均值不等式常见题型整理

1、均值不等式参考材料基本知识梳理1算术平均值：如果a、b R+,那么叫做这两个正数的算术平均值2几何平均值：如果a、b R+,那么叫做这两个正数的几何平均值3重要不等式：如果a、b R,那么a2+b2 （当且仅当a=b时，取=”）均值定理：如果a、b R+，那么 口 2 -（当且仅当a=b时，取=”）均值定理可叙述为1 abab 0 ;c b a3a b-V-,2a2 b2 .5利用均值不等式求最值，和定，积最大；积定，和最小”，即两个正数的和为定值,则可 求其积的最大值；积为定值,则可求其和的最小值。注意三个条件：一正，二定，三相等”即：（1 ）各项或各因式非负；（2）和或积为定值;（3）各项

2、或各因式都能取得相等的值 。6若多次用均值不等式求最值，必须保持每次取=”号的一致性。有时为了达到利用均值不等式的条件，需要经过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个应用均值不等式的情景 。常见题型：A1、分式函数求最值,如果y = f(x)可表示为y二mg(x)B的形式，且g(x)在g(x)定义域内恒正或恒负，A . 0,m . 0,则可运用均值不等式来求最值ax + x +1例：求函数y(X *1且a . 0)的最小值。X +12ax x 11 - ax x一 、 a解：yaxax (1 -a)x +1x +1x + 1= a(x 1) 1 -2a _2a 1 -2a =1 x+1

3、,a当a(x -1)即x=0时等号成立，ymin二1X +12、题在给出和为定值，求和的最值时，一般情况都要对所求式子进行变形，用已知条件进行代换，变形之后再利用均值不等式进行求最值。19例：已知a 0,b 0,且1，求a b的最小值。a b解法一 ：a b =19 臾_102 9=16a b19思路二：由1变形可得(a-1)(b-9) =9,. a 1,b 9,然后将a b变形。a b解法二：a b = (aT) (b-9) 10-2. (aT)(b-9) 10 = 2_9 10 = 16可以验证：两种解法的等号成立的条件均为a =4,b =12。此类题型可扩展为1 11设aa2、a3均为正

4、数，且a1 a2 a m，求S的最小值。a1a2a31111S=(印 a? a3)(-) maa：a3)(空-亞)a2a3=丄3 - (业)-(3 色m a a 2a a 3-1(3 2 2 2)9，等号成立的条件是 a1=a2二a3。mm3、题中所求的式子中带有根式，而且不能直接用均值不等式来求解，则可采用逆向思维来求解，对不等式逆向转换，本类题型一般情况都给出来x的取值范围，根据取值范围来 进行逆向转换。例：求函数y = 7x -3,x. 1,3的最小值。x21思路：由于所给函数的形式为无理式 ，直接求解较困难，从所给区间x丄，3入手，可得21 1一个不等式(x )(x-3)_0 (当且仅

5、当x 或x=3时取等号)，展开此式讨论即 可。解：（x_1）（x _3）乞 0,即 2x22-7x 3 _ 0, 2x_7x-3,参考材料x0.2,得 ymin = - 2x4、不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当ab 0时， babaa b - 2ab同时除以ab得2或 1一1- 一。a bab2 2 2例：已知a,b,c均为，求证: 一 a b c。b c aa2b2c2证明：；a,b,c均为正数，2a-b, 2b - c, 2c - a，bca2 . 2 2a b c（2ab） （2bc） （2ca）二 a b cb c a总之，均值不等式是高中数学的重要内容之一，它是

6、求多项式的最值以及函数的值域的常用方法。在应用均值不等式时，不论怎样变形，均需满足一正二定三相等”的条件。巩固练习】1、若a 0,b - 0,求函数 最值。ax b答案:y minab2aby maxab2ab2、求函数y二 丁逖 (x b c c a a b 2三、利用不等式解题的典型例题解析：题型一：利用均值不等式求最值(值域)12例1、( 1)已知x 0，求f (x)3x的最小值x4(2)已知x : 3，求f(x)x的最大值x-34 x的值域 x3-变式1 :1、若x R，求f(x)=2、函数y = x 、2 - x2 x 0的最大值为变式2 : 1、19已知x 0, y 0且1，求x

7、y的最小值x y2、_25x R，求 f (x)二sin2 x V 2的最小值sin x+13、2b2当0 x 1, a,b为正常数时，求y =色 的最小值x 1 -x变式3 : 1、函数y = loga (x - 3) -1(a 0, a = 1)的图象恒过定点，若点A在直线mx ny 1 = 0上，其中mn 0 ,则1-的最小值为m n2(x23)2、求y的最小值为Jx2 +2参考材料3、已知0 :： x , f（X）二 2009 的最小值为2sinx 1 -s inx变式4: 1、已知x,y都是正实数，且x y _3xy 5 =0（1）求xy的最小值（2）求x y的最小值题型二：利用均值

8、不等式证明不等式例2、已知a,b,c. R，求证：2 2 2（1）abc - ab bc ca（2）a2b2.b2c2.c2a2、2 a b c（3）a4b4c4 _a2b2 b2c2c2a2_ abc a b cbc ac ab 变式5: 1、已知a, b, c R ,且a, b, c,不全相等，求证:abcabc222 I2、已知 a,b, c，R，且 a b 1，求证：a b c .3（1 V 门3、已知 a A0,b A0,a +b =1，求证：1 十一 ii1 + $9I a人b丿题型三：利用基本不等式解应用题例3、某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉 6吨，每吨面粉的价格为1800元,面粉的保管等其它费用为平均