克莱姆法则及证明

1、第 7 节 ? 克莱姆（ Cramer ）法则、线性方程组元线性方程组是指形式为：（1）的方程组，其中代表个未知量，是方程的个数， ; 称为方程组的系数，称为常数项。 线性方程组的一个解是指由个数组成的有序数组， 当个未知量分别用代入后，式（ 1） 中每个等式都成为恒等式。方程组（ 1）的解的全体称为它的解集合，如果两个线性方程组 有相同的解集合，就称它们是同解方程组。为了求解一个线性方程组，必须讨论以下一些问题：（1）. 这个方程组有没有解（2）. 如果这个方程组有解，有多少个解（3）. 在方程组有解时 ,解之间的关系 , 并求出全部解。本节讨论方程的个数与未知量的个数相等 （ 即 ） 的情

2、形。二、克莱姆法则定理 1（克莱姆法则）如果线性方程组? （ 2 ）的系数行列式：那么这个方程组有解，并且解是唯一的，这个解可表示成：（3）其中是把中第列换成常数项所得的行列式，即。分析：定理一共有 3 个结论：方程组有解；解是唯一的；解由公式（3）给出。因此证明的步骤是：第一，把 代入方程组，验证它确实是解。这样就证明了方程组有解，并且（3）是一个解，即证明了结论与。第二，证明如果是方程组（2）的一个解，那么一定有。这就证明了解的唯一性，即证 明了结论。证明：先回忆行列式的一个性质，设阶行列式，则有：接下来证明定理。首先，证明（ 3）确实是（ 2）的解。将行列式按第列展开得：其中是行列式中元

3、素的代数余子式。现把代入第个方程的左端，得：这说明将（ 3）代入第个方程后，得到了一个恒等式，所以（3）是（ 2）的一个解。其次，设是方程组（ 2）的一个解，那么，将代入（ 2）后，得到个恒等式：（4）用系数行列式的第列的代数余子式依次去乘（ 4）中个恒等式，得到：将此个等式相加，得：从而有：。这就是说，如果是方程组（ 2）的一个解，那么一定有，所以方程组只有一个解。三、齐次线性方程组在线性方程组中， 有一种特殊的线性方程组， 即常数项全为零的方程组， 称为齐次线性 方程组。显然，齐次线性方程组总是有解的，因为就是它的解，这个解称为零解；其他的， 即不全为零的解（如果还有的话），称为非零解。所

4、以，对于齐次线性方程组，需要讨论的 问题， 不是有没有解， 而是有没有非零解。 这个问题与齐次线性方程组解的个数是有密切关 系的。如果一个齐次线性方程组只有零解，那么这个方程组就只有唯一解；反之， 如果某 个齐次线性方程组有唯一解， 那么由于零解是一个解，所以这个方程组不可能有非零解。对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组，应用克莱姆法则，有推论 1? 如果齐次线性方程组（5）的系数行列式不等于零，那么（ 5）只有零解。推论 2 齐次线性方程组有非零解的必要条件是它的系数行列式等于零。四、例子例 1 解线性方程组解： 方程组的系数行列式：所以根据克莱姆法则，这个线性方程组有唯一解。又因所

5、以这个线性方程组的唯一解为：例 2 解线性方程组解： 方程组的系数行列式：所以根据克莱姆法则，这个线性方程组有唯一解。又因所以这个线性方和组的唯一解为：例 3? 已知三次曲线在四个点处的值分别为：，试求其系数。解：将三次曲线在 4 点处的值代入其方程，得到关于的线性方程组： 它的系数行列式是范德蒙行列式：所以根据克莱姆法则，这个线性方程组有唯一解。又因 所以，即所求的三次曲线方程为。例 4 如果齐次线性方程组有非零解，那么必须满足什么条件解：由克莱姆法则知， 齐次线性方程组有非零解的必要条件是其系数行列式等于零， 因 此有又由：，从而必须满足的条件为。注 用克莱姆法则求解系数行列式不等于零的元非齐次线性方程组， 需要计算个阶行列 式，它的计算工作量很大。 实际上关于数字系数的线性方程组 （包括系数行列式等于零及方 程个数和未知量