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文档简介
1、均值不等式参考材料基本知识梳理1算术平均值:如果a、b R+,那么叫做这两个正数的算术平均值2几何平均值:如果a、b R+,那么叫做这两个正数的几何平均值3重要不等式:如果a、b R,那么a2+b2 (当且仅当a=b时,取=”)均值定理:如果a、b R+,那么 口 2 -(当且仅当a=b时,取=”)均值定理可叙述为1 abab 0 ;c b a3a b-V-,2a2 b2 .5利用均值不等式求最值,和定,积最大;积定,和最小”,即两个正数的和为定值,则可 求其积的最大值;积为定值,则可求其和的最小值。注意三个条件:一正,二定,三相等”即:(1 )各项或各因式非负;(2)和或积为定值;(3)各项
2、或各因式都能取得相等的值 。6若多次用均值不等式求最值,必须保持每次取=”号的一致性。有时为了达到利用均值不等式的条件,需要经过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段,创设一个应用均值不等式的情景 。常见题型:A1、分式函数求最值,如果y = f(x)可表示为y二mg(x)B的形式,且g(x)在g(x)定义域内恒正或恒负,A . 0,m . 0,则可运用均值不等式来求最值ax + x +1例:求函数y(X *1且a . 0)的最小值。X +12ax x 11 - ax x一 、 a解:yaxax (1 -a)x +1x +1x + 1= a(x 1) 1 -2a _2a 1 -2a =1 x+1
3、,a当a(x -1)即x=0时等号成立,ymin二1X +12、题在给出和为定值,求和的最值时,一般情况都要对所求式子进行变形,用已知条件进行代换,变形之后再利用均值不等式进行求最值。19例:已知a 0,b 0,且1,求a b的最小值。a b解法一 :a b =19 臾_102 9=16a b19思路二:由1变形可得(a-1)(b-9) =9,. a 1,b 9,然后将a b变形。a b解法二:a b = (aT) (b-9) 10-2. (aT)(b-9) 10 = 2_9 10 = 16可以验证:两种解法的等号成立的条件均为a =4,b =12。此类题型可扩展为1 11设aa2、a3均为正
4、数,且a1 a2 a m,求S的最小值。a1a2a31111S=(印 a? a3)(-) maa:a3)(空-亞)a2a3=丄3 - (业)-(3 色m a a 2a a 3-1(3 2 2 2)9,等号成立的条件是 a1=a2二a3。mm3、题中所求的式子中带有根式,而且不能直接用均值不等式来求解,则可采用逆向思维来求解,对不等式逆向转换,本类题型一般情况都给出来x的取值范围,根据取值范围来 进行逆向转换。例:求函数y = 7x -3,x. 1,3的最小值。x21思路:由于所给函数的形式为无理式 ,直接求解较困难,从所给区间x丄,3入手,可得21 1一个不等式(x )(x-3)_0 (当且仅
5、当x 或x=3时取等号),展开此式讨论即 可。解:(x_1)(x _3)乞 0,即 2x22-7x 3 _ 0, 2x_7x-3,参考材料x0.2,得 ymin = - 2x4、不等式的变形在证明过程中或求最值时,有广泛应用,如:当ab 0时, babaa b - 2ab同时除以ab得2或 1一1- 一。a bab2 2 2例:已知a,b,c均为,求证: 一 a b c。b c aa2b2c2证明:;a,b,c均为正数,2a-b, 2b - c, 2c - a,bca2 . 2 2a b c(2ab) (2bc) (2ca)二 a b cb c a总之,均值不等式是高中数学的重要内容之一,它是
6、求多项式的最值以及函数的值域的常用方法。在应用均值不等式时,不论怎样变形,均需满足一正二定三相等”的条件。巩固练习】1、若a 0,b - 0,求函数 最值。ax b答案:y minab2aby maxab2ab2、求函数y二 丁逖 (x b c c a a b 2三、利用不等式解题的典型例题解析:题型一:利用均值不等式求最值(值域)12例1、( 1)已知x 0,求f (x)3x的最小值x4(2)已知x : 3,求f(x)x的最大值x-34 x的值域 x3-变式1 :1、若x R,求f(x)=2、函数y = x 、2 - x2 x 0的最大值为变式2 : 1、19已知x 0, y 0且1,求x
7、y的最小值x y2、_25x R,求 f (x)二sin2 x V 2的最小值sin x+13、2b2当0 x 1, a,b为正常数时,求y =色 的最小值x 1 -x变式3 : 1、函数y = loga (x - 3) -1(a 0, a = 1)的图象恒过定点,若点A在直线mx ny 1 = 0上,其中mn 0 ,则1-的最小值为m n2(x23)2、求y的最小值为Jx2 +2参考材料3、已知0 :: x , f(X)二 2009 的最小值为2sinx 1 -s inx变式4: 1、已知x,y都是正实数,且x y _3xy 5 =0(1)求xy的最小值(2)求x y的最小值题型二:利用均值
8、不等式证明不等式例2、已知a,b,c. R,求证:2 2 2(1)abc - ab bc ca(2)a2b2.b2c2.c2a2、2 a b c(3)a4b4c4 _a2b2 b2c2c2a2_ abc a b cbc ac ab 变式5: 1、已知a, b, c R ,且a, b, c,不全相等,求证:abcabc222 I2、已知 a,b, c,R,且 a b 1,求证:a b c .3(1 V 门3、已知 a A0,b A0,a +b =1,求证:1 十一 ii1 + $9I a人b丿题型三:利用基本不等式解应用题例3、某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉 6吨,每吨面粉的价格为1800元,面粉的保管等其它费用为平均
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