圆锥曲线椭圆双曲线抛物线知识点总结

1、双曲线知识点双曲线的定义：1. 第一定义：到两个定点 F1 与 F2 的距离之差的绝对值等于定长（|F1F2| ）的点的轨迹 （ PF1 PF2 2a F1F2 （a 为常数）这两个定点叫双曲线的焦点要注意两点：（1）距离之差的绝对值 .（2）2a| F1F2| 时，动点轨迹不存在 .2. 第二定义： 动点到一定点 F的距离与它到一条定直线 l 的距离之比是常数 e（ e1） 时，这个动点 的轨迹是双曲线 这定点叫做双曲线的焦点，定直线 l 叫做双曲线的准线双曲线的标准方程：22ax2 by2 1(a0，b0)(焦点在 x轴上)；2 y2 ab21(a0，b0)(焦点在 y 轴上) ；1. 如

2、果x 2 2 2 2 24a2b2(m2 b2 a2k2)项的系数是正数，则焦点在 x轴上；如果 y 2项的系数是正数，则焦点在 y2.轴上. a 不一定大于 b.22与双曲线 x2 y2 1共焦点的双曲线系方程是 a2 b2a22b2y2 k 13.2 双曲线方程也可设为： x m2y1(mn 0)n2 例题：已知双曲线 C 和椭圆 x162y9 1有相同的焦点，且过 P(3, 4)点，求双曲线 C 的轨迹方程。点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线：点 P(x0,y0)在双曲线2x22 y21(a0,b0) 的内部2x0222y202 12ab2ab22222点 P

3、(x0,y0)在双曲线x2y21(a0,b0) 的外部x02y02 12ab2ab22222点 P(x0,y0) 在双曲线x2y21(a0,b0) 上 x02- y0 =1- 2 =1ab2ab22 直线与双曲线：(代数法)设直线 l : y kx m ，双曲线2 x22 y21(a 0,b 0) 联立解得ab2(b2 a2k 2)x2 2a 2 mkxa2m2a2b201) m 0 时， b k b 直线与双曲线交于两点(左支一个点右支一个点) ； aak b ， k b ，或 k 不存在时直线与双曲线没有交点； aa2) m 0 时，k 存在时，若b2 a2k 2 0k b ，直线与双曲线

4、渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；a2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2若 b2 a2k2 0 ， ( 2a2mk)2 4(b2 a2k2)( a2m2 a2b2)0时， m2 b2 a2k2 0 ，直线与双曲线相交于两点；0时， m2 b2 a2k2 0 ，直线与双曲线相离，没有交点； 220时m2 b2 a2k2 0 ，k2 m 2b 直线与双曲线有一个交点； a 若k 不存在， a m a时，直线与双曲线没有交点； m a或m a 直线与双曲线相交于两点；3. 过定点的直线与双曲线的位置关系：22设直线 l : y kx m 过定点 P(x0,y0) ，双曲线 2 2 1(a

5、 0,b 0)ab1). 当点 P( x0, y0 )在双曲线内部时：b k b ，直线与双曲线两支各有一个交点；aak b ，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；ak b 或 kb 或 k 不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；aa2). 当点 P(x0,y0) 在双曲线上时：kb 或 k b2x0 ，直线与双曲线只交于点 P(x0,y0) ；a a y0b k b 直线与双曲线交于两点(左支一个点右支一个点) ； aak 2 0 ( y0 0 )或 b k 2 0 ( y0 0 )或 k b 或 k 不存在， a2y0 a a2 y0a直线与双曲线在一支上有两个交点；当 y0

6、0 时，kb 或k 不存在，直线与双曲线只交于点 P(x0,y0) ；ak b 或 k b 时直线与双曲线的一支有两个交点；aab k b 直线与双曲线交于两点(左支一个点右支一个点) ； aa3). 当点 P(x0,y0) 在双曲线外部时：当 P 0,0 时，b k b ，直线与双曲线两支各有一个交点；aak b 或 k b 或 k 不存在，直线与双曲线没有交点；aa当点 m 0 时，kma2b 时，过点 P(x0,y0) 的直线与双曲线相切k b 时，直线与双曲线只交于一点；a几何法：直线与渐近线的位置关系2例：过点P(0,3) 的直线l和双曲线 C:x2 y 1 ，仅有一个公共点， 求直

7、线 l的方4四、程。双曲线与渐近线的关系：1.若双曲线方程为五、1.2.3.24. 若双曲线与 x2 a2 ab22 x2 y2 ab22 yx22 ab22 y2 x2 ab2ybx a2 x2 y2 ab2渐近线方程：0若双曲线方程为1渐近线方程：x若渐近线方程为a双曲线可设为2 x2 y0y2 y b2则双曲线的方程可设为上)双曲线与切线方程：2 双曲线 x2 a1(a0,b0)a0，b0)by 00.1有公共渐近线2x2a2 y b20 ，焦点在 x 轴上，0 ，焦点在 y 轴2y2 1(a 0,b 0) 上一点 P(x0, y0) 处的切线方程是 x02x bay0y 1.b02 1

8、.2.六、3.x0x2ay0 y 1.b21.x2双曲线 ax2 by2 1(a 0,b 0)与直线 Ax By C 0相切的条件是 A2a2 B2b2 c2 .双曲线的性质：标准方程(焦点在 x 轴)标准方程(焦点在 y 轴)22过双曲线 x2 y2 1(a 0,b 0)外一点 P(x0, y0)所引两条切线的切点弦方程是 ab双曲线22 xy2 2 1(a 0,b 0) ab定义范围对称轴对称中 心焦点坐标顶点坐 标离心率准线方 程顶点到 准线的 距离2 y2ab21(a0,b 0)第一定义：平面内与两个定点 F1， F2 的距离的差的绝对值是常数（小于 点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双

9、曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。F1F2 )的MMF1 MF22a 2a F1F2F1PyF2xxPyyF2xF1x第二定义：平面内与一个定点 动点的轨迹是双曲线。定点 F 叫 e（ e 1）叫做双曲线的离心率。F 和一条定直线 l 的距离的比是常数 e ，当 e 1 时， 做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数Py yPFPxxF1F2x a， y R y a， x Rx轴 ， y轴；实轴长为 2a ,虚轴长为 2b原点 O(0,0)F1( c,0)F2(c,0)F1(0, c)F2(0, c)焦点在实轴上， c a2 b2 ；焦距： F1F2 2ca,0) ( a,0)(0, a,)

10、 (0 ，a)e c（e 1）， c2 2 b2， e 越大则双曲线开口的开阔度越大 a2准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离： 2a 2 c2顶点A1（ A2 ）到准线l1（ l2 ）的距离为 a a2弦长公式：若直线，若 y1, y2分别为 A、B的纵坐标，则k2(x1 x2)2 (y1 y2)2AB2 顶点 A1（ A2 ）到准线 l2 （ l1 ）的距离为 a a c焦点到 准线的 距离22 焦点F1 （ F2 ）到准线 l1（l2）的距离为 c a2 b2 cc2 焦点F1 （ F2 ）到准线 l2 （ l1 ）的距离为 a2 c c渐近线方程b ( 虚) y x ( )

11、a实b ( 虚 ) x y ( ) a实共渐近 线的双 曲线系 方程222 2 k ( k 0) ab222 2 k ( k 0 ) ab直线和 双曲线 的位置22双曲线 x2 y2 1与直线 y kx b 的位置关系：a2 b222x2 y2 1利用 a2 b2 1转化为一元二次方程用判别式确定。 y kx b二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。 相交弦 AB的弦长 AB 1 k2 （x1 x2）2 4x1x2 通径： AB y2 y1过双曲 线上一 点的切 线x02x y02y 1 或利用导数abya02y xb02x 1 或利用导数七、y kx b 与圆锥曲线相交于两点A、B，且 x

12、1,x2 分别为 A、B 的横坐标，则AB2b2 通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、 B两点，则弦长 |AB| 2b 。a1 k2 y1 y2 。若弦 AB所在直线方程设为 x ky b ，则 AB特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后， 利用第二定义求解，x2 y2例：直线 y x 1与双曲线 x y 1相交于 A,B 两点，则 AB =23八、焦半径公式：22 双曲线 x2 y2 1(a0，b0)上有一动点 M (x0,y0)a2 b20 0当M ( x0 , y0)在左支上时 |MF1| ex0 a, |MF2| ex0 a 当 M ( x0 ,

13、y0)在右支上时 |MF1| ex0 a, |MF2| ex0 a注：焦半径公式是关于 x0的一次函数，具有单调性，当 M (x0,y0)在左支端点时 |MF1| c a， |MF2| c a ，当M ( x0 , y0)在左支端点时 |MF1| c a，|MF2| c a九、等轴双曲线：2x2 a 则：2y2 1(a0，b0)当 a b时称双曲线为等轴双曲线； b21. a b ；2.离心率 e 2 ；3. 两渐近线互相垂直，分别为 y= x；4. 等轴双曲线的方程 x2 y2， 0；5. 等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。 十、共轭双曲线：1. 定义：以已知双

14、曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共 轭双曲线，通常称它们互为共轭双曲线2. 方程：3. 性质：共轭双曲线有共同的渐近线； 共轭双曲线的四个焦点共圆 它们的离心率的倒数的平方和等于1。22x2 - y 22 - 2ab1 ( a0;b0)的焦点为 F1与 F2，且 p 为曲线上任意一点，F1PF22 。则 PF1F2的面积 S b2cot焦点三角形面积公式： S F1PF2 b2 cot ,(F1PF2 )F1PF22 1 2高二数学椭圆知识点1、椭圆的第一定义 ：平面内一个动点 P 到两个定点 F1、 F2 的距离之和等于常数 (PF1PF2 2a F1F2 ) , 这个动点

15、 P的轨迹叫椭圆 . 这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距 .注意：若( PF1PF2 F1F2 )，则动点P的轨迹为线段 F1F2；若( PF1PF2F1F2)，则动点 P的轨迹无图形 .2、椭圆的标准方程221)当焦点在 x轴上时，椭圆的标准方程： x2 y2 1(a b 0)，其中 c2 a2 b2 ；a2 b22)当焦点在 y 轴上时，椭圆的标准方程：2y2a2223、椭圆： x2 y2 1(a b 0) 的简单几何性质 ab22(1)对称性： 对于椭圆标准方程 x2 y2 1(a b 0)：是以 x轴、 y轴 a2 b2为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心

16、对称图形，这个对 称中心称为椭圆的中心。(2)范围： 椭圆上所有的点都位于直线 xa和 yb 所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足 x a ， y b。3)顶点：22xya2 b2椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。椭圆1(a b 0) 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1( a,0) ， A2(a,0) ，bx2 1(a b 0)，其中 c2 a2 b2；B1(0, b) ，B2(0,b) 。 线段 A1 A2 ， B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，A1A22a, B1B22b。a和 b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。2c c( 4)离心率： 椭圆的焦距与长轴长度的比

17、叫做椭圆的离心率，用e表示，记作 e 。因为2a a(a c 0) ，所以e的取值范围是 (0 e 1) 。 e越接近 1，则c就越接近 a，从而 ba2 c2越小，因此椭圆越扁；反之， e越接近于 0， c就越接近 0，从而 b越接近于 a ，这时椭圆就越接近于圆。 当且 仅当 a b时， c 0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2 y2 a 。22注意： 椭圆 x2 y2 1的图像中线段的几何特征(如下图)：a2 b2( PF1 PF2 2a)PF1PF2e；PM1PM 2e2a2( PM1 PM 2) ；焦点F1( c,0)， F2(c,0)F1(0, c) ， F2(0,c)焦距

18、F1F22cF1F2 2c范围x a ，ybx b ， y a对称性关于 x 轴、 y 轴和原点对称顶点( a,0) ， (0, b)(0, a)， ( b,0)轴长长轴长 =2a ，短轴长 =2b离心率ce c(0 e 1)a准线方程2 a xc2 a yc焦半径PF1 a ex0 ，PF2a ex0PF1 a ey0 ， PF2 a ey0性质4、椭圆的令一个定义：到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形。即上图中有PF1PF2PM15：椭圆PM 222xy22ab1与2y2a标准方程x2x2 1(a b 0) 的区别和联系b222x2 y2 1 (a b 0)ab22 yx

19、22 ab图形(a b 0)抛物线知识点1、掌握的定义 : 平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 (定点 F 不在定直线叫做抛物线的准线l 上)。定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 2、方程、图形、性质标准方y2 2px程(p 0)y22pxx22pyx22py(p0)(p0)(p0)统一方程焦点坐 标p( ,0)2( p,0)2p(0, )2(0, p2准线方pppp程x2x2y p2y 2p范围x0x0y0y0对称性x轴x轴y轴y轴顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率e1e1e1e1焦半径是( )A (2,2 2),(2, 2 2)B(1，

20、2)，(1，2)C(1，2)D (2,2 2)抛物线曲线几何意义11、动点 P到点 F (2,0) 的距离与它到直线 x 2 0的距离相等 ,则P的轨迹方程为22A. x +y 2+2x=0 B.22x2+y 2+x=0C.x2+y2-x=0 D.22x2+y 2-2x=0114、点 P 到点 A( ,0)2， B(a,2) 及到直线 x1 的距离都相等，2如果这样的点恰好只有一个，那么1值是 ( )A B C 1或311 D 或22222213、以抛物线 y2 4x的焦点为圆心 , 且过坐标原点的圆的方程为 ( )17、以抛物线 y2 8x上的点 M与定点 A(6,0) 为端点的线段 MA的

21、中点为 P，求 P点的轨迹方程a的18、已知圆的方程为x24 ，若抛物线过点 A( 1, 0) ，B(1, 0) 且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程为 ( )22A x2 y2 1(y34 20、在直角坐标系中，到点A. 直线0) Bx2y23x21(y 0)C 322 y 1(x 0) D x 444(1 ，1) 和直线 x+2y=3距离相等的点的轨迹是( B. 抛物线C.圆y2y 1(x 0)3)D.双曲线焦半径24、抛物线 y2 2x上的两点 A、 B到焦点的距离之和是 5，则线段 AB中点到 y 轴的距离是 。225、已知过抛物线 y 4x的焦点 F 的直线交该抛物线于 A、B

22、 两点, AF 2,则 BF .26、设抛物线 y2 8x上一点 P到 y轴的距离是 4,则点 P到该抛物线焦点的距离是( )A. 4B. 6 C. 8 D.1227、若抛物线 y2 x 上的点 P到直线 x 1的距离为 2，则点 P 到该抛物线焦点的距离为 。30、从抛物线 y2 4x 上一点 P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5 ，设抛物线的焦点为 F，则MPF的面积为() A 5 B 10 C20 D 1531、抛物线 x2 4y上一点 A 的纵坐标为 4，则点 A 与抛物线焦点的距离为 ( )A.2 B.3 C.4 D. 535、已知抛物线 y2=4x, 过点 P(4,0)

23、的直线与抛物线相交于A(x1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则 y12+y22 的最小值AFK 的面积为 ( ) 过焦点弦) 4) 8) 16 () 3245、过抛物线 y 2 x 的焦点作一条直线与抛物线交于A、B 两点，它们的横坐标之和等于 3，则这样的直46、n，47、50、) A有且只有一条B过抛物线 y ax2(a 0) 的焦点mn则 等于mn设抛物线A342过抛物线 y则此抛物线方程为51、过 抛物线 y2有且只有两条有无穷多条 D不存在) A.F 作一直线交抛物线于A、 B两点，若线段AF、 BF 的长分别为 m、1B.2a1 C.4a2aD. a42 x与过其焦点的直线交

24、于A,B 两点，uuur uuurOA?OB 的值(B342px(p)AC3D30) 的焦点 F且倾斜角为 60o的直线2 2 2y3x B y 6x C y交抛物线于3x D2A、B两点,若 |AF | 3,y2 2x2px (p 0) 的焦点 F 作直线l , 交抛物线于 A,B 两点,交其准线于C 点. 若uuur uuurCB 3BF , 则直线 l 的斜率为 52、已知以 F 为焦点的抛物线 y2uuur4x 上的两点 A、B 满足 AFuuur3FB , 则弦 AB 的中点到准线的距离为最值问题54、已知抛物线 y2 4x,焦点为 F, A(2,2),P 为抛物线上的点 , 则 PA PF 的最小值