八年级数学下册讲解与例题：18.5 一元二次方程的应用

1、一元二次方程的应用1列一元二次方程解应用题的步骤(1) 应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题，然后用数学知识和方法加以解决 的一种能力，列方程解应用题最关键的是审题，通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关 系，从而正确地列出方程概括来说就是实际问题数学模型数学问题的解实际 问题的答案(2) 一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤如下：1 审：是指读懂题目，弄清题意和题目中的已知量、未知量，并能够找出能表示实际问 题全部含义的等量关系2 设：是在理清题意的前提下 ，进行未知量的假设(分直接与间接)3 列：是指列方程，根据等量关系列出方程4 解：就是解所列方程，求出未知量的值5 验：是指检验

2、所求方程的解是否正确，然后检验所得方程的解是否符合实际意义，不 满足要求的应舍去6 答：即写出答案，不要忘记单位名称找出相等关系的关键是审题，审题是列方程 (组)的基础，找出相等关系是列 方程(组)解应用题的关键【例 1】某单位组织员工去某风景区旅游，共支付给阳光旅行社旅游费用 27 000 元请 问该单位这次共有多少员工去该风景区旅游？分析：人数人均旅游费用付给旅行社的总费用，可设这次共有 x 名员工去某风景区旅游，由于 1 0002525 00027 000，所以员工人数肯定超过 25 人，由于人数比 25 增 加了(x25)人，因此人均费用比 1 000 元降低了 20(x25)元，即此

3、时人均费用为元这类问题的解决通法是设出未知数后，用未知数与给出的一组数据作比较，比较的目的就是利 用规律表示出相等关系，进而得到方程，解出方程后，还需判断解是否符合实际意义解：设该单位这次共有 x 名员工去风景区旅游因为 1 0002525 00027 000，所以员工人数一定超过 25 人可得方程 x27 000.整理，得 x275x1 3500，解得 x 45，x 30.1 2当 x 45 时，1 00020(x25)600700，故舍去 x ；1 1当 x 30 时，1 00020(x25)900700，符合题意2答：该单位这次共有 30 名员工去风景区旅游2常见应用题类型(1)数字问题

4、解有关数字问题的应用题，首先要能正确地表示诸如多位数、奇偶数，连续的整数的形 式，如一个三位数可表示为 100a10bc，连续三个偶数可表示为 2n2，2n,2n2(n 为整数)等，其次解这类问题 的关键是正确而巧妙地设出未知量，一般采用间接设元法，如有 关奇数个连续数问题，一般设中间一个数为 x，再用含 x 的代数式表示其他数，又如多位数问题，一般设这个多位数的某个数位上的数字，再用代数式表示其余数位上的数字，等量关 系由题目中的关键语句“译出”(2)增长率问题增长率问题分正增长率问题与负增长率问题这类问题是在原来的量的基础上增长 (或降低 )多少个百分比的问题若 设原来的产量 为 a，年平

5、均增长率为 x，则一年后的产量为 a(1x)而两年后的产量又以 a(1x)为基础， 因平均增长率为 x，可表示为 a(1x)(1x)a(1x)2.同样，若 x 表示平均降低率，则一 年后产量为 a(1x)，两年后产量为 a(1x)2.也就是说，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义后， 即可利用公式 a(1x)2b 求解，其中 ab.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后， 则有公式 a(1x)2b 即可求解，其中 ab.【例 21】某两位数的十位数字与个位上的数字之和是 5，把这个数的个位上的数字与 十位上的数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为 736，求原

6、来的两位数分析：本题等量关系比较明显：新的两位数原来的两位数736，关键是如何表示出 这两个两位数和整理方程，要注意检验是否求得的解都符合题意解：设 原两位数的十位数字为 x，则个位数字为(5x)，由题意，得736.整理，得 x25x60，解得 x 2，x 3.1 2当 x2 时，5x3，符合题意，原两位数是 23. 当 x3 时，5x2 符合题意，原两位数 是 32.答：原来的两位数是 23 或 32.【例 22】我国人均用纸为 28 千克，每个初中毕业生离校时大约有 10 千克废纸；用 1 吨废纸造出来的 再生好纸，所能节约的造纸木材相当于 18 棵大树，而平均每亩森林只有 50 至 80

7、 棵这样的大树(1) 若某市 2012 年初中毕业生中环保意识较强的 5 万 人，能把自己离校时的全部废纸 送到回收站使之制造为再生好纸，那么最少可使多少亩森林免遭砍伐？(2) 该市从 2008 年初开始实施天然林保护工程，到 2010 年初成效显著，森林面积大约 由 1 374.094 万亩增加到 1 500.545 万亩假设该地区年用纸量的 15%可以作为废纸回收利 用，并且森林面积年均增长率保持不变，请你按该市总人口为 415 万计算：在从 2012 年初 到 2013 年初这一年内，该市新增加的森林面积与因废纸回收利用所能保护的森林面积之和 最多可能达到多少亩(精确到 1 亩)?解：

8、(1)5 万名初中毕业生废纸回收使森林免遭砍伐的最少亩数为 5104101 0001880112.5(亩)(2)设 2008 年到 2010 年初我市森林面积年均增长率为 x，则 1 374.094(1x)21 500.545.故 x 0.0454.5%，x 2.045(舍去)1 2所以 2012 年初到 2013 年初全年新增森林面积：1 500.545104(14.5%)24.5%737 385(亩)又全市回收废纸所能保护的森林面积最多为4151042815%1 00018506 275(亩)新增森林面积和保护森林面积之和为：737 3856 275743 660(亩)3销售利润问题在这类

9、问题中，有进价 (a)、售价(b)、利润(p) 、件数 (n)等相关的量，这些量之间的 关系可用公式 p(ba)n 来表示，同时，件数(n)又经常与售价(b)联系在一起，在解答此类问题时，一定要准确地找到反映它们关系的代数式即利润问题主要用到的关系式是：(1) 每件利润每件售价每件进价；(2)总利润每件利润总件数_ _ 【例 3】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬 衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件，若商场平均每天要盈利 1 200 元，每件衬衫应 降价多少元？分析：不妨设每件衬衫降价 x 元，则每件衬衫盈利(40x)元，根据每降价 1 元，就多 售 2 件得降价 x 元，多售 2x 件，即降价后每天可卖出(202x)件，由关系式：总利润每个商品的利润售出商品的总