平面几何26个定理

1、高一数学竞赛班二试讲义第1讲平面几何中的26个定理班级姓名一、知识点金1.梅涅劳斯定理：若直线1不经过AABC的顶点 并且与AABC的三边BC.CAAB或它们的延长线 分别交于P,Q,R,则諾卷箸1注：梅涅劳斯定理的逆定理也成立（用同一法证明）2塞瓦定理：设P,Q、R分别是AABC的三边BQCAAB或它们的延长线上的点, 若AP.BQ.CRH线共点，则更2.竺=1PC QA RB注：塞瓦定理的逆定理也成立3托勒密定理:在四边形ABCD屮，有AB CD + BCAD A AC BD ,并且当且仅当四边形ABCD 内接于圆时.等式成立。证：在四边形ABCD内取点E,使ZBAE = ZCAD- ZA

2、BE = ZACDAB RE则：4ABE和AACD相似 /.= AB CD 二 AC BE AC CDAB AE乂 = JiZBAC = ZEAD /. AABC和AAED相似 AC ADBC ED = n AD BC= AC EDAC ADAB CD+AD BC= AC (BE + ED) AB CD 十 AD BC AC BD且等号当且仅当E在ED上时成立，即当且仅当A、B、C、D四点共圆时成立: 注托勒密定理的逆定理也成立4 西姆松定理，若从AABC外接圆上一点P作RCAB,CA的垂线. 垂足分别为D,E,F ,则DEF三点共线。1/8西姆松定理的逆定理：从点P作BC,AB,CA的垂线，

3、垂足分别为D,E,F o若D,E,F三点共 线，则点P在AABC的外接圆上。5. 蝴蝶定理：圆0中的弦PQ的中点M,过点M任作两弦AB, CD,弦AD与BC分别交PQ 于X, Y,则M为XY之中点。证明：过圆心0作AD与BC的垂线，垂足为S. T. 连接 OX, OY, OM, SM,V AAMDACMB am/cm=ad/bcVAS=1/2AD, BT=1/2BC /. Ahl/CM=AS/CT 又: ZA=Z C AMS s CMTA ZMSX=ZMTYT ZOMX=ZOSX=90A ZOhlX+ZOSX=180oAO, S, X, M四点共圆 同理，O, T, Y, M四点共圆ZMTY=

4、ZMOY, ZMSX=ZMOXZMOX=ZMOY ,TOM丄PQ/.XL4=YM注：把圆换成椭圆.抛物线、双曲线蝴蝶定理也成立6. 坎迪定理：设AB是己知圆的弦，M是AB上一点弦CD,EFMN AM MB过点M,连结CF.ED,分别交AB于L,N,则丄LM7. 斯特瓦尔特定理：设P为AABC的BC边上任一点，则令. .PC . BP 宀 BP 】AP = A6 + A 一 B-oBCBCBC 注：斯特瓦尔特定理的逆定理也成立8张角定理：SAC,B顺次分别是平面内一点P所引三条射线AB, AP, AC上的点，线段AC,CB对点P的张角分别为匕0，且a + 0vl8(T,则AC.B三点共线的充要条

5、件是：sin(a+P) _ sina sin卩=+PC PB PA9. 九点圆定理：三角形的三条高的垂足、三边的中点，以及垂心与顶点的三条连接线段的中点, 共九点共圆。此圆称为三角形的九点圆，或称欧拉圆。AABC的九点岡的洌心是其外心与垂心所 连线段的中点.九点鬪的半径是ADC的外接圆半径的丄。2证明：的九点圆与MBC的外接圆，以三角形的垂心为外位似中心，又以三角形的重心为内位似中心。位似比均为l：2o10. 欧拉线：AABC的垂心H ,重心G ,外心O三点共纵此线称为欧拉线，且有关系：HG = 2GO11. 欧拉公式：设三角形的外接圆与内切圆的半径分别为R和r,则这两圆的圆心距OI = jR

6、(R_2r)。由此町知，R2r 证明：设外心为O,内心为I,连结OI,延长交外接圆于N,P两点，令d = OI, At交外接圆于L.=2Ri Asin 2A 则(R d)(R+ d) = NI IP = LI IA= LB IA= 2Rsin-212.笛沙格定理;在AABC和ABC中.若AABBCCr相交于一点0,则AB与AH BC与 BrC AC与AC的交点F,D,E共线。证明：ZiOBC和梅尼线B CD,要型竽=1； AOAB和梅尼线AEF ,- = 1：EE DC CfOAA FB BOOAC和梅尼线ZC它, =1.三式相乘，得型 = K 得证CC EA AODC EA FB2/813.

7、 牛顿(Newton)定理 1：圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合。证法1:设四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA与内切圆分别切于点E.F.G.H首先证明，直线AC.EG.FH交于一点设EG.FH分别交AC于点I,T显然 ZAHF=ZBH * ,因此易知 Ar*Hr/Fr*Cr=S(ArH)/S(CrF)=AH*HI7CF*FI故 AI7Cr=AH/CF同样町证 AI/CI=AE/CG又 AE=AH,CF=CG故 AI/CI=AH/CF=AI7Cr从而I,T觅介即直线AC.EG.FH交于一点.同理可证卫线BD,EG,FH交于一点.因此 直线AC,BD,EG,F

8、H交于一点。证法2：外四边形为ABCD,对应内切四边形为EFGH,连接EG, FH交于P。下而证明BD过P即可。过D座EG的平行线交BA与S,过D做FH的平行线交BC于T。由于弦切角及同位角，角 BEG=ffj CGE=角CDS=J BSD。所以SEGD四点共圆，且为等腰梯形。设此圆为圆M.圆M与 圆O,内切圆交于EG,所以其根轴为EG,同理对圆N, DHFT,与圆0交于HF。HF为此两圆 的根轴。由根轴定理，只需证明BD为圆M与圆N的根轴即町证明BD, EG, HF共于点P。D在圆M和圆N上，所以其为根轴一点。由于SEGD,利DHFT为等腰梯形，所以ES=DG, DH=FTo fh切线长定理

9、，DH=DG, BE=BF；所以 BE=BF, ES=FT, BS=BT。若 B 为圆 M 与圆 N 的根轴上一点，则BE*BS=BF*BT.其为割线长。明显等式成芷。所以BD为圆M与圆N的根轴， 则BD, EG, HF共于点P。同理AC, EG, HF共于点P。命题得证。14. 牛顿(Newton)定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点,及该圆的圆心,三点共线.证明：设四边形ABCD是。I的外切四边形，E和F分别是它的对角线AC和BD的中 点，连接EI只需证它过点F,即只需证ABEI与ADEI面积相等。显然，SA BEI=SA BIC+SA CEI-SA BCE. SA DEI=SA ADE

10、+SA AIE-SA AIDo注意两个式子，由ABCD外切于Ol, AB+CD=AD+BC, SA BIC+SA AID=1/2*S四边形 ABCD, SA ADE+SA BCE=1/2*SA ACD+1/2*SA ABC=1/2*S 四边形 ABCD即 SA BIC+SA AID=SA ADE+SA BCE,移项得 SA BIC-SA BCE=SA ADE-SA AID,由 E 是 AC 中点，SA CEI=SA AEI,故 SA BIC+SA CEI-SA BCE=SA ADE+SA AIE-SA AID ,即 SA BEI=A DEL而F是BD中点，由共边比例定理EI过点F即EF过点I,

11、故结论成立。15. 牛顿(Newton)定理3：完全四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两*对 角线的中点，三点共线。这条輕叫做这个四边形的牛顿线，证明：四边形ABCDABnCD=E,ADnBC=F,BD中点M.AC中点L.EF中点N 取BE 中点 P.BC 屮点 R,PNnCE=Q3/8R,L,Q 共线，QL/LR=EA/AB: M,R,P 共线，RM/MP=CD/DE：N.P.Q 共线，PN/NQ=BF/FCo三式相乘得 QL/LR*Rhl/hlP*PN/NQ=EA/AB*CD/DE*BF/FCQL/LR +RM/MP *PN/NQ=1APQR及梅尼线LMN,由梅涅劳斯定理的逆定理

12、知L, M, N三点共线。16. 布利安双定理：设一六角形外切于一条圆锥曲线，那么它的三双对顶点的连线共点。在此, 捉供用初等几何证明外切于圆的情形。记六边形为ABCDEF外切于圆O, AB, BC, CD,DE,EF,FA上的切点分别是G,H,I,J,K,L设AB.DC 交于X.AF.DE交于Y则四边形AXDY外切于圆0,切点分别是GJ.J.Lo圆外切四边形对边切点连 线与主对角线交于一点，AD.GJ.LI共点（记为点P）。同理，BE,GJ,KH共点（记为点r）,CF,LI,KH 共点（记为点q则命题可转为证明DP.BR.FQ共点。17. 拿破仑定理；若在任意三角形的各边向外作正三角形。则它

13、们的中心构成一个正三角形。 证明： 设等边 ABD的外接圆和等边厶ACF的外接圆相交于0；连AO、CO、B0。ZADB=ZAFC=60：TA、D、B、0四点共圆：A、F、C、0四点共圆:/. ZAOB=ZAOC=120；ZBOC=120：T A BCE 是等边三角形ZBEC=60：B、E、C、O四点共圆；A这3个等边三角形的外接圆共点。设等边 ABD的外接圆0N,等边 ACF的外接圆0M,等边 BCE的外接圆GP相交于0； 连AO、CO、BO。 V A、D、B、O四点共圆；A、F、C、O四点共圆，B、E、C、O四点共圆,ZAFC=ZADB=ZBEC=60：化 ZAOB=ZAOC=ZBOC=12

14、0：TNP、MP、MN是连心线；BO、CO、AO是公共弦；.I BO丄NP于X：CO丄MP于Y；AO丄NM于Z。X、P、Y、O四点共圆： Y、M、Z、O四点共圆；Z、N、X、0四点共圆：ZN=ZM=ZP=60：即厶MNP是等边三角形。18. 帕斯卡（Pascal）定理：如图，圆内接六边形ABCDEF的边AB、DE的延长线交于点G,边证明：延长AB、CD、EF,分别交直线CD、EF、AB于M、N、L三点，构成 LMN。 LB MC NH _直线BC截LM、MN、NL于E、C、H三点，则MB 应7 TH 4/8 直线 DE 截 LM. MN. NL 于 G、D、E 三点，则|LG|/|MG|.|h

15、lD|/|ND| |NE|/1LE|=1 .LA MK NF直线AF截LM、MN、NL于A、K、F三点，则航 ITkTFMA MB . NC ND 4= i=j连BE,则LALB=LFLE, .。同理MD MC ，NF NE 。NH LG MI _ 将(D相乘，得LH MG NK o点H、G、K在ALMN的边LN、LM、MN的延长线上，.H、G、K三点共线。19. 蒙日定理(根心定理)：平面上任意三个圆，若这三个圆圆心不共线，则三条根轴相交 于一点，这个点叫它们的根心：若三圆圆心共线，则三条根轴互相平行。注：在平面上任给两不同心的圆，则对两圆鯉相等的点的集合是一条直线，这条线称 为这两个圆的根

16、轴。另一角度也可以称两不同心圆的等幕点的轨迹为根轴，或者称作等 幕轴。(1) 平面上任意两圆的根轴垂直于它们的连心线；(2) 若两圆相交，则两圆的根轴为公共弦所在的直线：(3) 若两圆相切，则两圆的根轴为它们的内公切线：20. 莫利定理(Moileyl theorem),也称为莫雷角三分线定理：将三角形的三个内角三等 分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点町以构成一个正三角形。 这个三角形常被称作莫利正三角形。证法*:在 ABR中，由正弦定理，得AR=csinp/sin(a+p)不失一般性， ABC外接圆直径为1 ,则由正弦定理，知c=sin3y ,所以AR=( sin3y

17、*sinp )/sin(60-y)=sinp*siny(3-4sinA2 y)/ l/2(3cosy-siny)=Zsinpsiny ( Scosy+siny )=4sinpsinysin ( 60+y). 同理,AQ=4sinpsinysin(60+p) it A ARQ 中，由余弦定理, 得 RQA2 =16sinA2 PsinA2 ysinA2 (60+y)+sinA2 (60+p)-2sin(60+Y)*sin( 60+p )cosa=16sinA2 asinA2 psinA2 y. 这是一个关于a, 0, 丫的对称式，同理可得PQT , PRA2有相同的 对称性，故PQ=RQ=PR,

18、所以APOR是正三角形。证法二：*/ AE: AC=siny： sin ( a+y),AF： AB=sin|3： sin (a+p),AB： AC=sin3y： sin3p./.AE AF= (ACsin (a+y) /siny)： (ABsin (a+p)/sin3),而 sm3y： sin3p= (sinysin(60+y)sin(60-y) )： (sinf sin(60+p)sin(60-P), /. AE： AF=sin(60o+y)： sin(60+p),.在厶 AEF 中，ZAEF=60+y,同理ZCED=60o+a,A ZDEF=60,A ADEF 为正三角形。5/821. 斯

19、坦纳一莱默斯定理:A如图，己知 ABC中，两内角的平分线BD=CEo求证：AB=AC。证法 作ZBDF=ZBCE；并使DF=BCVBD=EC,BDF 丝ECB,BF=BE,ZBEC=ZDBF SZABD=ZDBC=a, ZACE=ZECB=p, ZFBC=ZBEC+a=180o-2a-p+a=180.(a+p), ZCDF=ZFDB+ZCDB=p+180-2p-a=180-(a+p),:.ZFBC=ZCDF,V2a+2pA a+p90 过C点作FB的垂线和过F点作CD的垂线必都在FB ft CD的延长线上设垂足分别为 G、H,ZHDF=ZCBG, VBC=DF, ARtA CGBRtA FHD

20、, ACG=FHBC=FD 连接 CF, VCF=FC,FH=CG, ARtA CGFAFHC (HL), /.FG=CH,又 VBG=DH,/-BF=CD, 又 VBF=BE,ACD=BE , VBE=CDBC=CBEC=DB. A ABEC ACDB ,/ ZABC=ZACBAAB=AC 证法 设二角的一半分别为 cu p ,sin(2a+p)/ sin2a= BC/CE = BC/BD = sm(a+2p)/ sinZp, /. 2sinacosasin(a+2p) 2sinpcospsin(2a+p)=0sinasin2(a+p)+sin 2- sinpsin2 (a+p)+ sin2

21、a=0-sin2(a+p)sina-sinp+2 sinasinflcosp cosa=0sin (a-P)/2 sin2(a+p)cos(a+p)/2 + 2 sinasinfsin (a+p)/2=0 sin (a-p)/2=0Z. a邙,Z. AB=AC.证法用张角定理:2cosa/BE=l/BC+l/AB ,2cosp/CD=l/BC4-l/AC ,若a邛 町推出ABAC矛盾！若avp町推出AB AC矛盾！ 所以AB=AC22. 费尔马点：费尔马点就是到三角形的三个顶点的距离之和最短的点。对于一个顶角不 超过120度的三角形，费尔马点是对各边的张角都是120度的点。对于一个顶角超过12

22、0度的三角 形，费尔马点就是绘大的内角的顶点。证明： 在平面三角形中：(1)三内角皆小于120。的三角形，分别以ABRCQA,为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,后连接AA1,BB1,CC1侧三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.(2)若三角形存一内角大于或等于120度，则此钝角的顶点就是所求(3)当厶ABC为等边三角形时，此时外心与费马点重合 (1)等边三角形中BP=PC=PA, BP、PC、PA分别为三角形三边上的高和中线、三角上的角分线。是内切圆和外切圆的+ 0 A BPCACPAAPBAo(2)当BC=BA但CAHAB时，BP为三角形CA上的高和中线、三角上的角

23、分线。证明(1)费马点对边的张角为120度。 CC1B 和厶 AA1B 中,BC=BA1,BA=BC1,ZCBC1=ZB+6O =ZABA1, CC1B 和厶 AA1B 是 全等三角形，得到ZPCB=ZPA1B 同理可得ZCBP=ZCA1P 由ZPA1B+ZCA1P=6O度，得 ZPCB+ZCBP=60 度，所以 ZCPB=120 度 同理,ZAPB=120 度，ZAPC=120 度 (2)PA+PB+PC=AA1将厶BPC以点B为旋转中心旋转60应与 BDA1旋合，连结PD,则厶PDB 为等边三角形，所以ZBPD=60度 又ZBPA=120度，因此A、P、D三点在同一直线上，又ZCPB=ZA

24、1DB=12O 度，ZPDB=60 度，ZPDA1=18O 度，所以 A、P、D、A1 四点在同一直线 上，故PAiPBiPC=AAlo (3)PAPBIPC Ai短 在A ABC内任意取一点M (不与点P垂合)， 连结AM、BM、CM,将ABMC以点B为旋转中心旋转60度与 BGA1重介，连结AM、GM、6/8A1G(同上)，则AA1 A1 G+GM+MA-Ahf+BM+CM.所以费马点到三个顶点A、B、C的距离瑕短。 平面四边形费马点 平面四边形中费3点证明相对于三角型中较为简易，也校容易研究。(1) 在凸四边形ABCD中，费马点为两对角线AC、BD交点P。 (2)在凹四边形ABCD中，费

25、马 点为凹顶点D (P)o23. 等差農线定理：已知A、B亮点，则满足AP2-BPMc(k为常数)的点P轨迹是垂直于AB的一条直线。24. 婆罗摩笈多定理若圆内接四边形ABCD的对角线相互垂直，则垂直于一边CD且过对角线交点E的直 线EF将AB平分对边。25.莱莫恩(Lemoine)定理：过 ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线分别和BC、 CA、AB所在直线交于P、Q、R,则P. Q、R三点共线。直线PQR称为 ABC的莱莫恩线。证明：由弦切角定理町以得到：sinZACR=sinZABC , sinZBCR=sinZBACsin ZB AP=sni ZBCA,sin Z CAP=si

26、nZABCsin Z CBQ=sin ZBACsin Z ABQ=sinZBCA所以，我们可以得到：(sniZACR/sinZBCR)*(sinZBAP/smZCAP)sinZCBQ/sinZABQ)=b 这是角元形式的梅涅劳斯定理，所以，由此，得到 ABC被直线PQR所截，即P、Q、R共线。7/826清宫定理：设P、Q为A ABC的外接圆上异于A、B、C的两点，P关于三边BC、CA、 AB的对称点分别是U、V、W,且QU、QV、QW分别交三边BC、CA、AB或其延长线 于D、E、F,则D、E、F在同一直线上证明：设P、Q为厶ABC的外接圆上异于A、B、C的两点，P关于三边BC、CA、AB 的对称点分别是U、V、W,且QU、QV、QW分别交三边BC、CA、AB或其延长线于D、 E、F 这时，P、Q两点和D、F、E、三点有如卞关系：将三角形的三边或者其延长 线作为镜面，则从P点出发的光线照到D