的通解。解：原方程所对应齐次方程的通解为y = G cosx C2 sinx。设非齐次方程 目 目的一个特解为yi = Ax B ,代入次方程，得A=1, B = 0。所以yi = x。设非齐次方程y y = cosx的一个特解为y2 = Ex cosx

19、 Dxsin x，11代入方程，得 E =0, D 。所以 y2xsinx。22因为y1 y2为原方程的一个特解，所以原方程的通解为1y=Gcosx C2sinx x 2xsinx。32.求解微分方程 yy”-(y)2 =y2lny。解：因为原微分方程不显含自变量x，所以这是一个可降阶微分方程。令 u(y)二 y (x)，则 y (x)二 u (y)y (x)二 u u。原方程变为yuu -u22再令P(y)二u2(y)，则有= 2yln y ,2P Py这是一个一阶线性微分方程，求得p 二 y2(C In2 y)。所以u = y2(C ln2 y),故yjy2(C ln 2y)。这是个变量可

20、分离微分方程，解得ln ln y C ln2 y = x C1,这就是原微分方程的通解。注：方程yuu - u2二y21 ny是一个伯努利方程，可用伯努利方程的一般解法求解。33.求解微分方程 y亠3y亠3y亠y = e*(x5)。解：微分方程 y ： 3y ” 3y ： y =0的特征方程为323 3；.T=0 , = -1是其三重特征根。所以该齐次方程的通解为y = e aq C2x C3x2)。令原微分方程的一个特解形式为y = x3(ax b)e，代入原微分方程，并整理得24 ax 6b = x - 5，1所以 a -,244。因此原微分方程的一个特解为ySx5)e6 4故所求通解为y

21、 二e(Ci C2X C3X2)63.X/1x(x -5)e。434.求解微分方程x - y = x2。解：令u(x)二y(x)，则原方程化为1u U = X ,x这是个一阶线性微分方程，解得u = x(Cx)。因此旳二x(C1 x)，所以原微分方程的通解为y = 1 x3 1C1x2 C2 = 1 x3 C1x2 C2,3 23其中C1,C2是任意常数。另解：令p(x)二工，则原方程化为p、1 ,所以 x C1。由y = x x(x C1)x1 3 2 y = xC1xC2。335.求解微分方程 x2y；-2xy ：2y = x31nx。解：原方称为二阶欧拉方程。令x=et，得xy 4,x2

22、ydtd2y dydt2 dt所以原微分方程化为d2ydt2dy3t一叮 “t，其中t是自变量。这是一个二阶线性常系数非齐次方程，解得y 二 C1etC2e2t1 (t - 3)e3t。2 2所以原微分方程的通解为21 33y = Gx C2x x (ln x -2 2其中C,C2是任意常数。36.求解定解问题丿y“ + 2x(y)2 =0 (0)=1, y(0)=0解：令u(x)二y(x)，则原方程化为u 2xu2 二 0,这是个变量可分离微分方程，解得1弋，或防0，由 y (x) =u(x) = 0，得 y 。根据 u(0) = y(0) =0,得 u 三0。因为y(0) =1，所以 G

23、=1，故原定解问题的解为注：在求解变量可分离微分方程u* 2xu =0时，容易丢掉解u三0，从而得不到原定解问题的解。37已知函数f(x)在0,，：)上可导，f(0)，且满足等式1Xf (x) f(x)0 f(t)dt = 0，X +1盹求 f (x)，并证明 e f(x 1(x- 0)。解：根据条件，得x(x 1)( f (x) f (x) 一 0 f (t)dt = 0，因为f(x)在0, r)上可导，由上式，知 f(x)在0, ：)上二阶导数存在，所以1f (x) - (1 )f(X)= 0，X +1这是f(X)满足的一个一阶线性齐次方程，解得-Xf(XF，C = -1，故.Xf(x)： 1。由于 f (0) =-f(0)二1，所以e0，所以 f (x)乞 f (0) =1。又 x _ 0 时，x 1当x _ 0时，因为f (x)，:-Xf (X) -e= - e -xe 0，所以 f(x)-e 一 f(0)-e0 =0。x + 1x+1故e f (x)乞 1(x 一0)。注：证明不等式时，只需要知道导数的符号及函数在某点上的值，并不要求一定知道函数的表达式。38设p(x),q(x)为连续函数，证明方程 月 p(x)y二q(x)的所有积分曲线上横坐标相同的 点的切线交于