高一解三角形试题与答案

1、解三角形测试题一、选择题：1、abc 中,a=1,b=3, a=30,则b 等于（ ）a 60b 60或 1202、符合下列条件的三角形有且只有一个的是c30或 150d120（ ）aa=1,b=2 ,c=3ca=1,b=2,a=100b a=1,b= 2 ,a=30c b=c=1, b=453、在锐角三角形 abc 中，有（ ）acosasinb 且 cosbsinabcosasinb 且 cosbsinb 且 cosbsina dcosasina 4、若(a+b+c)(b+ca)=3abc,且 sina=2sinbcosc, 那么abc 是（ ）a直角三角形c等腰三角形b等边三角形d等腰直

2、角三角形5、设 a、b、c 为三角形的三内角,且方程(sinbsina)x2 等根，那么角 b+(sinasinc)x +(sinc sinb)=0 有（ ）ab60bb60cb60db 606、满足 a=45,c=6,a=2 的abc 的个数记为 m,则 a m 的值为（ ）a4 b2 c1d不定7 、如图： d,c,b 三点在地面同一直线上 ,dc=a, 从 c,d 两点测得 a 点仰角分别是 ,(),则 a 点离地面的高度 ab 等于 （ ）aa sin asin b a sin asin bb sin( b-a) cos(a-b)aca sinsin(acos b a cos asin

3、 bdb-a) cos(a-b)ad cbb8、两灯塔 a,b 与海洋观察站 c 的距离都等于 a(km), 灯塔 a 在 c 北偏东 30,b 在 c 南abc偏东 60,则 a,b 之间的相距（ ）aa (km)二、填空题：b 3 a(km) c 2 a(km) d2a (km)9、a 为abc 的一个内角,且 sina+cosa=712, 则abc 是_三角形.10、在abc 中，a=60, c:b=8:5,内切圆的面积为 12,则外接圆的半径为_.11、在abc 中，若 s =14(a2+b2c2),那么角c=_.12、在abc 中，a =5,b = 4,cos(ab)=3132,则

4、cosc=_.三、解答题：13、在abc 中,求分别满足下列条件的三角形形状： b=60,b2=ac； b2tana=a2tanb；sinc=sin a +sin b cos a +cos b (a2b2)sin(a+b)=(a2+b2)sin(ab).14 、已知 abc 三个内角 a 、b 、 c 满足 a+c=2b,1 1 2+ = , 求 cos a cos c cos bcosa -c2的值.15、二次方程 ax22bx+c=0,其中 a、b、c 是一钝角三角形的三边,且以 b 为最长.证明方程有两个不等实根； 证明两个实根,都是正数；若 a=c,试求|的变化范围.16 、海岛 o

5、上有一座海拨 1000 米的山 , 山顶上设有一个观察站 a, 上午 11 时 , 测得一 轮船在岛北 60东 c 处,俯角 30,11 时 10 分, 又测得该船在岛的北 60西 b 处, 俯角 60.1 这船的速度每小时多少千米？1 如 果 船 的 航 速 不 变 , 它 何 时 到 达 岛 的 正 西 方 向 ？ 此 时 所 在 点 e 离 岛 多 少 千 米？参考答案解三角形一、bdbbd aac二、（9）钝角 （10）1433p（11） （12） 418三、（13）分析：化简已知条件，找到边角之间的关系，就可判断三角形的形状 . 由余弦 定理cos 60=a 2 +c 2 -b 2

6、a 2 +c 2 -b 2 1 = a 2 +c 2 -ac =ac ( a -c ) 2 =0 2ac 2ac 2， a =c. 由 a=c 及 b=60可知abc 为等边三角形. 由 b 2 tan a =a 2 tan b b2 sin acos aa 2 sin b sin b cos a b 2 sin 2 b= = = sin a cos a =sin b cos b , sin 2 a =sin 2b, cos b sin a cos b a 2 sin 2 aa=b 或 a+b=90，abc 为等腰或 .q sin c =sin a +sin b cos a +cos b，由正

7、弦定理：c(cos a +cos b ) =a +b,再由余弦定理： c a2+b 2 -c 2 a 2 +c 2 -b +c 2bc 2 ac2=a +b (a +b )( c 2 -a 2 -b 2 ) =0, c 2 =a 2 +b 2 , dabc 为rt d. 由 条 件 变 形 为sin( a -b ) a=sin( a +b ) a22-b+b22sin( a +b ) +sin( a -b ) a 2 sin a cos b sin 2 a = , = sin 2 a =sin 2 b , a =b或a +b =90 sin( a +b ) -sin( a -b ) b 2 c

8、os a sin b sin 2 b.abc 是等腰或 . 点评：这类判定三角形形状的问题的一般解法是：由正弦定理 或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简考察边或角的 关系，从而确定三角形的形状. 有时一个条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以混用. 如本例的也可用余弦定理，请同学们试试看.（ 14 ） 分 析 ：q a +c =2 b , b =60 ,a +c =120 再 代 入 三 角 式 解 得 a 或 c. 解 ：q a +c =2 b,180-b =2 b , b =60.a +c =120.由已知条件化为：1 1+ =-2 2. cos(120-

9、a) +cos a =-2 2 cos a cos(120-a)cos a cos(120-a), 设a -c2=a,则a =60+a,c =60-a.代入上式得：cos(60-a)+cos(60 +a)=-2 2 cos(60 +a)cos(60 -a).化简整理得4 2 cos2a+2 cosa-3 2 =0 (2 cosa- 2)(2 2 cosa+3) =0, cosa =2 a +c 2, 即cos =2 2 2. 注：本题有多种解法. 即可以从上式中消去 b、c 求出 cosa，也可以象本例的解法.还可以用和、差化积 的公式，同学们可以试一试.（15）分析：证明方程有两个不等实根，

10、即只要验证 即可.要证，为正数，只要证 明 0 ， + 0 即 可 . 解 ： 在 钝 角 abc 中 ， b 边 最长. -1 cos b 0.（其中2( a -c ) 2 0且 -4 ac cos b 0方程有两个不相等的实根. a+b=2b c 0, ab= 0,a a两实根、都是正数.ac 2ba+b=a=c 时， , (a-b)2 =a 2 +b2 ab= =1 a2b 2-2ab=(a+b)2-4ab= -4 =a 22( a2+c2-2 ac cos b ) -4 a a 22=-4cos b ,q -1 cos b 0, 0 -4cos b 4,因此 0 |a-b|2.（16）分析：这是一个立体的图形，要注意画图和空间的简单感觉.解：如图：所示. ob=oatan 30 o=33(千米)， oc = 3 （千米）则 bc =ob2 +oc 2-2ob oc cos120=133（千米） 船速 v =13 10 =2 393 60（千米/小时）ob 2 +bc 2 -oc 2 5 13由余弦定理得：cos obc = = , sin ebo =sin obc =2ob bc 261 -(5 13 3 39 5 13) 2 = , cos ebo =- ,sin oeb =sin180-(ebo +