平面向量知识点归纳

1、第一章 平面向量2.1向量的基本概念和基本运算16、向量：既有大小，又有方向的量数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度 零向量： 长度为 0 的向量单位向量：长度等于 1个单位的向量 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 零 向量与任一向量平行相等向量：长度相等且方向相同的向量 17、向量加法运算： 三角形法则的特点： 相连平行四边形法则的特点： 共起点三角形不等式： 运算性质：交换律：aba b a b a b b a；a 0 0 a a 则结合律： a b c a b c ； 坐 标 运 算 ： 设 a x1,y1 ， b x2,y2 ， a b 1x ,

2、2x 1y 2y 18、向量减法运算： 三角形法则的特点：共起点，连终点，方 向指向被减向量a b C C坐标运算： 设a x1,y1 ，b x2,y2 ，则a b x 1x y2 ,1y 2 设 、 两 点 的 坐 标 分 别 为 x1,y1 ， x2,y2 ， 则 x1 x,2 y1 y219、向量数乘运算：实数 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的 数乘，记作 a a a ； 当 0时， a 的方向与 a的方向相同；当 0时， a 的 方向与 a的方向相反；当 0 时， a 0 运 算 律 ： a a ； a a a ； a b a b 坐标运算：设 a x,y ，则 a x,y

3、x, y 20、向量共线定理：向量 a a 0 与b 共线，当且仅当有，则当且仅当 x1y2 x2 y1 0时，唯一一个实数 ，使 b a 设 a x1, y1 ，b x2,y2 ，其中 向量 a、 b b 0 共线2.2平面向量的基本定理及坐标表示21、平面向量基本定理：如果 e1 、 e2 是同一平面内的两 个不共线向量， 那么对于这一平面内的任意向量 a，有 且只有一对实数 1、2，使 a e11 22e （不共线的向量 e1、 e2 作为这一平面内所有向量的一组基底）22、分点坐标公式：设点 是线段 1 2 上的一点， 1、 2 的坐标分别是 x1,y1 ， x2, y2 ，当 12时

4、，点 的坐标是 x1 x2 ,y1 y2 （当 1时，就为中点公式。）112.3平面向量的数量积23、平面向量的数量积（两个向量的数量积等于它们 对应坐标的乘积的和。 ）： a b a b cos a 0,b 0,0 180 零向量与任一向量的 数量积为 0 性质：设 a和 b 都是非零向量，则 a b a b 0 当 a与 b 同向时， a b a b ；当 a与b 反向时， a b a b ； a a a2 a2或 a a a a b a b b a b a b ； 运 算 律 ： a b b a ； aa b c a c b c坐标运算：设两个非零向量 a x1,y1 ， b x2,y2

5、 ，则a b x1 x2 y1 y2 若a x,y ，则 a x2 y2，或 a x2 y2 设 则 a b x1x2 y1y2 0 设a、bx2a x1,y1 ，bx2, y2 ，都是非零向量， a x1,y1 ，b x2,y2 ， 是a与b 的 夹角，则 cos aa bb x2x1xy22 yx12y2 y2 a b x1 y1 x2 y2a b x12 y12 x22知识链接：空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得 下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行 总结归纳 .1、直线的方向向量和平面的法向量 直线的方向向量：若 A、B 是直线 l上的任意两点，则 AB 为

6、直线 l的 一个方向向量；与 AB 平行的任意非零向量也是直线 l 的 方向向量 .平面的法向量：若向量 n 所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂 直于平面 ，记作 n ，如果 n ，那么向量 n 叫做平面 的法向量 . 平面的法向量的求法（ 待定系数法）：建立适当的坐标系设平面 的法向量为 n (x,y,z) 求出平面内两个不共线向量的坐标a (a1,a2,a3), b (b1,b2,b3) 根据法向量定义建立方程组 n a 0.n b 0 解方程组，取其中一组解，即得平面 的法向量 .1、 用向量方法判定空间中的平行关系线线平行设直线 l1,l2 的方向向量分别是 只需证明 ab，即 a

7、kb(k R).则要证明 l1 l2即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线线面平行(法一)设直线 l 的方向向量是 a，平面 的法向 量是 u，则要证明 l ，只需证明 a u，即 a u 0.即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外(法二)要证明一条直线和一个平面平行，也可 以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线 向量即可 .面面平行若平面 的法向量为 u ，平面 的法向量为 v，要证 ，只需证 u v，即证 u v.即：两平面平行或重合 两平面的法向量共线。3、用向量方法判定空间的垂直关系线线垂直设直线 l1,l2的方向向量分别是 a、b ，则要证明 l

8、1 l2， 只需证明 a b，即 a b 0.即：两直线垂直 两直线的方向向量垂直。 线面垂直（法一）设直线 l 的方向向量是 a，平面 的法向 量是 u，则要证明 l ，只需证明 a u，即 a u.（法二）设直线 l 的方向向量是 a，平面 内的两 个相交向量分别为 m、n，若 a m 0,则l .a n 0即：直线与平面垂直 直线的方向向量与平面的法 向量共线 直线的方向向量与平面内两条不共线直线 的方向向量都垂直。面面垂直若平面 的法向量为 u ，平面 的法向量为 v，要证 ，只需证 u v ，即证 u v 0.即：两平面垂直 两平面的法向量垂直。4、利用向量求空间角 求异面直线所成的

9、角 已知 a,b为两异面直线， A，C 与 B，D 分别是 a,b上 的任意两点， a,b 所成的角为 ，AC BD 则 cos.a ，平面 的法向量 ，a与u 的夹角为 ， 则ausin cosAC BD 求直线和平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成 的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角 求法：设直线 l 的方向向量为 为u，直线与平面所成的角为 为 的余角或 的补角 的余角 .即有：.au.求二面角定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分， 其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面 角的棱，每个半平面叫做二面角的面

10、二面角的平面角是指在二面角 l 的棱上任取 一点 O，分别在两个半平面内作射线 AO l,BO l ，则AOB 为二面角 l 的平面角 .求法：设二面角 l 的两个半平面的法向量分 别为 m、n，再设 m、n的夹角为 ，二面角 l 的平面角 为 ，则二面角 为 m、n的夹角 或其补角 . 根据具体图形确定 是锐角或是钝角：如果 是锐角，则mncos cos ，mnmn即 arccos ；mn 如果 是钝角，则 cos cosmnmn，即 arccos5、利用法向量求空间距离点 Q 到直线 l 距离若 Q 为直线 l外的一点 ,P在直线 l上， a为直线 l的方 向向量， b= PQ，则点 Q

11、到直线 l距离为 h 1 (|a|b |)2 (a b)|a|点 A 到平面 的距离即dMPMP n若点 P为平面 外一点，点 M 为平面 内任一点， 平面 的法向量为 n，则 P到平面 的距离就等于 MP 在 法向量 n 方向上的投影的绝对值 .MPcos n,MPnMPn直线 a与平面 之间的距离直线上的各点到平当一条直线和一个平面平行时，面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化 为求直线上任一点到平面的距离， 即转化为点面距离。即d两平行平面 , 之间的距离利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平 面间的距离转化为求点面距离。即dn MPn异面直线间的距离设向量 n与两异面直线

12、 a,b都垂直， M a,P b,则两异面 直线 a, b间的距离 d就是 MP在向量 n方向上投影的绝对 值。即d n MP .n6、三垂线定理及其逆定理PO a三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个 平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂 直PO ,Oa PA推理模式： PA Aa ,a OA 概括为：垂直于射影就垂直于斜线 . 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果 和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的 射影垂直PO ,O 推理模式： PA A a AOa ,a AP 概括为：垂直于斜线就垂直于射影 .7、三余弦定理设 AC 是平面 内的任一条直线， AD

13、是 的一条 斜线 AB 在 内的射影， 且 BD AD ，垂足为 D.设 AB 与 (AD)所成的角为 1，AD 与AC所成的角为 2，AB 与 AC 所成的角为 则 cos cos 1 cos 2 .BA1A 2 DC基础练习一 选择题1如图，点 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，则 以图中点 A，B，C，D ，E，F，O 中的任意一点为起 点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，除向 量外，与向量共线的向量共有 ( )A6个B7 个C8 个D9个解析： 选 D.与向量共线的向量有， ， 共 9 个，故选 D.2设不共线的两个非零向量 e1， e2，且 k(e1e2) (e1ke2)，

14、则实数 k 的值为()A1B1C 1D0答案：A3已知向量是不共线向量 e1， e2，给出下列各组向量：1a2e1，be1e2；a2e1e2，b e12e2； a e1 e2， b 2e1 2e2； ae1 e2，be1 e2.其中共线的向量组共有 （ ）A1 个B2 个C 3 个D4个答案：B4已知 E、F 分别为四边形 ABCD 的边 CD、BC 边上的中点，设 a，b，则 （）11A.2（ab）B 2（ab）11C.2（ab）D.2（ba）答案：B5下列计算正确的有 （）（ 7） 6a42a；a2b（2a2b）3a； ab（ab）0.A0 个B 1 个C 2 个D3个解析： 对，对，错，

15、因为 ab（ab）0. 答案：C1化简所得结果是 （）A. B.C0D.答案：C2在 ABC 中，| | | 1，则| | 的值为 （ ）A 0B 1C. 3D2答案：B3已知向量 a b，且|a|b|0 ，则向量 ab 的 方向 ()A与向量 a 方向相同B与向量 a 方向相反C与向量 b 方向相同D与向量 b 方向相反答案：A4在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交 于点 O，则 .答案：25向量 ()()等于 ()A.B.C.D.解析：（）（） （）（） .故选 C. 答案：C1如果 e1、e2 是平面 内所有向量的一组基底， 那么 （）A若实数 1、2 使 1e12e2

16、0，则 120B空间任一向量 a 可以表示为 a1e12e2，这 里 1、2 是实数C对实数 1、2，1e12e2 不一定在平面 内D对平面 中的任一向量 a，使 a1e12e2 的 实数 1、2 有无数对答案：A2如果 3e14e2 a,2e13e2b，其中 a，b 为已 知向量，则 e1 ， e2.答案： e13a4b e2 2a3b3设 e1，e2 是平面内一组基底， 如果 3e1 2e2，4e1e2， 8e19e2，则共线的三点是 ()AA、B、CBB、C、DCA、B、DDA、C、D答案：C4设 e1，e2 是平面内所有向量的一组基底，则下 面四组向量中，不能作为基底的是 ( )A e

17、1 e2 和 e1 e2B 3e1 2e2 和 4e2 6e1C e1 2e2 和 e2 2e1D e2 和 e1 e2解析： 4e26e1 2(3e12e2)， 3e1 2e2 与 4e2 6e1共线，故选 B. 答案：B1若 2，3 ，且点 A 的坐标为 (1,2)，则点 B 的 坐标为 ( )A(1,1)B. 1，1C.3，5D. 4，4答案：C2已知平行四边形(3,1)，则 OC 等于(A(1,1)C(1，1)OABC(O 为原点 )， (2,0)， )B(1，1)D(1,1)解析： (3,1)(2,0)(1,1)，故选 A.答案：A3若向量 a(1,1)，b(1， 1)，c(1,2)

18、，则c 等于 ()A132a2b13B.2a2b31C.2a2b31D 2a 2b答案：B1若 a(2,3)，b(4， 1y)，且 ab，则 yA.5B.5C.2( )A6B5C7D8答案：C2已知点M 是线段 AB 上的一点，点P 是平面上任意一点，32 ，若，则等于 (55)32解析： 用，表示向量，322232 ，55555533，55，23.答案：D1.若向量 a、b满足|a| |b| 1，a与 b 的夹角为 60 则 a a a等b于 ()31A.2D21 解析：选 B.a a a b|a| 2 |a|b|cos601232.2.设 a，b，c 是任意的非零向量，且相互不共线，则下

19、列结论正确的是 ( )A (a b)c (c a0 )b B a b0? a0 或 b0C （b c）a （a 不c与）b c 垂直(a b)c ， (ca)bD（3a 4b） （3a4b）9|a| 216|b| 解析：选 D.由于数量积是实数，因此分别表示与 c， b 共线的向量，运算结果不为 0，故 A 错误；当 ab，a与 b 都不为零向量时，也有 a b0， 故 B 错误；c（b c）a （a c）b c （b c）a c （0a，故c）b C 错误；（3a 4b） （3a4b）9a216b2 12a b 12ab 9|a| 216|b| 2.1. a（4，3），b（5，6），则 3|

20、a| 2 4ab等于（）B57A23C63D 83解析：选 D.|a| （ 4）2325，a b 45 3 6 2， 3|a| 2 4a b 3254 （ 2） 83. 故选 D.2. 已知 A（2，1），B（3，2），C（1，4），则 ABC 是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D任意三角形解析：选 B. （1， 1） （ 3，3） 330.故选 B.11设坐标原点为 O，已知过点 0，2 的直线交函1数 y2x2的图象于 A、B 两点，则的值为 （）4B.33A.4CD解析：选 C.由题意知直线的斜率存在可设为 k， 1 1 1 1 则直线方程为 ykx2，与 y 2x2联立得 2x

21、2kx2， x2 2kx 1 0， x1x21，x1x22k，1 1 2 1 k（x1 x2） y1y2 kx12 kx2 2 k2x1x24 2k2k21414，13 x1x2y1y2 1 4 4.二 填空题2已知 A，B，C 是不共线的三点，向量 m 与向 量是平行向量，与是共线向量，则 m .解析： A，B， C 不共线，与不共线， 又 m 与，都共线，m0.答案：06已知| |a| 3，| |b| 3，AOB 120 ，则|ab| 答案：35已知向量 a，b 不共线，实数 x，y 满足（3x4y）a（2x 3y）b 6a 3b，则 xy.解析：由题意，得 3x4y6 且 2x3y3，解

22、得 x6，y3， xy 3.答案：36如下图所示，已知 E、F 分别是矩形 ABCD 的 边 BC、CD 的中点，EF 与 AC 交于点 G，若 a，b， 用 a、 b 表示 .解析： E、F 分别为相应边中点，3 3 3 344（ab）4a4b.33 答案： a b444已知 a 1，2，b 2，3 ，实数 x，y满足 xa yb 3， 4 ，则 x .答案：15若将向量 a( 3，1)按逆时针方向旋转 2得到向量 b，则 b 的坐标为 答案： (1， 3)6已知平行四边形 ABCD 中， A(1,1)，B(6,1)，C(8,5)，则点 D 的坐标为 答案： 3，57作用于原点的两个力 F1 2，2，F2 1，3 ，为使它们平衡，需加力 F3答案： 3， 53已知 ?ABCD 四个顶点的坐标为 A(5,7)，B(3，x)，C(2,3)，D(4，x)，则 x.答案：53. 已知向量 a，b 满足|b| 2，a与 b 的夹角为 60， 则 b 在 a上的投影是 解析： b 在 a 上的投影是 |b|cos a，b 2cos60 1.答案：14. 已知|a| 2|b| 0，且关于 x 的方程