垂直平分线和角平分线典型题

1、定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上线段的垂直平分线与角平分线 （1）知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（ 1）垂直平分线性质定理： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等.定理的数学表示： 如图 1，已知直线 m 与线段 AB垂直相交于点 D， 且 AD BD，若点 C在直线 m 上，则 AC BC.定理的作用：证明两条线段相等（ 2）线段关于它的垂直平分线对称 .课堂笔记：2、线段垂直平分线性质定理的逆定理1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上定理的数学表示：如图 2，已知直线 m 与线段 AB垂直相交于点 D，若 ACBC

2、，则点 C在直线 m 上 .课堂笔记：3、关于三角形三边垂直平分线的定理（ 1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等定理的数学表示：如图 3，若直线 i, j,k分别是 ABC三边 AB、BC、CA的垂直平分线，则直线 i, j , k相交于一点 O，且 OAOBOC.定理的作用： 证明三角形内的线段相等2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形， 则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点； 若三角形是钝角三角形， 则它三边垂直平分线的交点 在三

3、角形外部 .反之， 三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部， 则该三角形是锐角三角形； 三角 形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交 点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形经典例题：例 1 如图 1，在 ABC 中，BC 8cm，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D ， 长等于 18cm ，则 AC 的长等于（ ）D 12cmA6cmB8cmC 10cm课堂笔记：针对性练习：已知：1）如图 ， AB=AC=14cm,AB 的 垂直 平分 线交 AB 于点 D ，交 AC 于点BCE，如果 EBC 的周长是 24cm，那么 BC=2） 如图， AB

4、=AC=14cm,AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，如果 BC=8cm，那么 EBC 的周长是3） 如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，如果 A=28 度，那么 EBC 是例 2. 已知： AB=AC ，DB=DC ，E 是 AD 上一点，求证： BE=CE 。课堂笔记：针对性练习：已知：在 ABC 中，ON是 AB 的垂直平分线 ,OA=OC 求证：点 O 在 BC 的垂直平分线A例 3. 在 ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与边 AC 所在的直线相交所成锐角为 50 ，CA BC 的底角 B 的大小为 课堂笔记：针

5、对性练习：1. 在ABC 中， AB=AC ，AB 的垂直平分线与 AC 所在直线相交所得的锐角为 40，则底角 B 的大小 为 。例 4、如图 8，已知 AD是 ABC的 BC边上的高，且 C2B， 求证： BD ACCD.证明：在 BD 上取一点 E，使 DEDC ，连接 AE，则 AEAC，D. 等边三角形课堂笔记：课堂练习：1. 如图， AC=AD，BC=BD，则（ ）A.CD垂直平分 AD B.AB垂直平分 CDC.CD平分 ACBD.以上结论均不对2. 如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部， 那么，这个三角形是（ ）A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形3.

6、下列命题中正确的命题有（ ）线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；线段上任一点到垂直平分线两端距 离相等；经过线段中点的直线只有一条； 点 P在线段 AB外且 PA=PB，过 P作直线 MN， 则 MN是线段 AB 的垂直平分线；过线段上任一点可以作这条线段的中垂线 .A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个4. ABC中，AB的垂直平分线交 AC于 D，如果 AC=5 cm，BC=4cm，那么 DBC的周长是（）A.6 cm B.7 cm C.8 cmD.9 cm5. 已知如图，在 ABC中， AB=AC，O是 ABC内一点，且 OB=OC， 求证： AOBC.6. 如图，在 AB

7、C中， AB=AC， A=120， AB的垂直平分线 MN分别交 BC、AB于点 M、N. 求证： CM=2BM.课后作业：1. 如图 7，在ABC中，AC23，AB的垂直平分线交 AB于点 D，交 BC于点 E， ACE的周长为 50，求 BC 边的长 .图72. 已知：如图所示， ACB ， ADB 都是直角，且 AC=AD ，P是 AB 上任意一点，求证： CP=DP。线段的垂直平分线与角平分线（ 2）知识要点详解B4、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 .定理的数学表示： 如图 4，已知 OE是 AOB的平分线， F是 OE上一点， 若 C

8、F OA于点 C，DF OB于点 D，则 CFDF.定理的作用 ：证明两条线段相等；用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线 课堂笔记：5、角平分线性质定理的逆定理：角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上 .定理的数学表示：如图 5，已知点 P 在 AOB的内部，且 PCOA于 C，PD OB于 D，若 PCPD，则点 P在 AOB的平分线上 .定理的作用： 用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系 课堂笔记：FIB图 6 P D6、关于三角形三条角平分线的定理：（ 1）

9、关于三角形三条角平分线交点的定理： 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等 . 定理的数学表示：如图 6，如果 AP、 BQ、CR分别是 ABC的内角BAC、 ABC、 ACB的平分线，那么： AP、BQ、CR相交于一点 I ； 若 ID、IE 、IF 分别垂直于 BC、CA、AB于点 D、E、F，则 DIEI FI. 定理的作用： 用于证明三角形内的线段相等；用于实际中的几何作图问题 .2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部 .7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：1）会作已知线段的垂直平分线；（2）会作已知角

10、的角平分线；3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.课堂笔记：经典例题：例1、 已知：如图，点 B、C在A 的两边上，且 PEAB，PFAC，垂足分别是 E、 F。课堂笔记：求证： PE=PF针对性练习：已知： PA、PC分别是 ABC 外角 MAC 和NCA 平分线，它们交于 P，PDBM 于 D，PFBN 于 F，求证： BP 为 MBN 的平分线。ABCD中，ABCD，ABBC，例 2、如图 10，已知在直角梯形 ADC，求证： AE平分 BAD. 课堂笔记：针对性练习：如图所示， AB=AC ，BD=CD ，DEAB 于 E，DFAC 于 F，求证： DE=DF 。例 3、如图 11-1 ，已知在四边形 ABCD中，对角线 BD平分 ABC，且 BAD与 BCD互补，课堂练习：1. ABC 中，AB=AC ，AC的中垂线交 AB 于 E，EBC的周长为 20cm，AB=2BC ，则 腰长为。2. 如图所示， AB/CD ，O为 A、 C的平分线的交点， OEAC于E，且 OE=2，则AB 与 CD 之间的距离等于 。已知：如图， B=C=900，DM 平分 ADC， AM 平分