希望杯届试及答案

1、2003年第十四届“希望杯” ( 初二笫 2试)一、选择题 : (50 分 )1. y-2x+1 是4xy-4x 2-y circle ,and the radius of circle is of the radius of circle ,then the area of the shaded region iswhat part of the area of circle ?( )-k 的一个因式 , 则 k的值是 ( )(A)0; (B)-1;(C)1; (D)42. 不等式 0 ax+5 4的整数解是 1、2、3、4, 则a的取值范围是 ( )555(A)a - ; (B)a-1;(

2、C)-a-3; (B)x-2; (C)x-2; (D)x12600,所以购买 20台 VCD时应去甲商场购买所以甲单位应到乙商场购买 ,B单位应到甲商场购买 ,C 单位应到甲商场购买 22.(1) 如图1,过点 D作DGBC于G,过点A作AHBC于H,则DGAH,所以BDGBAH,又12所以 DG= AH,SBDE= S ABC,39同理 SADF=S CEF= 分别延长 DP,FP交AF,AD于M,N,因为点 P是ADF的三条中线的交点S ABC9所以 SDEF=S ABC-S ADF-SCEF=1SABC.3所以 M,N分别是 AF,AD的中点 , 且DP=2 DM,3过点P,M分别作 D

3、F的垂线 ,垂足分别为 K,S,则DKPDSM,相似比为 23,所以KP=2 SM,3S PDF= 2 SMDF,31又 SMDF= S ADF, 得21S PDF= SADF.3(3) 由 (2) 知,11 S QDE= SBDE,S REF=33S CEF,所以 SPDF=S QDE=SREF= 1 SABC.27所以 SPDQER=FSDEF+SPDF+SQDE+SREF= 5SABC.23.(1) 由图2可以看出 ,n=1 时,最多可以连结 1条线段,n=2时,最多可以连结 3条线段,n=3时,最多可以连结 5条线段 .(2) 猜想: 对于正整数 n,这n对点之间连结的直线段最多有 2

4、n-1条.n=2图21l2证明: 将直线标记为 l1,l 2, 它们上面的点从左到右排列为 A1,A 2A3, ,An和B1,B 2,B 3, ,B n,设 这n对点之间连结的直线段最多有 Pn条,显然,其中必有 AnBn这一条,否则,Pn就不是最多的 数.当在 l 1,l 2分别加上笫 n+1个点时 ,不妨设这两个点在 An与Bn的右侧 , 那么除了原来已经有的 Pn条直线段外 , 还可以连结 An+1Bn,A n+1Bn+1这两条线段 , 或连结 AnBn+1,A n+1Bn+1,这两条线段 . 所以 Pn+1 Pn+2.另一方面 , 设对于 n+1对点有另一种连法 :考虑图 3中以An+

5、1为端点的线段 , 若以An+1为端点的线段的条数大于 1,则一定可以找到一个 i n,使得对于任意的 ji,A n+1Bj都不在所画的线段中 ,这时,B i+1 ,B i+2 , ,B n+1只能与 An+1连结, 不妨设 An+1Bi+1,A n+1Bi+2 , ,A n+1Bn+1都已连结 ,此时图中的线段数为 Pn+1,我们做如下操作 :去掉 An+1Bi,连结AnBi+1 , 得到新的连结图 ,而新的连结图满足要求且线段总数不变,将此操作一直续断下去 , 直到与 An+1连结的线段只有一条 An+1Bn+1为止. 最后图中 ,与点Bn+1相关的线段 只剩两条 ,即AnBn+1,A n

6、+1Bn+1,去掉这两条线段 ,则剩余 Pn+2-2条线段 ,而图形恰是 n对点的连结 图,所以 Pn+1-2 Pn.由此 ,我们得到 Pn+1=Pn+2, 而P1=1,P 2=3,所以 Pn=1+2(n -1)=2n-1.(3) 当n=2003时,P2003=4005( 条).7 9 3 16(A) 7 * ; (B) 9 * * * * * * ;(C) 3 ;(D) 1625 20 5 257. 凸n边形(n 4)中,不算两个最大的内角 , 其余内角的和为 1100,则n等于( )(A)12; (B)11; (C)10或9; (D)108. 将长为 12的线段截成长为整数的三段 ,使它们成为一个三角形的三边 , 则构成的三角形( )( A)不可能是等腰三角形 ;(B