圆盘内的热传导问题

1、圆盘内的热传导问题蔡晓君 物理学 3 班 200823010971、引言圆盘内的热传导问题是学习中常见的问题， 本文通过建立模型并详细的解答问题， 得出 了此模型的通解， 并通过画图对圆盘内温度分度规律进行了探究。 对我们生活及生产中热传 导现象有实际的理解帮助。2、模型介绍及问题的提出圆盘内的热传导问题模型如下，设有半径为1 的薄均匀圆盘，边界上的温度为 0，初始时刻圆盘内温度分布为 1- r 2 ，其中 r 是圆盘内任一点的集半径，求圆盘内温度分布规律。圆域内求解问题，才用极坐标较方便，考虑到定解问题与 无关，故温度 U 只是 r， t 的函数，由题意得，归结为下列定解问题t r r rU

2、 t 1 0 r 1故 T（t） =ceU t 0 1 r2 r 1运用分离变量法令 U( r,t) =F(r)T(t)F(r) T(t )= a2T(t) F（r）1F(r) r即T 2(t)a2TF（r) 1 rF(r)F令Ta2(Tt)aTF（r) 1 rF(r)F则可得r2F（r）rF (r)r 2F(r) 0T (t) a2T(t)0对式 当=0时，T （t ） =k为常数（显然不符合题意）a2t又Ut 1 T(1) ce a2t 00 可使T（ t） =ce则式可化为a 2 2tr2F （r） rF（r） + 2r2F（r）=0这是特殊函数贝塞尔方程又U则通解 F（r）=C1J0

3、（ r） C2N0（ r） （具体过程见后面解释 1） 又 U（r,t）是有界的，故 C2 =0，即 F（r）=C1J0（ r）t 1 =0 ，故 J 0 （ ） =0 ，即 是 J（0 x）的零点= Kn(0) 对应的本征函数为 Fn(r ) CnJn(Kn(0)r )从而有 Un (r，t) Cnea (Kn ) t J0(Kn(0)r)形式解为 U（ r,t） =Cnen12 ( 0 ) 2a2(K n(0)2t(0)J0(Knr)又Ut 0 =1- r 2CnJ0(Kn(0)r)1 - r2n1Cn10(1 r 2)rJ0(Kn(0)r)dr1 2 (0 )0rJ 02 (K n(0)

4、r)dr2J12(Kn(0)10rJ0(Kn(0)r )dr10r 3J0(Kn(0)r )dr +又由贝塞尔函数的递推公式d xJ1 （x） xJ0 （x） 得 （具体过程课看后面解释 2） dx10 rJ0 (Kn(0)r )dr1d rJ1(K n(0)r )0d (Kn(0) )rJ1(Kn(0)r)(Kn(0)1 J1(Kn(0) )0Kn(0)再由递推公式 ddxJn( x) xnJn1 （x） 得（具体过程看后面解释）1 3(0 )r3J0(Kn(0)r )dr12r0d rJ1(Kn(0)r) r 3J1(Kn(0)r) d (Kn(0) )(Kn(0)1(0) 0r 2J0(

5、Kn(0)r )dr KnJ1(Kn(0)r)(Kn(0)(Kn(0)2r 2J2(Kn(0)r )J1(Kn(0)r)(Kn(0)2J2(Kn(0)(Kn(0)2从而可有 Cn4J2(Kn(0)r)(Kn(0)2J12(Kn(0)r)因此，所求定解问题之解为U(r,t)=(K(40)J)22(JK2n(0K)(0)J0(Kn(0)r)e-a2(K(n0)2tn1 (Kn ) J1 (Kn )其中 Kn(0)是 J0 ( X )的正零点)2.1 对方程解的具体解释解释 1：xddyx (xn2 )y 0 求解d2y贝塞尔方程 x2 d y2dx2贝塞尔方程有级数解rx (a0a1x a2x2k

6、axx.)krakx( a0 0 )k0代入原方程得kak (k0r)(k1)xk rak(kr)xkak (x2 n2)xk r 0合并同类项得，(rk)2n2akak 2当 k=0 时，r2n2)a0a0 0 )当 k=1 时，当 k 2时，(ra1(r当 r=n1)2n2 a11)2n2akak 2 0时，akak 2k(2n k)a1a2m而 a0a2a02(2n 2)a022(n1)a4a2a0a02(2n 4)22(n 1)4(n 2)24(n 1)(n 2)ma ( 1) ma02m 22m m!(n 1)(n 2).(n m)1其中 a 0为任意常数， a0n0 0 2n (n

7、 1)而 ( x) 具有性质 (n 1) n! ( n 为整数)( 1)( 1)2m2 mn2 m!2(n1)(n 1)(n2).(n m)2 m n2 m!( n m 1)贝塞尔函数的特解为m1x n 2my1 (x)( 1)m()(n0)m 0 m!(nm 1) 2定义 J n(x)( 1)m1( x )n 2m (n 0) 为第一类贝塞尔函数2(nm 1)m0m!当rn时 ,同理m1xn 2mJn( x)( 1) m()m0m!(nm1) 2再定义 Nn(x) J(n x)cosn J n(x)sinnJn(x)与Nn(x) 线性无关般贝塞尔函数的额通解可表示成 y AJn(x) BNn

8、 (x)解释 2：证明 d xnJn(x) xnJn 1(x) dx证明：2 n 2 mJn(x)m 0( 1) 2n 2mm! (n m 1)d2n 2m xd xnJ n(x) dxdx m 01)m n 2 m2 m! (n m 1)( 1) mm0n 2m 1 xn 2 m 12 m! ( n m)xnJn 1 (x)3、结论本文通过常规方法分离变量法解出了圆盘内的热传导问题的解， 知道了所构 造的模型通解为 所求定解问题之解为U(r,t)=(K(40)J)22(JK2n(K)(0)J0 (Kn(0)r)e-a2(K(n0) )2tn1 (Kn ) J1 (Kn )(其中 Kn(0)是 J0 ( X )的正零点)且作出了圆盘温度分度的图形， 更形象了解圆盘内温度分布规律， 如下图所 示4、参考文献数学物理方程与特殊函数 李元杰 编 高等教育出版社 数学物理方法 刘连涛 王正清 编 高等教育出版社 数学物理方程 陈才生 编 东南大学出版社5、感想