平面直角坐标系和应用

1、平面直角坐标系（基础）知识讲解【学习目标】1. 理解平面直角坐标系概念，能正确画出平面直角坐标系 .2. 能在平面直角坐标系中 , 根据坐标确定点 , 以及由点求出坐标，掌握点的坐标的特征 .3. 由数轴到平面直角坐标系 , 渗透类比的数学思想 .【要点梳理】 要点一、有序数对 定义： 把有顺序的两个数 a 与 b组成的数对，叫做有序数对，记作 （a，b） 要点诠释：有序，即两个数的位置不能随意交换， （a，b）与（b，a） 顺序不同，含义就不同，如电影 院的座位是 6排 7号，可以写成 （6 ，7）的形式，而 （7 ， 6）则表示 7排 6号 要点二、平面直角坐标系与点的坐标的概念1. 平面

2、直角坐标系在平面画两条互相垂直、 原点重合的数轴就组成平面直角坐标系 . 水平的数轴称为 x 轴或 横轴， 习惯上取向右为正方向； 竖直的数轴称为 y 轴或纵轴， 取向上方向为正方向，两坐标 轴的交点为平面直角坐标系的原点 （ 如图 1）.要点诠释： 平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的 .2. 点的坐标平面任意一点 P，过点 P 分别向 x 轴、 y 轴作垂线，垂足在 x 轴、 y 轴上对应的数 a， b 分别叫做点 P 的横坐标、纵坐标，有序数对（ a,b ）叫做点 P 的坐标，记作 :P（a,b） ，如图 2.隔开要点诠释：（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标

3、写在后，中间用2）点 P（a，b）中， |a| 表示点到 y轴的距离； |b| 表示点到 x轴的距离 .（3） 对于坐标平面任意一点都有唯一的一对有序数对（x ，y）和它对应 , 反过来对于任意一对有序数对， 在坐标平面都有唯一的一点与它对应， 也就是说， 坐标平面的点与有序数对是 一对应的要点三、坐标平面1. 象限 建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的、 四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图要点诠释：（1）坐标轴 x 轴与 y 轴上的点 （包括原点 ） 不属于任何象限（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方， 第三象

4、限在左下方，第四象限在右下方 .2. 坐标平面的结构坐标平面的点可以划分为六个区域： x 轴， y 轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四 象限 . 这六个区域中，除了 x 轴与 y 轴有一个公共点（原点） 外，其他区域之间均没有公共 点.要点四、点坐标的特征1. 各个象限和坐标轴上点的坐标符号规律要点诠释：（ 1）对于坐标平面任意一个点，不在这四个象限，就在坐标轴上.（2）坐标轴上点的坐标特征： x 轴上的点的纵坐标为 0；y 轴上的点的横坐标为 0（3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标 平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况2. 象限的角平分线上

5、点坐标的特征 第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为（a ， a） ；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为（a ，-a） 3. 关于坐标轴对称的点的坐标特征P（a， b）关于 x 轴对称的点的坐标为 （a,-b） ；P（a， b）关于 y 轴对称的点的坐标为 （-a,b） ；P（a ， b） 关于原点对称的点的坐标为 （-a,-b） 4. 平行于坐标轴的直线上的点平行于 x 轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于 y 轴的直线上的点的横坐标相同 .【典型例题】类型一、有序数对1如果将一“13排 10号”的电影票简记为 （13,10），那么（10,13）表示的电影票是

6、排号.【思路点拨】 在平面上， 一个数据不能确定平面上点的位置 须用有序数对来表示平面点的【答案】 10,13.【解析】 由条件可知：前面的数表示排数，后面的数表示号数 .【总结升华】 在表示时，先要“约定”顺序，一旦顺序“约定” ，两个数的位置就不能随意 交换， （a ，b） 与（b ，a） 顺序不同，含义就不同举一反三：【变式】某地 10:00 时气温是 6，表示为 （10 ，6） ，那么（3 ， -7） 表示【答案】 3:00 时该地气温是零下 7类型二、平面直角坐标系与点的坐标的概念2. 如图，写出点 A、 B、C、D 各点的坐标 .思路点拨】 要确定点的坐标，要先确定点所在的象限，再

7、看点到坐标轴的距离答案与解析】解：由点 A向 x轴作垂线，得 A点的横坐标是 2，再由点 A向 y轴作垂线，得 A点的纵坐 标是 3，则点 A 的坐标是 （2 ，3） ，同理可得点 B、 C、D 的坐标所以，各点的坐标： A（2 ， 3） ， B（3 ， 2） ， C（-2 ，1），D（-1，-2） 【总结升华】 平面直角坐标系任意一点到 x 轴的距离是这点纵坐标的绝对值， 到 y 轴的距离 是这点横坐标的绝对值举一反三：【变式】在平面直角坐标系中，如果点A既在 x轴的上方，又在 y 轴的左边，且距离 x 轴，y 轴分别为 5 个单位长度和 4 个单位长度，那么点 A 的坐标为 （ ）.A （

8、5 ， -4） B （4 ，-5） C （-5 ，4） D （-4 ，5） 【答案】 D.3.在平面直角坐标系中，描出下列各点A（4， 3） ，B（-2 ，3），C（-4，1），D（2，-2） 答案与解析】解：因为点 A 的坐标是 （4 ，3） ，所以先在 x 轴上找到坐标是 4 的点 M，再在 y 轴上找到坐 标是 3 的点 N然后由点 M作 x 轴的垂线，由点 N作 y 轴的垂线，过两条垂线的交点就是点 A，同理可描出点 B、C、 D序数对， 在坐标平面都有唯一的一点与它对应， 也就是说， 坐标平面的点与有序实数对是一 一对应的举一反三：【变式】在平面直角坐标系中， O为坐标原点，已知：

9、A（3， 2），B（5，0），则 AOB的面 积为 【答案】 5.类型三、 坐标平面及点的特征4. 指出下列各点所在的象限或坐标轴A（4 ，5）、B（-2，3）、C（-4，-1） 、D（2.5，-2）、E（0，-4） 、F（3，0）、G（0，0）. 【思路点拨】 先判断所求点的横纵坐标的符号，进而判断所在象限【答案与解析】解：点 A在第一象限，点 B 在第二象限，点 C在第三象限，点 D在第四象限，点 E在 y 轴 上，点 F 在 x 轴上，点 G在原点上【总结升华】 本题主要考查点的坐标的性质， 解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个 象限点的符号，但注意坐标轴上的点不属于任何象限，原点既

10、在 x 轴上，又在 y 轴上举一反三：【变式 1】点 A（3 ， n）在第四象限，到 x轴的距离为 4则点 A的坐标为 【答案】 （3 ， -4） 【高清课堂：第一讲 平面直角坐标系 1 369934 练习 3 】 【变式 2】若点 P （a ,b） 在第二象限，则：1）点 P1（a ,-b） 在第 象限；2）点 P2（-a ,b） 在第 象限；3）点 P3（-a ,-b） 在第 象限；4）点 P4（ b ,a ） 在第 象限 .【答案】（1）三；（2）一；（3）四；（4）四.5. 已知点 A（-3 ，2）与点B（x ，y）在同一条平行于 y轴的直线上， 且点B到x轴的距离等于 3， 求点 B

11、 的坐标【思路点拨】 由“点 A（-3 ，2）与点 B（x， y）在同一条平行于 y 轴的直线上”可得点 B的横坐 标；由“点 B到 x 轴的距离等于 3”可得 B的纵坐标为 3或 3，即可确定 B的坐标 【答案与解析】 解：如图， 点 B 与点 A 在同一条平行于 y 轴的直线上， 点 B 与点 A 的横坐标相同， x -3 点 B到x 轴的距离为 3， y 3或 y-3 点B的坐标是 （-3 ，3）或（-3 ，-3）【总结升华】 在点 B的横坐标为 -3 的条件下， 点 B到 x 轴的距离等于 3，则点 B 可能在第二 象限，也可能在第三象限，所以要分类讨论，防止漏解举一反三：【变式 1】

12、若 x 轴上的点 P到 y 轴的距离为 3，则点 P的坐标为（）.A （ 3，0）B （ 3， 0）或（ 3， 0)C（0，3）D （ 0，3）或（0， 3）答案】 B.高清课堂：第一讲 平面直角坐标系1 369934 练习 4（ 5）】【变式 2】在直角坐标系中，点 P（x,y） 在第二象限且 P到 x轴，y 轴的距离分别为 2，5，则 P的坐标是 ；若去掉点 P在第二象限这个条件，那么 P 的坐标是 .答案】（-5,2 ）；（5，2），（-5,2 ），（5，-2），（-5 ，-2）平面直角坐标系（提高）巩固练习【巩固练习】一、选择题1A 地在地球上的位置如图，则 A 地的位置是（）A. 东

13、经 130，北纬 50 B.东经 130，北纬 60C. 东经 140，北纬 50 D.东经 40，北纬 502. 点 A（ a， -2 ）在二、四象限的角平分线上，则a 的值是（ ） 211 -2223已知点 M到 x 轴、y 轴的距离分别为 的坐标为 （ ） .A （4， -6） B （-4 ，6） C4和 6，且点 M在 x轴的上方、（6 ，-4） D （-6 ，4）y 轴的左侧，则点 M4已知 A（a，b） 、 B（b， a）表示同一个点，那么这个点一定在（ ） .A第二、四象限的角平分线上B 第一、三象限的角平分线上C平行于 x 轴的直线上D 平行于 y 轴的直线上5. 已知点 M

14、（a ， b） ，过 M 作 MHx 轴于 H ，并延长到 N ，使 NH MH ，且 N 点坐标为 （ 2， 3），则 a b （ ） . 0 1 1 56. （） 在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点，且规定，正方形的 部不包含边界上的点观察如图所示的中心在原点，一边平行于 x 轴的正方形：边长为 1 的正方形部有一个整点，边长为 2 的正方形部有 1 个整点，边长为 3 的正方形部有 9 个整 点，则边长为 8 的正方形部的整点的个数为 （ ） .A 64 B 49 C 36 D 25二、填空题7. 已知点 P（2a，3a2） 到两坐标轴的距离相等，则 P点的坐标为

15、8. 线段 AB的长度为 3 且平行 x 轴，已知点 A的坐标为（ 2，-5 ），则点 B的坐标为 .9.如果点 A（0，1），B（3，1），点C在 y轴上，且 ABC的面积是 5，则C点坐标10.设x、y为有理数，若 x 2y 2 2xy60，则点（x，y）在第象限.11111观察下列有序数对： （3 ，-1） 、 5, ， 7, 、 9, 、根据你发现的规234律，第 100 个有序数对是 12在平面直角坐标系中，点 A、B、C的坐标分别为： A（-2，1）、B（-3，-1），C（-1，-1） ，且 D在 x 轴上方 . 顺次连接这 4 个点得到的四边形是平行四边形， 则 D点的坐标为 1

16、3已知平面直角坐标系两点 M（5，a） ，N（b， -2） （1）若直线 MNx 轴，则 a， b；（2）若直线 MNy，轴，则 a， b14（） 若点 P（x ，y）的坐标满足 x+yxy，则称点 P为“和谐点” ，请写出一个“和谐点”的 坐标，如 三、解答题15如图，棋子“马”所处的位置为 （2，3） （1） 你能表示图中“象”的位置吗？（2） 写出“马”的下一步可以到达的位置 （象棋中“马”走“日”字或“”字 ）16如图，若 B（ x1，y1）、 C（ x2，y2）均为第一象限的点， O、B、C三点不在同一条直线上 （1） 求 OBC的面积（用含 x1、x2、y1、y2的代数式表示） ；

17、（2） 如图，若三个点的坐标分别为 A（ 2,5 ）， B（ 7,7 ）， C（ 9,1 ），求四边形 OABC的面积.17. 如图所示，在平面直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形 OA1B1，第二次将三 角形 OA1B1变换成三角形 OA2B2，第三次将三角形 OA2B2变换成三角形 OA3B3，已知 A（1，2） ，A1（2 ， 2） ， A2（4 ， 2） ， A3（8 ， 2） ；B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）OA3B3变换成三角形 OA4B4，则 A4的坐标是 ， B4的坐标是 ；（2）若按（1）中找到的规律将三角形 OAB进行 n次变换，得

18、到三角形 OAnBn，推测 An的坐 标是 ， Bn 的坐标是 （3）求出 O的面积【答案与解析】一、选择题1. 【答案】 C.2. 【答案】 A； 【解析】因为（ a，-2 ）在二、四象限的角平分线上，所以a+（-2）=0 ，即 a=2.3. 【答案】 D； 【解析】根据题意，画出下图，由图可知M（-6 ， 4）.4. 【答案】 B；【解析】由题意可得： a b ，横坐标等于纵坐标的点在一三象限的角平分线上 .5. 【答案】 B； 【解析】由题意知： 点 M（a，b）与点 N（-2，-3）关于 x 轴对称，所以 M（-2,3） .6. 【答案】 B； 【解析】边长为奇数的正方形所含整点个数为奇数的平方，而边长为偶数的正方形所含整点个数与边长比此偶数少1 的奇数的正方形所含整点个数相同二、填空题7. 【答案】 P（ 1，1）或P（2， -2 ）；【解析】2a3a2 ，得 a 0或 a 1，分别代入即可8.答案】 B（ 5， -5 ）或（ -1，-5 ）；解析】 xB 2 3 5或-1，而 y