圆有关证明与计算题专题

1、圆的证明与计算 专 题 研 究圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解 决好此题比较关键。一、考点分析：1. 圆中的重要定理 :（1）圆的定义 : 主要是用来证明四点共圆 .（2）垂径定理 : 主要是用来证明弧相等、线段相等、垂直关系等等 .（3）三者之间的关系定理 : 主要是用来证明弧相等、线段相等、圆心角相等 .（4）圆周角性质定理及其推轮 : 主要是用来证明直角、角相等、弧相等 .（5）切线的性质定理 : 主要是用来证明垂直关系 .（6）切线的判定定理 : 主要是用来证明直线是圆的切线 .（7）切线长定理 : 线段相等、垂直关系、

2、角相等 .2. 圆中几个关键元素之间的相互转化 : 弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化 . 这在圆中的证明 和计算中经常用到 .二、考题形式分析 ：主要以解答题的形式出现 , 第 1 问主要是判定切线；第 2 问主要是与圆有关的计算：求线段长（或面积） ；求 线段比；求角度的三角函数值（实质还是求线段比） 。三、解题秘笈 ：1、判定切线的方法：（ 1） 若切点明确，则“连半径，证垂直” 。常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；（ 2） 若切点不明确，则“作垂直，证半径” 。 常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角

3、平分线； 总而言之， 要完成两个层次的证明： 直线所垂直的是圆的半径 （过圆上一点） ；直线与半径的关系是互相垂直。 在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化, 要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线. 例：（1）如图， AB是 O的直径， BCAB，ADOC交 O于 D点，求证： CD为 O的切线；（2）如图，以 RtABC的直角边 AB为直径作 O，交斜边 AC于 D，点 E为 BC的中点，连结 DE，求证： DE是 O 的切线 .（3）如图，以等腰 ABC的一腰为直径作 O，交底边 BC于 D，交另一腰于 F，若 DEAC于 E（或 E为 CF中点）， 求证： DE是 O

4、的切线 .CD是 O的切线 .（4）如图， AB是O的直径， AE平分 BAF，交 O于点 E，过点 E作直线 EDAF，交 AF的延长线于点 D，交 AB 的延长线于点 C，求证：B2、与圆有关的计算： 计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规 律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进 行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的 数学思想方法有：（ 1）构造思想 ：如：构建矩形转化线段；构建“射影定理”基本图研究线

5、段（已知任意两条线段可求其它所 有线段长）；构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；构造勾股定理模型；构造三角函数 .2）方程思想： 设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问 题。（ 3）建模思想： 借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形 的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。3、典型基本图型：图形 1：如图 1： AB是 O的直径，点 E、C是 O上的两点 ，基本结论有：1）在“ AC平分 BAE”；“ ADCD”；“ DC是 O的切线”三个论断中，知二推一。图形 2：

6、如图 ：RtABC中， ACB=90。点 O是 AC上一点，以2OC为半径作 O交 AC于点 E，基本结论有 ：3）在图（ 1）中的线段 BC、CE、AE、AD中，知二求四。AE 14）如图（ 3），若 BC=C，E则：= =tanADE；BC：AC：AB=3：4：5 ；（在、中知一推二）设AD 2BE、CD交于点 H，, 则 BH=2EH图形 3：如图： RtABC中， ABC=90 , 以 AB为直径作 O交 AC于 D， 基本结论有： 如右图：（1）DE切 O E是 BC的中点；（2）若 DE切 O，则： DE=BE=C；E D、O、B、E 四点共圆 CED=2A CDCA=4B2E,

7、DECDBCADOCEBRBDBA图形特殊化：在（ 1）的条件下 如图 1：DE AB ABC、 CDE是等腰直角三角形；如图 2：若 DE的延长线交 AB的延长线于点 F，若 AB=B，F 则：DE;EF 3BER图形 4：如图， ABC中， AB=A，C 以 AB为直径作 O，交 BC于点 D，交 AC于点 F， C基本结论有：（1）DEAC DE切 O；（2）在 DEAC或 DE切 O下，有： DFC是等腰三角形； EF=EC； D是 BF 的中点。与 基本图形 1的结论重合。 A 连 AD，产生母子三角形。图形 5：以直角梯形 ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于 ， 基本结论有图1图21

8、）如图 1：AD+BCCD； COD=AEB=90； OD平分 ADC（或 OC平分 BCD）；（注：在、 、及“ CD是 O的切线”四个论断中，知一推三）ADBC 1 AB 2=R2；422）如图 2，连 AE、CO，则有： COAE，CO?AE=2R2（与基本图形 2 重合）3）如图 3，若 EFAB于 F，交 AC于 G，则： EG=FG.图形 6： 如图：直线PR O的半径 OB于 E，PQ切 O于Q，BQ交直线 PQ于 R。基本结论有：1）PQ=PR （ PQR是等腰三角形 ）；2) 在“ PROB”、“PQ切 O”、“PQ=PR”中，知二推一3) 2PRRE=BR RQ=BE 2R

9、=AB2图形 7：如图， ABC内接于 O，I 为 ABC的内心。 基本结论有：2图1图21）如图 1， BD=CD=I；D DI2DEDA；1 AIB=90+ ACB;22）如图 2，若 BAC=60，则： BD+CE=BC.图形 8：已知， AB是 O的直径， C是 BG中点， CDAB于D。BG交 CD、ACBBC=CG=AG于 E、F。 基本结论有：1（1） CD= BG； BE=EF=C；EGF=2DE2（ 反之，由 CD= 1 BG或 BE=EF可得 ： C是B中G点 ）21（2）OE= AF，OEAC； ODE AGF2（3）BEBG=BD BA（ 4）若 D是 OB的中点，则：

10、 CEF是等边三角形； 四、范例讲解：1. ABP中， ABP=90，以 AB为直径作 O交AP于 C点，弧 CF =CB ，过 C作 AF的垂线，垂足为 M，MC的延长线交 BP于 D.（ 1）求证： CD为 O的切线； （ 2）连 BF交 AP于 E，若 BE=6， EF=2，求 EF 的值。 AF2直角梯形 ABCD中， BCD=90， AB=AD+B，CAB为直径的圆交 BC于 E，求证： CD为 O的切线若 BE 3 ，求 BF 的值AB 5 DF连 OC、 BD交于 F.OFBE3如图， AB为直径， PB为切线，点 C在 O上， ACOP。 （ 1）求证： PC为 O的切线。2）

11、过 D点作 DE AB，E 为垂足，连 AD交 BC于 G，CG=3，DE=4，求 DG 的值。 DB4。如图，已知 ABC中，以边 BC为直径的 O与边 AB交于点 D，点 E为 BD 的中点，AF为 ABC的角平分线， 且 AFEC。 （ 1）求证： AC与 O相切；（2）若 AC 6，BC 8，求 EC的长5. 如图， Rt ABC，以 AB为直径作 O交 AC于点 D，BD=DE ，过 D作 AE的垂线， （ 1）求证： DF为 O的切线；BD=DE（2）若 DF=3， O的半径为 5，求 tan BAC 的值 .6如图， AB为 O的直径， C、D为 O上的两点， AD=DC ，过

12、D作直线 BC的垂线交直线 AB于点 E，F为垂足 .1）求证： EF为 O的切线；2）若 AC=6， BD=5 ，求 sinE 的值 .7如图， AB为 O的直径，半径 OC AB，D为 AB延长线上一点，过 D作 O的切线， E为切点，连结 CE交AB于点 F.1）求证： DE=D；F2）连结 AE，若 OF=1，BF=3，求 tan A的值 .8如图， Rt ABC中， C=90， BD平分 ABC，以 AB上一点 O为圆心过 B、D两点作 O，O交 AB于点一点 E，EF AC于点 F.1）求证： O与 AC相切；2）若 EF=3，BC=4，求 tan A的值 .9如图，等腰 ABC中

13、， AB=AC，以 AB为直径作 O交 BC于点 D，DEAC于 E. （ 1）求证： DE为 O的切线；（2）若 BC=4 5 ，AE=1，求 cos AEO的值.B10如图， BD为 O的直径， A为 BC 的中点， AD交 BC于点 E，F为 BC延长线上一点，且 （ 1）求证： DF为 O的切线；（2）若 AE=2，DE=4，BDF的面积为 8 3，求 tan EDF 的值.FD=FE.11、如图， AB是 O的直径，M是线段 OA上一点，过 M作 AB的垂线交 AC于点 N，交 BC的延长线O于 EN于点 F，且 ECF= E（ 1）求证： CF是 O的切线； （2）设 O的半径为 1，且 AC=CE 3 ，求 AM 的长，直线 CF交EC CNMO12、如图， AB是 O的直径， BCAB，过点 C作 O的切线 CE，点 D是 CE延长线上一点，连结 AD，且 AD+BC=C. D1）求证： AD是 O的切线；2）设 OE交 AC于 F，若 OF=3，EF=2，求线段 BC的长 .BM延长线交 O于 E，EF AC，分别交BA13、如图， ABC中， AB=BC，以 AB为直径的 O交 AC于点 D，且 CD=B.D1）求证： BC是 O的切线；2）已知点 M、N 分