平面直角坐标系中点的坐标求法全解拔高

1、坐标的应用(讲义)知识点睛L匸 L -1-円IL JLILJTT平面直角坐标系知识回顾：1、数轴是规定了原点、正方向和单位长度的一条直线，当我们把两条 数轴如图放置，就能构成平面直角坐标系；它们有共同的原点，水 平方向的数轴我们叫x轴或横轴，铅直方向的数轴我们叫y轴或纵轴；2、我们用有序实数对(a,b )来表示平面直角坐标系内的坐标；数轴把 平面直角坐标系分成四个部分，分别是第一象限，第二象限，第三 象限，第四象限。每一个象限内的符号：( + ,+),(-, +-),(+,-)；3、 每一个点(a,b )的坐标由两部分组成：A、它的符号，由它在坐标 系中的位置决定；B、它的长度，a的绝对值表示

2、点到纵轴的距离，b 的绝对值表示点到横轴的距离，一般需做横平竖直的垂线；4、 关于x轴对称的两个点，x相同，y相反；关于y轴对称的两个点，x 相反，y相同；关于原点对称的两个点，x、y都相反；于x轴平行的 直线，y相同，x不同，可表示为y=b;于轴平行的直线，x相同，y 不同；可表示为x=a；坐标系中求线段长的方法：如果两个点的连线平行于 x轴或y轴，则其 线段长等于大坐标-小坐标；如果不平行，则运用两点之间的距离 公式：L= (xiX2)2 (yi y2)2 ；x 饨 yi y25、牢记中点坐标公式：226、平面直角坐标系中坐标的处理原则：A、过点做平行于x轴、y轴的垂线；B、坐标转线段长，

3、线段长转坐标；4)点的存在性问题：3平行四边形中已知三点坐标确定第四点坐标： ；4等腰三角形中已知两点坐标确定第三点坐标： .精讲精练1. 如图所示，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD的顶点A (-1, 0), B (0,4),顶点C,D在第二象限内，则C,D两点的坐标分别是 ,yCBOAx(分别过C、D两点构造双垂直模型，正方形四边均相等，因此所构造的 双垂直模型都是全等三角形。)在平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别是A (-2, -3), B (5, -2), C (2, 4), D (-2, 2),求四边形ABCD的周长和面积.111I LlkJ _ L_L -I.(构造

4、直角三角形，将坐标转化为线段长，利用勾股定理求出各边长即 可；将此四边形补成正方形，通过“补形以做差”，利用大正方形 面积减去三个小直角三角形面积即可。)9.如图，在平面直角坐标系中，已知 A (0, 2), B (3 , 0), C (3 , 4)三点4八、(1) 求厶ABC的面积.1(2) 如果在第二象限内有一点P (m, 2),是否存在点P,使四边形 ABOP的面积与厶ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存 在，请说明理由.总结提升：1、 此题需将坐标转化为线段长，方法是：如果两个点的连线平行于x 轴或y轴，则其线段长等于大坐标-小坐标；如果不平行，则运用两 点之间的距离公式：

5、L= (xi-x) (%-y2)2 ；2、平面直角坐标系中，我们常使用“分割以求和”或“补形以作差” 来计算面积。比如此题就可以 0A为共同的底边分割成两个小三角形 求四边形的面积。18.如图，在平面直角坐标系中，A (xi, yi), B (X2, y2),取线段AB的 中点M，分别作A, B到x轴的垂线段AE, BF,取EF的中点N,则MN 是梯形AEFB的中位线，故MN丄x轴，利用梯形中位线的知识，我们 可以得到点M的坐标是(用Xi, yi, X2, y2表示).By*(牢记中点坐标公式)已知点M (-4, 2),将坐标系向下平移3个单位长度，再向左平移3个单 位长度，则点M在新坐标系内

6、的坐标为 .(总结提升：牢记点的平移和坐标系的平移不同；坐标系的平移相当于把点向反方向平移；)34.如图，35. # ABC绕点C (0, 36.-1)旋转 180得到 A B C, 37. 设点A的坐标38.为(a, 39. b), 40.则点A 的坐标41. 为()A. (-a, -b)B. (-a, -b-1)C. (-a, -b+ 1)D. (-a, -b-2)(总结提升：由于旋转180,根据旋转的性质，对应点到旋转中心 的距离相等，且又在一条直线上，所以我们可以利用中点坐标公式 直接求出。)42.如图，已知A ( 2廳,0), B (0, 2),把厶AOB绕点A顺时针旋转60 后得到

7、 A0 B,则点B的坐标是()c. ( 3 , 3)D. (2 .3+2,2 3 )(总结提升：首先把坐标转化为线段长，可以得出三角形AO是一个 含有30角的直角三角形，又由于旋转角是 60,所以AB垂直于横 轴，再把线段长转化为坐标即可。)50.如图，在平面直角坐标系中，已知 A (4, 1), B (0, 3),请在x轴上 找一点P，使得点P到点A, B两点距离之和最小，则点 P的坐标是yA4 -3卩B 21O -1-2 -3(总结提升：这是一个典型的奶站问题，做点 B关于横轴的对称点，连 接此对称点和A点，于横轴的交点就是所求的点。求出直线的表达式， 然后求出和横轴的交点即可。)62.如

8、图，把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，其中A (2, 0), B (2, 2亦),连接OB，将纸片OABC沿 OB折叠，使点A落在A 的 位置上，则点A的坐标为.x总结提升：欲求点A的坐标，我们可以向横轴做垂线并交横轴于 G点； 根据折叠的轴对称性质，折叠是一种全等变换，则/BOAh BOA =60, 则/A OG也 =60,则我们构造的小直角三角形是一个含有 30角的直 角三角形，根据三边关系比，可求出相应线段的长，然后转化为点的坐 标即可。74.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，A点坐标为(0,2), E是线段BC上一点，且/ AEB=60,沿AE折叠后B点落在点

9、F处 那么F点的坐标是.(总结提升：此题道理同上，我们过 F点做横轴的平行线，与BC相交与 点H;根据折叠的轴对称性质，/ BEAh AEF=60，则角FEH=60 , 我们构造的是一个含有30角的直角三角形，根据其三边关系比， 分别求出三边的长度，然后用2-BH即是F的纵坐标，2-HF的相反数 就是F的横坐标。)86.已知A (-2, 0), B (3, 0), C (0,-1),以A, B, C三点为顶点作平行四边形，则第四个顶点的坐标为：2-11IL11IJLJ1.k-6-5 -4-3-2 -1 O123456-1-2-总结提升：1、这是一个典型的“三个定点、一个动点”平行四边形的存在

10、性的问题。常用的处理模式是选择其中的一边既做边也做对角 线，以便不重不漏，由于在平面直角坐标系中，我们选择横轴或 纵轴上的线段，以方便计算；2、若以AB为边，根据平行四边形的对边平行且相等， 我们过点C 做AB勺平行线，则有两种情况，分别过两个 D点做此平行线的垂 线，则可以构造两个小直角三角形，与相应的三角形对应全等， 借助于其三边的关系即可求出点 D的坐标；3、若以AB为对角线，根据平行四边形的对边平行且相等，分别 做两边的平行线相交与D点即可，然后再过D点做横轴的垂线构 造直角三角形解题即可。97.如图，在平面直角坐标系中，已知 A (2, -2),在y轴上确定点P, 使厶AOP为等腰三

11、角形，贝S符合条件的点 P坐标为：（总结提升：这是一个典型的“两个定点、一个动点”求等腰三角形的 存在性的题目。我们常用的处理模式是：“一条线，两个圆”，也就是先 做定线段0A的垂直平分线，与纵轴的交点即是其中的一个点，然后分 别以两个定点为圆心，定长线段为半径画圆，与纵轴的交点即是其他的 点。当然最终还要排除上述各点中有可能重合的点。）如图，0为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（6，0），C（0，2），点 M是0A的中点，点P在线段BC上运动，当厶OMP是腰长为3的等腰三 角形时，则P点的坐标为：总结提升：1、根据“两个定点、一个动点”求等腰三角形的存在性的解题模型， 我们先判断谁是定点，

12、谁是动点，然后按照“一条线、两个圆”的 模型解题；2、由于此题的特殊性，一条线不再使用，我们只考虑分别以两个定点为圆心，定长线段为半径做圆，然后过这两个圆与BC的交点向横轴做垂线，构造直角三角形，运用勾股定理解题即可。总共三个点。113.如图，方格纸中的每个小方格是边长为1的正方形，A, B两点在 小方格的顶点上，位置分别用（2，2），（4，3）来表示，请在小方 格的顶点上确定一点C，连接AB，AC，BC，使厶ABC的面积为2个平总结提升：1、此题首先需要通过点的坐标确定原点的位置；2、由于A、B两点是定点，而C是动点，我们先随意确定一个 C点的位 置，使得由此构成的三角形的面积是2；3、根据

13、平行线间的距离处处相等，为此我们过确定的 C的位置做线段 AB的平行线，这条平行线上的格点即是我们所求的点；4、同时在线段AB的另一侧，也一定存在着另一条等距离的平行线，我 们再看看有几个格点，两项相加，即是全部的点。三、回顾与思考【参考答案】一、知识点睛1 .坐标转线段长，线段长转坐标；过点作横平竖直的线.2.平移线段一线两圆二、精讲精练1. （-4, 5），（-5，1）6525躬5罷5213. (1) 6; (2)存在,(-3, 2 )Xi X2 % 讨24. 丁，丁5. (-1, 5)6. D7. B8 (3, 0)9. (-1,3)10. (-1, 2 3 )11. (1, 1), (

14、5, -1), (-5, -1)12. (0, 22), (0,-2), (0, - 2 2 ), (0, -4)13. C-5, 2), (3- 5 , 2), (3+、5 , 2)14. 7坐标的应用(随堂测试)1.如图，平面直角坐标系中有一矩形 OABC ,其中A (4 3 , 0), C (0 ,4),若将 AOB沿OB所在直线翻折，点A落在点D处，则D点的坐标是2.如图，在平面直角坐标系中，其中 A （2, 0）, / ABO=30，在y轴 上取一点P，使AFAB是等腰三角形，则符合条件的点P坐标为【参考答案】1. （ 2 3 , 6）2. （0, 4 2薦）,（0,2,3_T）,（

15、0,4 朋）,（0,2品）坐标的应用（作业）4. 在平面直角坐标系中， ABC三个顶点的坐标分别为（2, 3）,（5, -2），（-2, 0），求厶ABC的周长和面积.(分割以求和，补形以作差)10.如图，已知A (0, 4), B (2, 0),把线段AB绕点A逆时针旋转90 点B落在点B处，则点B的坐标是( )A. (6, 4)B. (4, 6)C. (6, 5) D. (5, 6)(构造双垂直模型解题即可)15.如图，图形关于点D (0,-2)成中心对称，若点A的坐标是(2, 3), 则点M的坐标为.（运用中点坐标公式解题即可）22.在平面直角坐标系中，点C坐标为（0, 3 ），点E坐标

16、为（1, 0）, 将厶COE沿直线CE折叠，点0落在点D处，则点D的坐为.（过点D故横轴的垂线，构造含30角的直角三角形，利用其三边关 系比解题即可）30.在平面直角坐标系中，A, B, C三点的坐标分别为（0, 0）,（0, -3）,（-2, -1）,以这三点为平行四边形的三个顶点，则第 四个点的坐标为：.y*4 一3 -2 -1 -3-2-1 O-1-2-3-4（按照“三个定点、一个动点”求平行四边形的村庄行解题模型解题即可）36.如图，在平面直角坐标系中，已知点 P （2, 1），点T是x轴上的一个动点，当 PTO是等腰三角形时，点T的坐标为：（根据“两个定点、一个动点”求等腰三角形的存

17、在性解题模型解题 即可）41.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（5, 4）,点P为线段BC上动点，当 POA为等腰三角形时，点P的坐标 为：.y aCP9OAx47.把厶ABC放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0, 1），点B的坐标为（2, 1）,点C的坐标为（4, 3）,如果要使厶ABD与厶ABC全等，贝S点D的坐标为：线段AB的垂直平分线，以之为折痕，把原三角形再翻折过去，对应点则 是另一个D点的位置。最后把翻折得到的两个三角形中的任意一个再翻 折一次就可以得到第三个D 点的位置。利用中点坐标公式求即可。)【参考答案】291 屈屈5, T2. B3. (-2,

18、 -7)3适4. 2 25.(2,-3),(-2, -7), (-2, 3)56.(4 ,0),(, 0) (4, 0),(馬,0)57.(2 ,4),(3, 4), (2, 4)8(-2,3),(4,-1), (-2, -1)坐标的应用(每日一题)1如图所示，已知边长为1的正方形OABC在直角坐标系中，B, C两点 在第二象限内，0A与x轴的夹角为60，求点B的坐标.I y 4B(注意到此题中出现了含有30角的直角三角形，过点A分别做横轴和纵轴的垂线，构造双垂直模型即可)2.慧慧在一次数学课上，将一副30 , 60, 90和45 , 45 , 90 的三角板如图放在直角坐标系中，发现点 A的

19、坐标刚好是(9 3.3 , 0), 求图中两个三角板的交点P的坐标.AdBoIX(注意到此题中出现了含有30角和45角的特殊直角三角形，我 们可以利用其三边关系比，先求出有关线段的长，然后过点 P故横 轴的垂线，设此垂线长为a,把OA表示为含有a的代数式，列方程解 题即可。)3如图所示，A (- 3 , 0), B (0, 1)分别为x轴，y轴上的点， ABC 为等边三角形，点P (3, a)在第一象限内，且满足2Sabp = abc, 求a 的值.CAOX总结提升：1、首先根据题目中提供的条件，计算出等边三角形的面积；2、我们利用“坐标系中求三角形面积的模型”来求三角形 ABP勺面积；先求出

20、直线AP勺表达式，设其与纵轴的交点是 H,然后用“大 坐标-小坐标”求出BH勺长，贝F角形ABP就被我们分隔成了分别 以BH为共同底边的两个小三角形，左边小三角形的高是A点横坐标的绝对值，右边小三角形的高是 P点横坐标的绝对值，据此列方程 解题即可。4如图，在平面直角坐标系中，点 B在x轴正半轴上，点A在第一象限， OEAOB的中线，已知0B= OE = 5, Saaob = 15.求A、E两点的坐标.1、为了求点E的坐标，我们过点E做横轴的垂线，根据等底同高的 两个三角形面积相等，则三角形 OEB勺面积等于大三角形面积的一 半；然后根据三角形面积公式求出高即是 E点的纵坐标，然后再用 勾股定

21、理求出其横坐标即可；2、为了求点A勺坐标，注意到点E是AB两点的中点，代入中点坐标 公式求解即可。）5如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC为平行四边形，其中0为坐 标原点，且点B (4, 4), C (1,3), OB, AC相交于点D.求A, D两点坐标；求四边形OABC的面积.1、 根据平行四边形的性质，对角线互相平分，因此 D点是0、B 两点的中点，先利用中点坐标公式求出点 D的坐标，再根据 点D也是A、C两点的中点，代入中点坐标公式求出点 A的坐 标即可；2、 利用两点之间的距离公式：L=(Xi-x2)2 (%-y)，分别求出有 关线段的长，可以判定此平行四边形是菱形，根据菱形面

22、积 公式=两条对角线乘积的一半，分别计算出两条对角线的长度 即可求出。【参考答案】1解:O过点B作BE丄y轴，垂足为Ev 0A与x轴的夹角为60/ AOE=30在RtA AOD中，OA=1,/ AOD=3032.3 AD二亍,OD二，/ ADO=60v AB=1J BD=1- 3更在RtA BDE中，BD=1- 3，/ BDE=601 _33 1 DE=2 6 , BE= 2一3 1 OE=OD+DE= 2v B在二象限1.33 1点B的坐标为(丁 , 丁)2解:c0IAOD .*过点P作PD丄x轴，垂足为点D设 AD=x,在 RtA AOB和 Rt AOC,vZ AOB=30 / OAC=45 PD=AD=x，OD= 3x,v A ( 93 , 0), OD+DA=9 3,3，即x+ 3x=9 3 3x=3 3即 0D=9, PD=3、3点P的坐标为(9, 3、3)3解：cy J1AOd .r过点P作PD丄x轴，垂足为点Dt A (- 3 , 0), B (0, i) OA= 3 , OB=i由