2013届高考数学一轮复习讲义6.2 等差数列及其前n项和

1、等差数列及其前等差数列及其前n n 忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点 从第二项起，每一项减去它的前一项所得的从第二项起，每一项减去它的前一项所得的 差都等于同一个常数差都等于同一个常数 公差公差 d d 忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点 忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点 大大 小小 忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点 整体思想在等差数列解题中的应用整体思想在等差数列解题中的应用 1定义：定义： 2 通项公式：通项公式： n a成成等等差差数数列列 1 (1) n aand 1nn aa 常常数数 2 1 () 22 n dd Snan 00dn 当当时时, ,是是

2、关关于于 的的常常数数项项为为 的的二二次次函函数数式式. . 1 1 ()(1) 22 n n n aan nd Sna 3.前前 n 项和公式：项和公式： 1 0. n dSna 当当时时, , 2 n Sanbn .等差数列性质：等差数列性质： (1)() nm aanm d (2)mnpq 若若 mnpq aaaa nm aa d nm (3)若数列若数列an是等差数列，则是等差数列，则 23243 , kkkkkkk S SS SSSS 也是等差数列也是等差数列 0 nnnn akk akab ， 12 ，dkddd (4) 若数列若数列an bn是等差数列，则是等差数列，则 仍为等

3、差数列仍为等差数列. 公差分别为公差分别为 2, n an( (5 5) )若若共共有有项项 则则 12 2 1 () 2 () 2 n n nn n aa S n aa SSnd 偶偶奇奇 1n n Sa Sa 偶偶 奇奇 21 (21) nn Sna n SSa 奇奇偶偶 1 S n Sn 偶偶 奇奇 .等差数列性质：等差数列性质： 2,1 n na 若若共共有有项项 则则 5.5.等差数列判定方法：等差数列判定方法： （1 1）定义法：）定义法： （2 2）递推公式法：）递推公式法： （3 3）通项法：）通项法： （4 4）前）前n项和法：项和法： 1nn aa 常常数数 , n akn

4、bk b （其其中中为为常常数数） 11 2 nnn aaa 2 () n Sanbn a b , , 为为常常数数 (2)若若a10，d0, 则则Sn有最小值，有最小值， 6. 等差数列前等差数列前 n 项和的最值项和的最值 1 0 0 n n a a 1 0 0 n n a a (1)若若a10，d0，则，则Sn有最大值，有最大值， n可由可由 确定；确定； n可由可由 确定；确定； 解解1. 例例1.在等差数列在等差数列an中，中，a1=25，S9=S17问这个问这个 数列前多少项和最大？并求出这个最大值数列前多少项和最大？并求出这个最大值. 917 ,SS 2 (1) 25( 2)26

5、 2 n n n Snnn 当当n=13时时, Sn的最大值为的最大值为169. 9 817 16 9 2517 25, 22 dd 2.d 2 (13)169,n 25 (1) ( 2)227. n ann 1313 , S169.S 最最大大 917 ,SS 9 817 16 9 2517 25, 22 dd 解解2. 2.d 1 2270 2250 n n an an 解解， 12.513.5 . n得得 例例1.在等差数列在等差数列an中，中，a1=25，S9=S17问这个问这个 数列前多少项和最大？并求出这个最大值数列前多少项和最大？并求出这个最大值. 解解3.3. 917 SS ,

6、 1011121314151617 +0,aaaaaaaa 1314 4(+)0.aa 1413 .aa 1314 0,0.aa an是递减数列是递减数列, 当当n=13时时, Sn的最大值为的最大值为169. 例例1.在等差数列在等差数列an中，中，a1=25，S9=S17问这个问这个 数列前多少项和最大？并求出这个最大值数列前多少项和最大？并求出这个最大值. 解法解法4: 2 25. n Snn 13 9 17 . 2 n S S 的的图图像像是是开开口口向向下下的的抛抛物物线线上上一一群群离离散散的的点点， 最最高高点点的的纵纵坐坐标标为为，即即最最大大 917 ,SS 9 817 16

7、 9 2517 25, 22 dd 2.d 例例1.在等差数列在等差数列an中，中，a1=25，S9=S17问这个数列问这个数列 前多少项和最大？并求出这个最大值前多少项和最大？并求出这个最大值. 例例 在在等等差差数数列列中中，求求数数列列 的的前前的的和和 36 2.21,24, |. n nn aSS anT 1 1 3321 :, 61524 ad ad 解解由由得得 1 9 . 2 a d 112 . n an 令令得得1120, n an5.5.n 当当时时, ,5n 12 | nn Taaa 12n aaa (9112 ) 2 n n 2 10 ;nn 当当时时, ,5n 123

8、456 | nn Taaaaaaa 123456 ()() n aaaaaaa 1234512 2()() n aaaaaaaa 5 2 n SS 2 2 ( 510 5) (9112 ) 2 n n 2 1050.nn n T 2 10 ,5,nn n 2 1050,5.nnn 例例 在在等等差差数数列列中中，求求数数列列 的的前前的的和和 36 2.21,24, |. n nn aSS anT 例例3. 一个等差数列的前一个等差数列的前12项之和为项之和为354,前前12项项 中偶数项与奇数项之比为中偶数项与奇数项之比为32:27,求公差求公差. 解解1: 设首项为设首项为a1，公差为，公

9、差为d , 则则 1 1 1 12 11 12354, 2 6 5 6()2 322 . 6 527 62 2 ad add ad 5.d 解这个方程组解这个方程组,得得 354, 32 , 27 SS S S 奇奇偶偶 偶偶 奇奇 解解2. 192, 162. S S 偶偶 奇奇 6 ,SSd 偶偶奇奇 由由 5.d 得得 例例3. 一个等差数列的前一个等差数列的前12项之和为项之和为354,前前12项项 中偶数项与奇数项之比为中偶数项与奇数项之比为32:27,求公差求公差. 【1】在项数为】在项数为2n的等差数列中的等差数列中,各奇数项的和为各奇数项的和为 75,各偶数项为各偶数项为90,

10、末项与首项的差为末项与首项的差为27, 则项数则项数2n的值的值 为多少？为多少？ 15, (21)27, SSnd nd 偶偶奇奇 3,5.dn 3 【2】已知某等差数列共有】已知某等差数列共有10项，其奇数项之项，其奇数项之 和为和为15，偶数项之和为，偶数项之和为30，则其公差为，则其公差为 . 【3】等差数列的前等差数列的前10项之和为项之和为100，前，前100 项之和为项之和为10，则前，则前110项之和为项之和为 .-110-110 【4】已知等差数列已知等差数列an的前的前 m项和为项和为30,前前 2m项和为项和为100,则则 它的前它的前 3m项的和为项的和为_.21021

11、0 例例4.已知已知 且且 求求 . 2 1 a 11 20. nnnnn aaaaa ， n a 11 20 nnnnn aaaaa 解解： 由由，且且，得得 1 11 2 nn aa 令令 ,则数列则数列bn是公差为是公差为- -2的等差数列的等差数列. n n a b 1 1 (1) n bbnd 1 541 2(1) 2 n n a ， 2 . 5 4 n a n 例例5.已知数列已知数列an中，中， (nN*,aR, 且且a0). （1）若）若a=- -7，求数列，求数列an中的最大项和最小项的值；中的最大项和最小项的值； （2）若对任意的）若对任意的nN*，都有，都有ana6成立，

12、求成立，求a的取值范的取值范 围围. 1 1 2(1) n a an 可知可知1a1a2a3a4; a5a6a7an1 (nN*). 数列数列an中的最大项为中的最大项为a5=2,最小项为最小项为a4=0. 1 12 (2)11. 2(1)2 2 n a ana n 1 2 ( )1 2 2 f x a x 2 56, 2 a 对任意的对任意的nN*,都有都有 ana6 成立，成立， 并结合函数并结合函数 的单调性，的单调性， 108.a 例例5.已知数列已知数列an中，中， (nN*,aR, 且且a0). （1）若）若a=- -7，求数列，求数列an中的最大项和最小项的值；中的最大项和最小项

13、的值； （2）若对任意的）若对任意的nN*，都有，都有ana6成立，求成立，求a的取值范的取值范 围围. 1 1 2(1) n a an 【2】已知等差数列已知等差数列an中，中， 则则Sp+q的值为的值为_. ,(), pq Sq Sp pq ()pq 【1】若】若 , 则则 , pq aq ap _. p q a 0 0 2 22 2 ()() ApBpq A pqB p qqp AqBqp . .()1A pqB 2 ()()(). p q SA pqB pqpq 设设 2 (N ) n SAnBn n 【2】已知等差数列已知等差数列an中，中， 则则Sp+q的值为的值为_. ,(),

14、pq Sq Sp pq ()pq 由已知由已知 1 1 (1) , 2 (1) . 2 p q p p Spadq q q Sqadp 1 ()(1) (). 2 pqpq pq adqp 两式相减得两式相减得 ,pq 1 1 1. 2 pq ad 1 ( (1) 2 ) p q pq aSpqd ().pq 【2】已知等差数列已知等差数列an中，中， 则则Sp+q的值为的值为_. ,(), pq Sq Sp pq ()pq 【3】 （ ） B B . 0, 0 98 aa 【1】已知等差数列】已知等差数列an中中,|a3|=|a9|,公差公差d0, 则使前则使前n项和取得最大值时项和取得最大

15、值时n的值是的值是 . 5 和和 6 39 aa 39 | | 0 aa d 39 0aa 6 20a 56 SS 【1】 成成等等 差数列差数列, 则则x =_. 333 log 2, log (21), log (211) xx 333 2log (21)log 2log (211) xx 2 (21)2(211) xx 2 (2 )42210 xx 27 x 2 log 7x. . 2 log 7 1 2 【2】 21 21 1438 24 nn nn aS n bTn - - - - + + = - - 33 7, 2n = =+ + - - 3 3 5,13,35.n故故 可可取取

16、. 2 1 2 21 n nn n S SS S 1 . 21 n S n 2 1 1 3 2 2 14 n n a n n 11 1 11 22(2) nnnn nn SSS Sn SS 【补偿【补偿1】已知数列已知数列an中，中， 1 1,0, n aa 1 22 1 (1)0,N , n nnn nanaaan 则则an=_. 1 1 (1)()0 n nnn naaana 1 (01) n n nana 1 1 n n a n an 132 1 1221 nn n nn aaaa aa aaaa 122 1 13 2 1 nn nn 1 . n 1 n 132 1 1221 ,2. n

17、n n nn aaaa aa n aaaa 【补偿【补偿2】已知数列已知数列an中中, a1=1, 1 1 3 ,2 n nn aan 1221 33331 nn 31 . 2 n 则则an=_. 33 1 1 3 n 31 2 n 112211 () ()() nnnnn aaaaaaaa 112211 () ()() nnnnn aaaaaaaa 121321 ()()() nnn aaaaaaaa 1 324 ln() 1231 n a n 2ln .n 2lnn 【5】(08 四川四川 文文) 设数列设数列 an 中，中，a1=2, an+1=an+n+1, 则通项则通项 an= _.

18、 (1) 1 2 n n 解解: 由由an+1= an+n+1 可得，可得， 以上以上n- -1个式子左右两边分别相加得，个式子左右两边分别相加得， 1 23, n aan 1(123) n an 1 , nn aan 12 1, nn aan 32 3,aa 21 2,aa (1) 1. 2 n n (1)(1)算出前几项，再归纳、猜想；算出前几项，再归纳、猜想； (2)“(2)“an+1 n+1= =pan n+ +q” ”这种形式通常转化为这种形式通常转化为an+1 +1+ + = =p( (an+ +),),由待定系数法求出由待定系数法求出, ,再化为等再化为等 比数列；比数列； (3)(3)逐差累加或累乘法逐差累加或