平方的和与立方的和

1、最新资料推荐平方的和与立方的和) 3(1+2+3+4+.+n)+n 1 23 4.+n n +(3/2)n(n+ 1) n/3=(1/6)n2n 3n+32=(1/6)n(n+1)(2n+1) 1 +2 +3 +n =n(n+1 )/2 (n+1 ) -n =(n+1 ) +n (n+1 ) -n =(2n +2n+1 )(2n+1 ) =4n +6n +4n+1 2 -1 =4*1 +6*1 +4*1 +13 -2 =4*2 +6*2 +4*2+1 4 -3 =4*3 +6*3 +4*3+1 (n+1 ) -n =4*n +6*n +4*n+1 各式相加有 (n+1 )-1 =4*(1+2

2、+3 .+n )+6*(1 +2 +.+n )+4*(1 +2+3+.+n)+n4*(1+2 +3 +.+n )=(n+1 ) -1 +6*n(n+1 )(2n+1 )/6+4*(1 +n)n/2+n=n(n+1 ) 1 +2 +.+n =n(n+1 )/2为证 明12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)/6 ， 我决定借助于几何图形。如图：图中有 n 个小正方形(我只画了 5 个) 连接， 边长分别为1、 2 、 3 、 、 n 。这些小正方形都置于一个大正方形中， 则 大正方形边长 =1+2+3+n=n(n+1)/2 大正 方形 面积 =n(n+1)/22=(n4+2n3+n2)/

3、4 将空余部分分条。先看左下部分， 共有 n-1 条。设某条按从左到右顺序为第 i 条， 则：该条宽度即为 i 。=(i+1)+(i+2)+(i+3)+n=(n-i)(n+i+1)/2=(n2+n-i2-i)/2 则该条面 积 =i(n2+n-i2-i)/2=(in2+in-i3-i2)/2则左下半侧 n-1 条总面积为：(1*n2+1*n-13-12)/2+(2*n2+2*n-23-22)/2+(3*n2+3*n-33-32)/2+(n-1)*n2+(n-1)*n-(n-1)3-(n-1)2/2=1*n2+2*n2+3*n2+(n-1)n2+1n+2n+3n+(n-1)n-13+23+33+

4、(n-1)3-12+22+32+(n-1)2/2=1+2+3+(n-1)n2+1+2+3+(n-1)n-13+23+33+(n-1)3-12+22+32+(n-1)2/2=n(n-1)/2*n2+n(n-1)/2*n-(13+23+33+n3)+n3-(12+22+32+n2)+n2/2=n3(n-1)/2+n2(n-1)/2-(13+23+33+n3)-(12+22+32+n2)+n3+n2/2 为方便书写， 记 12+22+32+n2=t2， 13+23+33+n3=t3 两侧全部 空余部分面积为：n3(n-1)/2+n2(n-1)/2-t3-t2+n3+n2=(n4-n3)/2+(n3-

5、n2)/2+2n3/2+2n2/2-t3-t2=(n4-n3+n3-n2+2n3+2n2)/2-t3-t2 =(n4+2n3+n2)/2-t3-t2 根据：空余部分面积 +小正方形面积 =大正方形面积， 得：(n4+2n3+n2)/2-t3-t2+t2=(n4+2n3+n2)/4t3=(n4+2n3+n2)/2-(n4+2n3+n2)/4最新资料推荐t3=(2n4+4n3+2n2)/4-(n4+2n3+n2)/4 t3=(n4+2n3+n2)/4=n2(n+1)2/4 即：13+23+33+n3=n2(n+1)2/4 本 来 要 证 12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)/6 ， 却 证 出 了 13+23+33+n3=n2(n+1)2/4 ， 可谓有心栽花花不成， 无心插柳柳成 荫。一幢 33 层的大楼有一部电梯停在第一层， 它一次最多容纳 32 人， 而且只能在第 2 层至第 33 层中某一层停一次， 对于每个 人来说， 他往下走一层楼梯感到 1 分不满意， 往上走一层楼梯感 到 3 分不满意， 现在有 32 个人在第一层， 并