实验报告泊松过程

1、Poisson 过程的模拟和检验一、实验目的1、理解掌握 Poisson 过程的理论，了解随机过程的模拟实现技 术；2、学习并掌握在实际中如何检验给定的随机过程是否为 Poisson 过 程。二、实验内容1、利用C语言、MATLA等工具，结合Poisson过程等相关结论， 模拟 Poisson 过程；2、查找资料、学习关于 Poisson 过程假设检验的相关知识，检 验上述模拟实现的到达过程是否满足 Poisson 过程的定义。三、作业要求提交实验报告电子版，说明模拟实现的过程，检验原理、步骤等 以及实现过程；提交程序源代码。四、实验原理1 、泊松过程（1 ）计数过程如果用x（t）表示0 ,

2、t内随机事件发生的总数，则随机过程 X（t）， t 0 称为一个计数过程。且满足：1 ) x(t ) 0 ；2) x(t)是整数值；3) 对任意两个时刻0 ti t2，有x(ti) x(t2)；4) 对任意两个时刻o ti t2。X(t2)X(ti)等于在区间(ti,t2中发生的事件的个数。(2) 泊松过程设随机过程 N(t)，t 0是一个计数过程，满足1) N(0)0 ；2) N(t)是独立增量过程；3) 对任一长度为t的区间中事件的个数，服从均值为t(0)的泊松分布，即对一切s,t0，有kPN(t s) N(s) kt,k 0,1,2丄k!则称N(t)为具有参数 的Poisson(泊松)过

3、程。(3) 到达时间间隔Tn的分布设 X(t)， t 0为泊松过程，X (t)表示到时刻t为止已发生的事 件的总数；Wn，(n 1,2,3丄)表示第n次事件发生的时刻；Tn,(n 1,2,3丄) 表示第n次与第n-1次事件发生的时间间隔。显然，nWn T1 T2 L TnTii 1定理3.2 设X(t)，t 0是参数为(0 )的泊松过程，则到达时间间隔序列T1, T2,L是相互独立的随机变量序列，且都有相同的均 值为1/的指数分布。则根据上述泊松分布模型可知，X(t),t 0是一个计数过程，Tn,n 1是对应的时间间隔序列，若Tn(n) ( n=1,2,)是独立同分布 的均值为-的指数分布，则

4、X(t),t 0是具有参数为 的泊松过程。2、泊松过程检验方法Kolmogorov-Smirnov检验(柯尔莫哥洛夫-斯摩洛夫)，亦称拟 合优度检验法，用来检验模拟所得的数据的分布是不是符合一个理论 的已知分布。五、实验过程1、泊松过程的模拟(1) 实验思路本实验采用MATLABR2010编程软件，从构造服从指数分布的时 间间隔Tn入手，计算每个事件的发生时刻 Wn，最后得到X(t)，即模拟 了泊松过程。(2) 实验步骤a) 由函数random( exponential ,lamda)构造服从指数分布 的Tn序列；b) 根据泊松分布模型，Wn 1 Wn Tn 1 ；c) 对任意t (Wn,Wn

5、 1)，X(t) n,由此得到泊松过程的模拟。2、泊松过程的检验(1)条件设定H1:实验产生模拟泊松分布数据的总体分布服从泊松分布。HO:实验产生模拟泊松分布数据的总体分布不服从泊松分布。( 2)检验准备对于H1,已经假定所产生模拟泊松过程数据 X(n)服从泊松分布， 而强度 未知，利用函数 poissfit(x,alpha) 估算出模拟泊松过程的 强度 ，再利用函数 poisscdf(x,lamda) 得到泊松分布的累积分布函 数P。( 3) Kolmogorov-Smirnov 检验直 接 调 用 Kolmogorov-Smirnov 检 验 函 数 kstest(x,x,p,alpha)

6、 ，其中， x 为输入模拟泊松序列， P 为累积分 布函数， 1- alpha 为置信区间，当结果 H1 1时，则输入数据是泊松 分布；否则，不是泊松分布。六、实验结果1、泊松过程的模拟本实验在2，Tmax 50的情况下所得结果如图1和图2所示，为一泊松过程：_T厂 /JrF石50100200300400500序列个数图1模拟泊松序列图O 53 20 5 02 11 数件事生发X/数件事生发泊松过程102030时间/W图1模拟泊松过程图泊松过程40500 53 20 5 02 11从实验结果图1和图2中可以清楚地看出，在t=0时刻，计数为 0,满足x(o)=o 这一条件；Tn是由 random( exponential ,lamda)生成，所以Tn间相互独立；在充分小的时间间隔内，最多有一个事情发生，而不可能有两个或两个以上事件同时发生，同时可以看出X(t)是一个平稳增量过程，结合条件