常州教育学会学生学业水平监测

1、常州市教育学会学生学业水平监测高三数学试题2018年 1月注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共 4页，包含填空题（第 1题第 14题）、解答题（第 15题第 20题）本 卷满分 160 分，考试时间为 120 分钟考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回 2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0 5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。 作答必须用 05 毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚4如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗 5请保持答题卡卡面清

2、洁，不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗 的圆珠笔、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5分，共计 70分请把答案填写在答题卡相应位置上1若集合 A 2,0,1, B x|x2 1 ，则集合 A B 2命题“ x 0,1, x2 10”是 命题（选填“真”或“假” ）23若复数 z满足 z 2i z 1（其中i为虚数单位 ） ，则 z 4若一组样本数据 2015，2017，x，2018，2016 的平均数为 2017， 则该组样本数据的方差为 5右图是一个算法的流程图，则输出的n的值是 16函数 f（x） 1 的定义域记作集合 D 随机地投掷一枚质地均匀的ln x正方体骰子（骰子

3、的每个面上分别标有点数 1,2, ,6 ），记骰子 向上的点数为 t ，则事件“ t D ”的概率为 7已知圆锥的高为 6，体积为 8用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的 圆台体积是 7，则该圆台的高为 开始A 2,n 1A Ann n 2输出 n结束第 5 题）8各项均为正数的等比数列an 中，若 a2a3a4 a2 a3 a4 ，则 a3的最小值为 229在平面直角坐标系 xOy中，设直线 l :x y 1 0与双曲线 C: x2 y2 1（a 0,b 0）的两 ab条渐近线都相交且交点都在 y轴左侧，则双曲线 C 的离心率 e的取值范围是 x y 0,10已知实数 x,y满足 2x y

4、20,则 x y的取值范围是 x 2y 4 0,1-1第 12 题）11已知函数 f （x） bx ln x，其中 b R 若过原点且斜率为 k 的直线与曲线 y f（x） 相切，则 k b 的值为 12如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数y sin（ x ）（ 0,0） 的图象与 x 轴的交点 A,B,C 满足 OA OC 2OB ，则 13在 ABC 中， AB 5,AC 7,BC 3， P为 ABC 内一点（含边界） ，若满足1BP BA BC( R) ，则 BA BP的取值范围为 414已知 ABC 中， AB AC 3 ， ABC 所在平面内存在点 P 使得 PB2 PC2 3P

5、A2 3，则 ABC 面积的最大值为 、解答题：本大题共 6 小题，共计 90分请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分 14 分）已知 ABC 中， a,b, c分别为三个内角 A, B,C 的对边， 3b sin C ccosB c 1）求角 B ；2)若 b2 ac ，tanA tanC的值16（本小题满分 14 分） 如图，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD是平行四边形， PC 平面ABCD ，PB PD，点Q是棱 PC上异于 P，C 的一点（1）求证： BD AC ；（2）过点Q和 AD的平面截四棱锥得到截面 ADQF （点F在 棱

6、PB上），求证： QF BC 第 16 题）17（本小题满分 14 分） 已知小明（如图中 AB所示）身高 1.8米，路灯 OM高3. 6米，AB，OM 均垂直于水平地面， 分别与地面交于点 A， O点光源从 M 发出，小明在地面上的影子记作 AB （1）小明沿着圆心为 O，半径为 3米的圆周在地面上走一圈，求 AB 扫过的图形面积；（2）若 OA 3米，小明从 A 出发，以 1 米/秒的速度沿线段 AA1走到 A1 ， OAA1 ，且3AA1 10 米 t 秒时，小明在地面上的影子长度记为f （t） （单位：米） ，求 f （t） 的表达式与最小值17 题）18（本小题满分 16 分）2 x

7、 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C: 2 a22y2 1（a b 0）的右焦点为 F ，点 A 是 b2椭圆的左顶点，过原点的直线 MN 与椭圆交于 M,N两点（ M 在第三象限） ，与椭圆的右准42 线交于 P点已知 AM MN，且 OAOMb231）求椭圆 C 的离心率 e；2）若 SAMN10S POF 3 a ，求椭圆C 的标准方程第 18 题）19(本小题满分 16 分)已知各项均为正数的无穷数列an的前 n项和为 Sn ，且满足 a1 a(其中 a为常数) ，nSn 1 (n 1)Sn n(n 1)(n N ) 数列 bn 满足 bn(n N*) anan 1(1)证明

8、数列 an 是等差数列，并求出 an 的通项公式；2)若无穷等比数列 cn 满足：对任意的 n N* ，数列bn 中总存在两个不同的项 bs，bt s,t N* )，使得 bs cn bt，求 cn 的公比 q20(本小题满分 16 分) 已知函数 f(x) lnx 2 ，其中 a为常数(x a)2(1)若 a 0 ，求函数 f (x) 的极值；(2)若函数 f(x)在 (0， a )上单调递增，求实数 a的取值范围；(3) 若 a1，设函数 f(x) 在(0 ，1)上的极值点为 x0 ，求证： f(x0)2常州市教育学会学生学业水平监测数学（附加题）2018年 1 月注意事项考生在答题前请认

9、真阅读本注意事项及各题答题要求1 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用本试卷第21题有 A、B、C、D 4个小题供选做， 每位考生在 4个选做题中选答 2 题若考生选做了 3题或 4 题，则按选 做题中的前 2题计分第 22、 23题为必答题每小题 10分，共 40 分考试时间 30 分钟考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回2 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用05 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效作 答必须用 05 毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整，笔迹清楚4 如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，

10、线条、符号等须加黑、加粗5 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦 洗的圆珠笔21【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题 ，每小题 10 分，共计 20 分请在 答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 4 1：几何证明选讲在 ABC 中，N 是边 AC 上一点，且 CN 2AN ，AB 与 NBC 的外接圆相切，求 BC 的值BNB选修 4 2：矩阵与变换42已知矩阵 A 不存在逆矩阵，求：a1（1）实数 a 的值； （2）矩阵 A 的特征向量C选修 4 4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy中，以原点 O为极点

11、， x轴正半轴为极轴，建立极坐标系 .曲线 C 的sin( ) 2 ，直线 l4x 2cos 1,参数方程为 x 2cos 1, （ 为参数），直线 l 的极坐标方程为 y 2sin与曲线 C 交于 M ，N 两点，求 MN 的长 D 选修 4 5：不等式选讲已知 a 0,b 0 ，求证：【必做题】第 22 题、第23题，每题 10 分，共计20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分 10 分）已知正四棱锥 P ABCD 的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的 8 条棱中任取两条，按下列方式定义随机变量 的值：若这两条棱所在的直线相交，则的值是这

12、两条棱所在直线的夹角大小（弧度制） ；若这两条棱所在的直线平行，则0；若这两条棱所在的直线异面，则的值是这两条棱所在直线所成角的大小（弧度制）（1）求 P（0） 的值；（2）求随机变量 的分布列及数学期望 E（ ） 23（本小题满分 10 分）记（x 1） （x 1）（x 1）（n2且n N* ）的展开式中含 x项的系数为 Sn，含 x2项的2n系数为 Tn 1）求 Sn ；Tn2（2）若 n an2 bn c ，对 n 2,3,4 成立，求实数 a, b, c 的值；Sn Tn2（3）对（2）中的实数 a, b, c ，用数学归纳法证明： 对任意 n2且n N * ， n an2 bn c

13、Sn都成立、填空题：本大题共1 22真常州市教育学会学生学业水平监测高三数学试题参考答案及评分标准14 小题，每小题 5 分，共 70 分31425765673410 3,836 小题，共计111e14 523165 25 13 , 8490 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤1）由正弦定理得3sin BsinC cos B sin C sinC， ABC 中， sinC 0，所以8 39 (1, 2)二、解答题：本大题共15解：12 4153sinB cosB 1，所以 sin(B ) ， B ， 6 2 6 6 6(2)因为 b2 ac ，由正弦定理得 sin2 B sin Asi

14、nC ，1 1 cosA cosC cosAsinC sin AcosC sin(A C) sin( B) tanA tanC sinA sinCB 6 6，所以sinAsinC1 sinB 11所以， tanA tanC sin2 B sinBsin AsinC1 2 3332BD 平面 ABCD ，所以sin AsinCsinBsin AsinC16（ 1）证明： PC 平面ABCD ，BD PC ，记 AC ，BD 交于点 O ，平行四边形对角线互相平分， 则O为BD的中点，又 PBD中， PB PD，所以 BD OP， 又 PC OP=P， PC，OP 平面PAC ，所以 BD 平面

15、PAC， 又 AC 平面 PAC ，所以 BD AC ；（2）四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AD BC ，又AD 平面 PBC， BC 平面PBC ，所以 AD 平面PBC ， 又 AD 平面 ADQF ， 平面 ADQF 平面 PBC QF ，所以AD Q F，又 AD BC ，所以 QF BC 17解：（1）由题意 AB OM ，ABAB 1.8 1OB OM 3.6 2OA 3 ，所以 OB 6 ，小明在地面上的身影 AB 扫过的图形是圆环，其面积为6232 27 (平方米)2）经过 t 秒，小明走到了 A0 处，身影为 A0B0 ，由( 1)知 AO0BB0 OAMBOB0 O

16、M所以f(t) A0B0 OA0 OA2 AA02 2OA AA0cos OAA0 ，化简得 f(t) t2 3t 9,0 t10，f (t)247，当t 23时，f（t） 的最小值为23答： f(t) t2 3t 9,0 t10，当 t 2 (秒)时，f （t） 的最小值为 3 3 （米）218解：(1)由题意22 xy2 2 1 22 2 c 2 2a b ，消去 y 得 2 x2 ax b2 0，解得 x1 a，x2 a 2 2 a 2 a(x 2)2 y2 (2)2ab22， c所以 xMab2 ( a,0) ， OA OM xM xA ab2 a 4b2 ，cc23c22 3，所以

17、e 3；a2 4 22)由( 1)M( 32b, 232b)，右准线方程为 x 433b，直线 MN 的方程为 y 2x ，所以 P(433b,436b)3SPOF 1OF yP= 3b 4 6b 2 2b2， S2 2 3AMN 2SAOM OA yM2b 232b 432b2 ，33所以 2 2b2+4 2b2 10a， 10 2b2 20b，所以 b 2,a 2 2 ，3 3 3 322椭圆 C 的标准方程为 x y 18219解：( 1)方法一：因为 nSn 1 (n 1)Sn n(n 1) ，所以 (n 1)Sn 2 (n 2)Sn 1 (n 1)(n 2)，由 - 得， (n 1)

18、Sn 2 nSn 1 (n 2)Sn 1 (n 1)Sn 2(n 1)，即 (n 1)Sn 2 (2n2)Sn 1 (n 1)Sn 2(n 1) ，又 n 10，则 Sn 2 2Sn 1 Sn2 ，即 an 2 an 1 2 在 nSn 1 (n 1)Snn(n 1)中令 n 1得， a1 a2 2a12，即 a2a12 综上，对任意 n N* ，都有 an1 an 2， 故数列 an 是以 2 为公差的等差数列又 a1 a ，则 an 2n 2 a 方法二：因为 nSn 1(n1)Snn(n1)，所以Sn1Sn1，又 S1a1a，则数列Snn 1 n n 是以 a 为首项， 1为公差的等差数

19、列，S2因此 n n 1 a ，即 Sn n2 (a 1)n n当 n 2 时， an Sn Sn 1 2n 2 a ，又 a1 a 也符合上式，故 an 2n 2 a (n N *) ，2)令 enan 1an22n 2 a，则数列 en 是递减数列，所以21 en 1a1考察函数 y x (x 1) ，因为 y 1xx2 1x210 ，所以 y x 在 (1, ) 上递x故对任意 n N*，都有 an 1 an 2，即数列 an是以 2为公差的等差数列增 因此 2ene1n 2a(a42)，从而 bnene1n2, 2a(a42) 因为对任意的 n N* ，总存在数列 bn 中的两个不同项

20、 bs，bt，使得 bscn bt ，所以对任意的 n N*都有 cn2, 24a(a 2)，明显 q 0 若 q 1 ，当 n 1 log qa(a2 2) 时，有cn c1qn12qn 1 2 4a(a 2)不符合题意，舍去；若 0 q 1，当 n 1 logqa2a 2a2a2 时，有 cn c1qn 1 2 a(a4 2)qn 1n12，不符合题意，舍去；故 q 1 ln x20解：(1)当 a 0时， f(x) 2 ，定义域为 (0， ) xf (x) 1 23ln x ，令 f (x) 0 ，得 xexx(0 ， e)e( e ， )f(x)0f (x)极大值 12e1当 x e时

21、， f (x)的极大值为 1 ，无极小值2e1 a 2ln x2) f (x)x 3 ，由题意 f (x) 0对 x (0， a) 恒成立(x a)33 x (0 ， a) ， (x a)3 0 ，a 12ln x0对 x (0， a)恒成立x a2xln x x对 x (0， a)恒成立令g(x) 2xlnx x， x (0， a)， 则 g (x) 2ln x 1，11若 0 ae 2，即 0 a-e 2 ，则 g (x) 2ln x 1 0对x (0， a )恒成立， g(x) 2xln x x在(0， a) 上单调递减，1则 a 2( - a)ln( a) ( a)， 0ln( a)，

22、 a 1与a-e 2 矛盾，舍去；1 1 1若 a e 2 ，即 a e 2 ，令 g (x) 2ln x 1 0 ，得 x e 2 ，1当0 x e 2时， g(x) 2ln x 1 0， g(x) 2xlnx x单调递减，1当e 2 x a时， g(x) 2ln x 1 0， g(x) 2xlnx x单调递增，1 1 1 1 当 x e 2 时， g(x) min g(e 2) 2e 2 ln(e 2)1 a 2e 211e 2 2e 2 ，3)当 a1 时， f (x)1综上 a 2e 2 ln x (x 1)2x 1 2xln x ， f (x) x(x 1)3令 h(x) x 1 2

23、xln x， x (0 ，1)则h(x) 1 2(ln x 1) 2ln x 11，令 h(x) 0 ，得 x e 21当 e 2 x 1时， h (x) 0， f (x) x 1 2xl3nx 0恒成立， f(x)x(x 1)31h(x) x 1 2xln x单调递减， h(x) (0，2e 2 1 ，1ln x 2 单调递减，且 f (x) f (e 2 ) ， (x 1)21当 0 xe 2时， h(x)0， h(x) x 1 2xln x单调递增， 其中 h(1)11 21ln(1)ln 40 ，其中 22 2 2 e，又h(e 2) e2 1 2e2 ln(e 2) 52 1 0，e

24、221存在唯一 x0 (e 2,2) ，使得 h(x0) 0 ， f (x0) 0，当 0 x x0 时， f (x) 0 ， f (x) ln x 2 单调递增，(x 1)211当 x0 xe 2时， f (x) 0， f(x) lnx 2 单调递减，且 f(x) f(e 2)， 0 (x 1)2由和可知， f(x)lnx2 在 (0 ，x0 ) 单调递增，在 ( x0 ，1)上单调递减，(x 1)2当 x x0 时， f(x) ln x 2 取极大值0 (x 1)2 h(x0) x0 1 2x0 ln x0 0 ， ln x0 x02x0f (x0)ln x0(x0 1)212x0(x0

25、1)11 2 1 2(x0)20 2 211 21 11又 x0 (0，)， 2(x02)22 ( 2，0) ，f(x0)11 22 2 2 22(x0 12)2 1210常州市教育学会学生学业水平监测高三数学（附加题） 参考答案21、【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题 ，每小题 10分，共计 20 分 A选修 4 1：几何证明选讲解：记 NBC 外接圆为圆 O，AB、 AC分别是圆 O的切线和割线，所以 AB2 AN AC ， 又 A A ，所以 ABN 与 ACB 相似，所以 BC AB AC ，所以BN AN ABBC 2 AB AC ACBC3 ，3 BNAN AB A

26、NBNB选修 4 2：矩阵与变换422) =0 ，即 ( 4)( 1) 4 0 ，所以 2 5 0 ，解得 1 0, 2 5 211 0 时，2 5 时，4x 2y 0 ，2x y 0y 2x，属于 1 0 的一个特征向量为x 2y 02x 4y 0x 2y ，属于 1 0 的一个特征向量为解：曲 线 C:（x 1）2 y2 4 ，直线 l: x y 2 0，圆 心 C（1,0到） 直 线 l 的距离 为C选修 4 4：坐标系与参数方程1 0 2 2d 2 2 2 ，所以弦长 MN 2 r 2 d212 12 214 D 选修 4 5：不等式选讲5 5 1 1证明： a 0,b 0 ，不妨设 ab 0，则 a2b2，a2 b2 ，由排序不等式得5 1 5 1 5 1 5 1a2a2 b2b2 a2b2 b