导数讨论含参单调性习题含详细讲解答案

1、1设函数 （ 1）当时，函数 与 在 处的切线互相垂直，求 的值；（ 2）若函数在定义域内不单调，求 的取值范围；（ 3）是否存在正实数 ，使得 对任意正实数 恒成立？若存在，求出 满足条件的实数 ；若不存在，请说明理由2已知函数 是 的导函数， 为自然对数的底数（ 1）讨论 的单调性；（ 2）当时，证明： ；（ 3）当时，判断函数 零点的个数，并说明理由3已知函数 （其中，）.（ 1）当时，若 在其定义域内为单调函数，求 的取值范围；（2）当时，是否存在实数 ，使得当 时，不等式恒成立， 如果存在，求 的取值范围，如果不存在，说明理由（其中 是自然对数的底数，） .4已知函数 ，其中 为常数

2、 .（ 1）讨论函数的单调性；（ 2）若 存在两个极值点 ，求证： 无论实数 取什么值都有 .5 已知函数 （ 为常数）是实数集 上的奇函数，函数 是 区间 上的减函数 .（ 1）求 的值；（ 2）若在 及 所在的取值范围上恒成立，求 的取值范围；（ 3）讨论关于 的方程 的根的个数 .word 格式编辑6已知函数 f x ax ln x,F x ex ax，其中 x 0,a 0.（1）若 f x 和 F x 在区间 0,ln3 上具有相同的单调性，求实数 a的取值范围；（ 2）若 a, 12 ，且函数 g x xeax 1 2ax f x 的最小值为 M ，求 M 的e2最小值 .7已知函数

3、 f （x） ex m ln x .（1）如 x 1是函数 f （x） 的极值点，求实数 m的值并讨论的单调性 f（x）；（2）若 x x0是函数 f（x） 的极值点，且 f （x） 0恒成立，求实数 m 的取值范围（注：已知常数 a满足 aln a 1）.2x8已知函数 f x ln 1 mxmx ，其中 0 m 1 x3（ 1）当 m 1时，求证： 1 x 0时， f x ；3（ 2）试讨论函数 y f x 的零点个数9已知 e是自然对数的底数 , F x 2ex 1 x ln x, f x a x 1 3.（ 1）设 T x F x f x , 当 a 1 2e 1时 , 求证： T x

4、 在 0, 上单调递增；（2）若 x 1,F xf x , 求实数 a 的取值范围 .10 已知函数 f x ex ax 2（ 1）若 a 1 ， 求函数 f x 在区间 1,1的最小值；（2）若 a R,讨论函数 f x 在 （0, ）的单调性；（ 3）若对于任意的 x1,x2 （0, ）,且 x1 x2,都有 x2 f （x1） a x1 f （x2） a 成立，求a 的取值范围。word 格式编辑参考答案1( 1);(2)；(3)【解析】时，试题分析： (1) 本小题主要利用导数的几何意义，求出切线斜率；当可知 在 处的切线斜率 ，同理可求得 ，然后再根据函数 与 在 处的切线互相垂直，

5、得 ，即可求出结果(2) 易知函数的定义域为 ，可得 ，由题意，在 内有至少一个实根且曲线与 x 不相切，即的最小值为负，由此可得 ，进而得到 ，由此即可求出结果 . (3)令 ， 可 得，所以 在区间 内单调递减， 且 在区间 内必存在实根，不妨设 ，可得，(*) ，则 在区间 内单调递增，在区 间 内单调递减，将(*) 式代入上式， 得使得 对任意正实数 恒成立，即要求恒成立，然后再根据基本不等式的性质，即可求出结果试题解析：word 格式编辑(1) 当 时， ， 在 处的切线斜率由 ，得 ， ，(2) 易知函数的定义域为 ，由题意，得 的最小值为负， (注：结合函数图象同样可以得到 )，

6、；，；(3) 令，其中 ，则，在区间 内单调递减，且 在区间 内必存在实根，不妨设 ，即 ，可得，(*)则 在区间内单调递增，在区间内单调递减，word 格式编辑将（*） 式代入上式，得根据题意 恒成立，又 ，当且仅当 时，取等号，代入 （*） 式，得即 ，又 ， ，存在满足条件的实数 ，且 点睛 :对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法 , 一般通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，然后再构造辅助函数 ，利用 恒成立 ； 恒成立 ，即可求出参数范 围.2（ 1）当时，在 上为减函数；当 时，的减区间为增区间为；（2） 证明见解析；

7、 （3）一个零点，理由见解析 .【解析】试题分析：（ 1）讨论函数单调性， 先求导，当 时， ，故 在上为减函数；当 时，解 可得 ，故 的减区间为 ，增区间为；（ 2）根据 ，构造函数，设 ， ，当 时， ，所以是增函数，得证；（ 3）判断函数的零点个数，需要研究函word 格式编辑数的增减性及极值端点，由（1）可知，当时， 是先减再增的函数，其最小值为，而此时 ，且 ，故 恰有两个零点 ， 从而得到 的增减性，当 时， ；当 时， ；当时， ，从而 在 两点分别取到极大值和极小值，再证明极大值，所以函数不可能有两个零点，只能有一个零点 试题解析：（ 1）对函数 求导得 ，当 时， ，故 在

8、 上为减函数；当 时，解 可得 ，故 的减区间为 ，增区间为2） ，设 ，则 易知当 时， ，；3）由（ 1）可知，当时， 是先减再增的函数，其最小值为 ，而此时 ，且 ，故 恰有两个零点 ，当 时， ；当 时， ；当 时，word 格式编辑 在 两点分别取到极大值和极小值，且由 知 ， ， ，但当 时， ，则 ，不合题意， 所以 ， 故函数 的图象与 轴不可能有两个交点函数 只有一个零点3（ 1）；（2）存在，且.【解析】试题 分析：（ 1）当时，首先 求出函数 的导数，函数 的定义域 是 ，得 到，分 和两种情况讨论讨论二次函数恒成立的问题，得到的取值范围；（2） ，分和 两种情况讨论函数

9、的单调性， 若能满足当时，当满足函数的最小值大于0，即得到 的取值范围试题解析：（ 1）由题当 时，知 ，则 是单调递减函数；当 时，只有对于 ，不等式 恒成立，才能使 为单调函数，只需，解之得 或 ，此时 .综上所述， 的取值范围是（ 2），其中word 格式编辑）当 时， ，于是 在 上为减函数，则在 上也为减函数知 恒成立，不合题意，舍去若，即 ，则 在 上单调递减 .）当 时，由 得 ，列表得0最大值知 ，而 ，若是 恒成立，不合题意，舍去，即则 在 上为增函数，在上为减函数，要使在 恒有 恒成立，则必有则 ，所以由于 ，则 ，所以word 格式编辑综上所述，存在实数 ，使得 恒成立

10、.【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题： （1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（ 2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若 恒成立3）若 恒成立，可转化为 .4（ 1）当时， 在区间 上单调递增；当 时， 在 上单调递减， 在 上单调 递增 ;（ 2）见解析 .【解析】试题分析 : （ 1）先求导数，研究导函数在定义域上零点情况，本题实质研究在 上零点情况：当方程无根时，函数单调递增；当方程有两个相等 实根时，函数单调递增；当方程有两个不等实根时，比较两根与定义区间之间关系，再确定单调区间， （ 2）先由（ 1）知，且两个极值点 满足.再代入化

11、简得, 利用导数研究单调性，最后根据单调性证明不等式 .试题解析 :（ 1）函数的定义域为.记 ，判别式 当 即 时， 恒成立， ，所以 在区间 上单 调递增 . 当 或 时，方程 有两个不同的实数根 ，记，显然word 格式编辑）若 ， 图象的对称轴 ， .两根在区间上，可知当时函数 单调递增， ，所以 ，所以 在区间 上递增 .）若 ，则 图象的对称轴 ，.，所以，当 时， ，所以 ，所以 在上单调递减 .当或 时， ，所以 ，所以 在 上单调递增 .综 上 ， 当 时 ， 在 区 间 上 单调 递 增 ； 当 时， 在上单调递减，在 上单调递增 .（ 2 ）由（ 1 ）知当时， 没有极值

12、点，当 时， 有两个极值点 ，且记，则，所以 在 时单调递增，所以所以5（ 1）；（2）；（3）详见解析 .【解析】试题分析：（1）根据奇函数定义可得，再根据恒等式定理可得.（ 2）由函数 是区间 上的减函数， 得其导函数恒非正， 即 最小值 ，word 格式编辑而 在 恒 成 立 等 价 于 ， 从 而 有对 恒成立，再根据一次函数单调性可得只需端点处函数值非负即可， 解不等式组可得 的取值范围 （3）研究方程根的个数，交 点 个 数 ， 先 根 据 导 数 研 究 函 数图 像 ， 再 根 据 二 次 函 数上下平移可得根的个数变化规律试题解析：（ 1）是奇函数，则 恒成立， ，即 ， ，

13、 .2）由（ 1）知， ，又 在 上单调递减，且 对 恒成立，即 对 恒成立， 在 上恒成立，即 对 恒成立，令 ，则 ，而 恒成立，word 格式编辑3）由（ 1）知，方程为当 时， ， 在 上为增函数；当 时， ， 在 上为减函数；函数 、 在同一坐标系的大致图象如图所示， 当，即时，方程有一个根； 当，即时，方程有两个根 .点睛： 对于求不等式成立时的参数范围问题， 在可能的情况下把参数分离出来， 使不等式一 端是含有参数的不等式， 另一端是一个区间上具体的函数， 这样就把问题转化为一端是函数， 另一端是参数的不等式，便于问题的解决 . 但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数 后，得

14、出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法 .6（ 1） M 的最小值为 0. （ 2）, 3 .【解析】word 格式编辑试题分析：（ 1）由 fx a 1xax 1xFx ex a,x 0fx 0 在 0, 上恒成立 f x 在 0, 上单调递减 当 1 a 0时，Fx 0 ，即 F x 在 0,上单调递增，不合题意； 当 a 1时，利用导数工具得 F x 的单调减区间为 0,ln a ，单调增区间为ln a ,f x 和 F x 在区间 0,ln 3 上具有相同的单调性 ln a ln3a3a的取值 范 围 是 , 3 ；（ 2 ） 由 g x ax 1 eax 1 11

15、 ln x apx1 l nx1 xl nx, pxlxnx22利用导数p x minp e2e121 ln xax 1 1e 0 ，x根据g x ming1设ta1 0,e2 ,g1 t 2 h t 2 lnt 1 0 t e2 ae1 ht e12 t1 0,h t在 0,e2 上递减 h t h e2 0 M 的最小值为 0.试题解析：1） fx a 1 ax 1,Fx ex a,x 0， xxa 0, fx 0 在 0,上恒成立，即 f x 在 0, 上单调递减 .当 1 a 0时， Fx 0，即F x 在 0, 上单调递增，不合题意； 当 a 1时，由 Fx 0，得 x ln a ，

16、由 Fx 0 ，得 0 x ln a . F x 的单调减区间为 0,ln a ，单调增区间为 ln a , . f x 和 F x 在区间 0,ln3 上具有相同的单调性， ln a ln3 ，解得 a 3 ，综上， a 的取值范围是, 3 .（ 2） gx eax 1 axeax 1 a 1 ax 1 eax 1 1 ，xxword 格式编辑由 eax 1当x1 1 ln x 1 ln x0 得到 a，设 p x,p xx x x22e2时， px 0；当 0 x e2 时， px 0.ln x 2 2， x从而p x 在 0,e2 上递减，在 e2,上递增 . p x minp e2e1

17、2 .e当ae12 时，ea 1 lnx，即 eax 1 1 0，xx在 0, 1 上，ax 1 0,gx 0,g x 递减；1在 , 上， ax 1 0,gx 0,g x 递增. g x min a1 2 1 t 2设 t0,e2 ,g h t 2 ln t 1 0 t e2 ，a a e1 1 2 2ht2 0,h t 在 0,e2 上递减 . h t h e2 0 ； M 的最小值为 0.考点： 1、函数的单调性； 2、函数的最值； 3、函数与不等式 . 【方法点晴】本题考查函数的单调性、函数的最值、函数与不等式，涉及分类讨论思想、数 形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化

18、能力、运算求解能力，综合性较 强，属于较难题型 . 利用导数处理不等式问题 . 在解答题中主要体现为不等式的证明与不等 式的恒成立问题 . 常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究 新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用 .7( 1)m1， f(x) 在 (0,1) 上单调递减， 在 (1, ) 上单调递增；( 2)m a ln a, ).【解析】试题分析：(1)由 x 1是函数 f (x)的极值点，得 f 1 0可得 m得值，由导数和单调性11的关系得其单调区间； ( 2)由题意知 f (x) ex m 1 ，设 h(x) ex m 1，知 h x

19、0得xxh x 单调递增，即 x x0是 f (x) 0在 (0, )上的唯一零点，得 m x0 ln x0 ，f x min f x0 ，使得 f x0 0即可，结合 aln a 1，得参数 m范围.f (1) 0 e1 m 1 0.试题解析：( 1) x 1是函数 f (x) 的极值点，x1x 1 1 xe 1 m1， f (x) ex 1.xx令 g(x) xex 1 1， g(x) ex 1 xex 1 (x 1) ex 1 0 ，word 格式编辑 g(x)在(0, )上单调递增， g(x) g(0) 1， g(1) 0. 当 x (0,1)， g(x) 0；当 x (1, )， g

20、(x) 0. f (x)在 (0,1)上单调递减，在 (1, )上单调递增， 此时，当 x 1时 f (x) ，取极小值 .(2) f(x) ex m 1 ，设h( x) ex m 1，xxx m 1则 h(x) ex m 2 0. h(x) 在(0, )上单调递增，x f (x) 在 (0, ) 上单调递增 . x x0是函数 f(x) 的极值点， x x0 是 f (x) 0 在 (0, ) 上的唯一零点， ex0 m 1x0 m ln 1x0 m ln x0 mx0 ln x0 .x0x0 0 x x0 ， f (x) f (x0) 0 ，x x0 ， f (x) f (x0) 0 ，

21、f (x)在(0, x0)上单调递减，在 (x0,)上单调递增， f (x)有最小值 . f (x)min f (x0) ex0 m ln x0 1 x0 m. x0 f (x) 0 恒成立，1 x0 m 0 ， x01x0 x0 ln x0 ， x0 1 ln x0 . aln x0a 1 ， x0 a ， m x0 ln x0a ln a ，m a lna, ).考点：(1)利用导数研究函数的极值； (2)利用导数研究函数的单调性； ( 3)恒成立问题 . 【方法点睛】 本题考查了利用导数研究函数的单调性以及求函数的最大值和最小值问题， 以word 格式编辑 及对于不等式恒成立问题，解决不

22、等式恒成立问题的常用方法是转化为最值恒成立 . 考查函 数的单调性， 由 f x 0 ，得函数单调递增， f x 0得函数单调递减； 考查恒成立问题， 正确分离参数是关键，也是常用的一种手段 .通过分离参数可转化为 a hx或a hx 恒 成立，即 a hmax x 或 a hmin x 即可，利用导数知识结合单调性求出 hmax x 或 hmin x 即 得解 .8（ 1）见解析；（ 2）当 0 m 1时，有两个零点；当 m 1时；有且仅有一个零点 【解析】试题分析：3 x（ 1）首先将 m 1代入函数解析式，然后令 g x f x ，再通过求导得3到g x 的单调性，从而使问题得证； （2

23、）首先求得 f （x），然后求得 f （x） 0时x的值， 再对 m 分类讨论，通过构造函数，利用导数研究函数单调性极值与最值，即可得出函数零 点的个数试题解析：x3x3（1）当m 1时，令 g x f x x3 （ 1 x 0），则g x 1xx，x 0时， x3 0 ，1 x 0， g x 0，此时函数 g x 递增，x3当 1 x 0时，g x g 0 0，当 1 x 0时， f x 3mx x m 1 mx x m2） f x m ，令 f x 0，得 x1 0 ， x2 m 1 ，1 mx m2 xi ）当 m 1时， x1 x2 0 ，由得 f x 1x当 x 1时，1 x 0，

24、x2 0， f x 0，此时，函数 f x 为增函数，1 x 0时， f x f 0 0，f 0 0，x 0时， f x f 0 0，故函数 y f x ，在 x 1 上有且只有一个零点 x 0；111（ ii ）当 0 m 1 时， m 0 ，且 m ，mmm由知，当 x ,m，1 mx 0，mx 0， x m 0 ，m m mword 格式编辑此时，f x 0 ；同理可得，当x m 1 ,0 ， f x 0；当 x 0时， f x 0 ； m函数y f x 的增区间为1 ,m 1 和 0, ，减区间为 mmm 1 ,0m故，当函数m m1 ,有且只有一个零点 x 0；又 f m m1ln1

25、 m2122 ，构造函数 t ln t m21 t 12t， 0 t 1 ，则11t 1t 12 11 t 1 ，易知，对 t 0,1 ， t 0 ， 函数t2t2m 1 x 0时， f x f 0 0 ，当 x 0 时， f x f 0 0 m0 t 1为减函数， t 1 02 1 2 1 2 1由 0 m 1，知 0 m2 1， f m ln m2m22 0 m 2 m21x构造函数 k x lnx x 1（ x 0），则 k x，当0 x 1时，k x 0，当 x 1x时， k x 0， 函数 y k x 的增区间为 0,1 ，减区间为 1, ， k x k 1 0 ，有 ln 12mm

26、12 1 m12m1，m12 1 2 则 e m m2，e m2 1 11m，mm12 1e m2 1 1 时， ln 1 mx 2 1 m2x2 而 mx x mx2x2由知 f x ln 1 mx mx212 1 0m又函数 y f x 在 1 ,m 1 上递增，mme m12 1 1word 格式编辑1 m2 1由和函数零点定理知，x0, ，使得 f x0 0mm2x综上，当 0 m 1时，函数 f x ln 1 mx mx 有两个零点， 综上所述：当 0 m 1时，函数 y f x 有两个零点，当 m 1 时，函数 y f x 有且仅有一个零点考点： 1、利用导数研究函数的单调性； 2

27、、函数零点存在性定理； 3、函数最值与导数的关 系【技巧点睛】 函数的单调性是使用导数研究函数问题的根本， 函数的单调递增区间和单调递 减区间的分界点就是函数的极值点， 在含有字母参数的函数中讨论函数的单调性就是根据函 数的极值点把函数的定义域区间进行分段， 在各个分段上研究函数的导数的符号， 确定函数 的单调性， 也确定了函数的极值点， 这是讨论函数的单调性和极值点情况进行分类的基本原 则9 (1) 证明见解析； (2),4 .【解析】试题分析： (1) 借助题设条件运用导数与函数单调性的关系推证； (2) 借助题设条件运用导数 的有关知识求解 .试题解析：1 x 1 1 1(1) a 1

28、2e1,T x F x f x , T x 2ex 1 lnx 2e 1x 2e 1 2.x 0,T x 2ex 1 2e 1 1. 2ex 1 2e 1 关 于 x 单 调 递 增 ,xx 1 1 1 1x 0,T x 2ex 1 2e 1 0, T x 在 0, 上单调递增 .xx11( 2 )设 H x F x f x , 则 H x 2ex 1 1 1 a . 设 h x 2ex 1 1 1 a ,xx则 h x 2ex 1 12 . x 1, 2ex 1 2, 121,h x 1. h x 在 1, 内单调递x2x2增.当 x 1时, h x h 1 . 即H x 4 a, 当a 4

29、时, H x 4 a 0.当 a 4 时 , H x 在 1, 内单调递增 . 当 a 4 , x 1时 , H x H 1 , 即1F x f x . x 1, H x 2ex 1 1 a 2ex 1 2 a . 当 a 4 时 , 由x2ex 1 2 a 0 得2ex 1 2 a关于 x单调递增 , 当a 4,1 x 1 ln a 1 时, H x 单调递减 . 设 2word 格式编辑x0 1 ln, 则 H x0 H 1 0, 即 F x0 f x0 .当 a 4 时 , x0 1 ln 1 1,F x0 f x0 不成立 .2综上 , 若 x 1,F x f x ,a 的取值范围 ,

30、4 .考点：导数在研究函数的单调性和极值等方面的有关知识的综合运用 【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具. 本题就是以含参数 a的两个函数解析式为背景 , 考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合 运 用和 分析 问题解 决问题 的能 力 . 本题 的第一问 是推 证函 数 T x F x f x 在0, 上单调递增；第二问中借助导数 , 运用导数求在不等式 x 1,F x f x 恒成立 的前提下实数 a 的取值范围 . 求解借助导数与函数单调性的关系 , 运用分类整合的数学思想 进行分类推证 , 进而求得实数 a 的取值范围 , 从而使得问题简捷巧妙获解 .10（1） 1（2） a 1时，增区间 （0, ） ， a 1时，减区间 0,ln a ，增区间ln a ,（ 3） a 1【解析】试题分析：（ 1）先求 f x , f x ，根据导数的符号判断函数 f （x）在 -1