哦浙江大学概率论与数理统计连续型随机变量

1、第三章连续型随机变量教学目的与要求1掌握分布函数的定义和性质；2掌握连续型随机变量的概率密度， 特别是均匀分布、 指数分布、 正态分布的概率密度； 二维连续型随机变量的联合概率密度和边际密 度。 矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。3掌握连续型随机变量的数学期望、方差。4掌握表示随机变量相互关系的数字特征：协方差、相关系数， 随机变量的不相关与独立的异同。5掌握连续型随机变量函数的分布密度的求法，掌握卷积公式。教学重点与难点教学重点是分布函数与连续型随机变量的密度函数，期望、方差的 有关概念。教学难点是协方差、相关系数的有关计算，及卷积公式的应用第三章 连续型随机变量 3.1随机变量及分布函数一、分布函数的

2、概念定 义 ： 设 定 义 在 样 本 空 间 上 的 随 机 变 量 ， 对 于 任 意 实 数 x, 是随机变量 的概率分布函数 ，简称为 分布 函数或分布 。分布函数实质上就是事件的概率。 聞創沟燴鐺險爱氇谴净。1 / 28、分布函数的性质由概率的性质可知：1）非负性：2）单调性： 若则3）若进一步4）极限性都存在，又由概率的完全可加性有5）左连续性证： 是单调有界函数，其任意一点的左极限 必存在，为证 明其左连续性，只要对某一列单调上升的数列证明 成立即可。这时有由此可得2）、4）、5）是分布函数的三个基本性质，反过来还可以证明任一个满足这三个性质的函数，一定可以作为某个随机变量的分布

3、函数。知道了随机变量2 / 28的分布函数 ，不仅可以求出 的概率而且还可以计算下述概率残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。由此可以看出，上述这些事件的概率都可以由 算出来，因此 全 面地描述了随机变量 的统计规律，既然分布函数能够全面地描述一般的随 机变量的统计规律，因而分布函数这个概念比分布列更重要。 酽锕极額閉镇桧猪訣锥。 三、离散型随机变量的分布函数设 为一个离散型随机变量，它的分布列为则 的分布函数为 对离散型随机变量，用得较多的还是分布列。例 1 、 若 服从退化分布即则 的分布函数为例 2 、 若 服从两点分布10Pq3 / 28求 的分布函数 F（x ）。解：当当 时，当 时，例 3 、 设

4、 的分布列为0 1 20.3 0.4 0.3求 的分布函数 。解： 当当 时，当 时，于是从上面例子可以看到， 是一阶梯状的左连续函数， 在 处有跳跃，其跃度为 在 处的概率。例 4 、 等可能的向区间上投掷质点，求质点坐标 的分布函数。解：设 为任一实数，当 时，显然有当 时，由几何概型可知当从而例 5 设随机变量 的分布函数为 求 1）常数 A， B； 2）P（4 / 28解： 1)由极限性得于是从而解2)，例 6 设随机变量 的分布函数为求：1)常数 A ；2) 落在上的概率。解：1)左连续，于是2)由例 5，例 6 可知求分布函数中的待定常数，主要是利用分布函数的极限性及左连续性。 3

5、.2 连续型随机变量、连续型随机变量的概念1、定义定义：设 是随机变量，是它的分布函数，如果存在可能函数使得对任意的 ，有，则称 为连续型随机变量，相应的 为连续型分布函数，同时称 是 的概率密度函数或称为密度。 彈贸摄尔霁毙攬砖 卤庑。5 / 282、密度函数的性质 由分布函数的性质，可以验证任一连续型随机变量的密度函数 必具备 下列性质：1)非负性： 2)规范性：反过来，定义在 R 上的函数 ，如果具有上述两个性质，即可定义一个 分布函数 。密度函数除了上述两条特征性质外，还有如下一些重要性质：3) 在 R 上连续，且在 的连续点处，有 ，对连续型随机变量，分布函数和密度函数可以相互确定，

6、 因此密度函数也完全刻画了连续型随机 变量的分布规律。 謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。4) 设 为连续型随机变量，则对任意实数 ， 有 这表明连续型随机变量取个别值的概率为0，这与离散型随机变量有本质的区别，顺便指出 并不意味着 是不可能事件。 厦礴恳蹒骈時盡继價骚。5) 对任意这一个结果从几何上来讲， 落在区间 中的概率恰好等于在区间 上曲线 y=p(x) 的曲边梯形的面积。 同时也可以发现， 整个曲线 y=p(x) 与 x 轴所围成的图形面积为 1。 茕桢广鳓鯡选块网羈泪。例 1 、 设随机变量 的密度函数为试求 1)常数 c； 2) 的分布函数； 3)。解： 1)由密度函数的性质可知即于是密度函

7、数为6 / 283）例 2 、 设随机变量的密度函数为试求 1）常数 c；2）分布函数 F（ x）；解： 1）由密度函数的性质于是2）当3）。当于是3）设连续型随机变量的分布函数为例 3 、求它的密度函数 。解：因为所以、几种常用分布1、均匀分布设随机变量 的密度函数为 则称 服从区间 上的均匀分布，记作 。向区间 上均匀投掷随机点，则随机点的坐标 服从 上的均匀分布。在实际问题中，还有很多均匀分布的例子，例如乘客在公共汽车站的候车时间，7 / 28近似计算中的舍入误差等。 鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。设随机变量 ，则对任意满足 ，则有 这表明， 落在 内任一小区间上取值的概率与该小区间的长度成正比

8、， 而与小区间的位置无关， 这 就是均匀分布的概率意义，实际上均匀分布描述了几何概型的随机试验。 籟丛妈羥 为贍偾蛏练淨2、指数分布则称 服从若随机变量 的密度函数 为： 参数为 的指数分布，记作 。指数分布是一种应用广泛的连续型分布， 它常被用来描述各种 “寿命” 的分 布，例如无线电元件的寿命、 电话问题中的通话时间等都可以认为服从指数分布。預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。单位：分）服从参数 的指数分布，例 4 、假定打一次电话所用的时间 试求在排队打电话的人中， 后一个人等待前一个人的时间 （1）超过 10 分钟；（2）10 分钟到 20分钟之间的概率。 渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。解：由题设知 ，故所

9、求概率为1）2）3、正态分布若随机变量 的密度函数为称 服从参数为 的正态分布，记为 。 密度曲线呈倒钟形， 称为位置参数， 称为形状参数。由数学分析知识可知8 / 28从而当时，正态分布 N( 0，1)称之为标准正态分布，其密度函数为分布函数 ， 对于 可以查正态分布表设 即 。一般地设，则。从而，若， 则例 5 ，设求 1)2)3)例 6 、设，求 。解：般地这个概率与 无关9 / 284、分布设随机变量 的密度函数为为两个常数其中， ，称 服从参数为 的 分布特别的当 时，随机变量 的密度函数为：称服从自由度为 n 的 分布，记作 。这是数理统计中的一个重要分布。特别地，当 时， 就为参

10、数为 的指数分布3.3多维连续型随机变量及其分布一、多维随机变量的联合分布函数1、定义定义 1、设是定义在同一个样本空间 上的随机变量，则 n 维随机向10 / 28量 是样本空间 上的 n维随机变量或 n维随机向量，并称 n元函数铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。是 n 维随机变量的联合分布函数，称为 联合分布或分布 ，联合分布函数描述了多维随机变量的统计规律。 下面着重讨论二维随机变量，若 表示笛卡儿平面上的点的坐标，那 么 为 的联合分布函数， 这表示点落在图中阴 影部分的概率。 擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。2、联合分布函数的性质显然1）对 x 或 y 都是单调不减的；2）对 x 和 y都是左连续的，即3

11、）对任意 x和 y，有4）对任意和（ ，其中 有5）反过来还可以证明， 任意一个具有上述四个性质的二元函数必定可以作为某 个二维随机变量的分布函数， 因而满足这四个条件的二元函数通常称为二元联合 分布函数。 贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。3、边缘（边际）分布函数设 为二维随机变量，那么它的分量的分布函数称为边际分布函数，记 为。设二维随机变量 的联合分布函数为 ，那么它的两个分量 的 分布函数可由 求得11 / 28同理 。由此可知，由联合分布可以唯一确定边际分布函数，反之，不一定成立。求： 1)设 的联合分布函数为常数 A ，B，C；2)边际分布函数。解： 1)由解得2)二、二维连续型随机变量及其密

12、度函数1、定义定义 2：设为一个二维随机变量， 为其联合分布函数，若存在可积函数，使对任意的 (x,y )有，则称 为二维连续型随机变量， 的联合分布函数，简称为密度函数。 坛摶乡囂忏蒌 鍥铃氈淚。2、联合密度的性质由联合分布函数的性质有1) 非负性：2) 规范性： 反过来，具有上述两个性质的二元函数必定可以作为某个二维连续型随机变 量的密度函数。12 / 283）若在点（ x,y）连续，是相应的分布函数则有4）若 G 是平面上的某一区域， 则这表明 取值落在平面上任一区域 G内的概率，可以通过密度函数在 G上的二重积分求得。 蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。3、边缘密度函数设二维连续型随机变量 的联合

13、密度函数为 ，则 的边际分布函 数为这表明 也是连续型随机变量，其边际密度函数为类似地 由此可以看出，边际密度由联合密度唯一确定。例 2 、设的联合密度函数为 求： 1）常数 C；2）分布函数 F（x,y）；3）边际密度函数及相应的边际密度；4）解： 1）由联合密度的性质解得 c=4 于是2）13 / 284）、两种常用分布1、均匀分布设 G 是平面上的一个有界区域，其面积为 A ，令则 是一个密度函数，以 为密度函数的二维联合分布称为区域G 上的均匀分布。若服从区域 G上的均匀分布，则 G 中的任一（有面积）其中 是 D 的面积。 買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。上式表明二维随机变量落入区域 D的概率

14、与 D的面积成正比， 而与在 G中 的位置与形状无关，这正是第一章中提过的在平面区域G 中等可能投点试验，由此可知“均匀”分布的含义就是“等可能”的意思。特别的若 服从 G 上的均匀分布，其联合密度函数为相应的边际密度由此说明，矩形区域上的均匀分布其边际密度是一维的均匀分布2、二维正态分布设二维随机变量 的联合密度函数为则称 服从二维正态分布，记为 ，14 / 28其中 为参数。习惯上称 为二维正态向量， 由 的联合分布可以求得边际密度函数分别 为由此说明二维正态分布 的两个边际分布函数都是一维正 态 分 布 ， 分 别 为如果则两 个二 维 正 态 分 布是不相同的。但由上面可以知道它们有完

15、全相同的边际分布， 由此例也说明了边际分布不 能唯一确定她们的联合分布， 此外即使两个边际分布都是正态分布的二维随机变量，它们的联合分布还可以不是二维正态分布。 綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。 例 3 、设的联合密度函数为，求边际密度函数。解：同理即 都是标准正态分布的随机变量，但却不是二维正态分布 四、随机变量的独立性定义 3、设的联合分布函数为 的边际分布函数为 ，若对任意的 有 成立，则称随机变量是相互独立的。如果 是二维连续型随机变量，则 都是连续型随机变量，它们的密 度函数分别为 这时容易验证 与 相互独立由此可知，要判断连续型随机变量是否独立，只需要验证 是否15 / 28为 联合密度函数

16、例 4 、设服从 G 上的均匀分布。试问它们是否相互独立？若 G 为矩形区域 呢？ 解： 的联合密度函数为所以 不相互独立。例 5 、若则 相互独立 随机变量的独立性还可以推广到多个随机变量的情形。定义 4、设 n 维随机变量的联合分布函数为为它们的边际分布函数，若 则称是相互独立的 随机变量。若 为 n 维连续型随机变量， 则相互独立的充要条件为其中 的联合密度函 数， 的边际密度函数。3.4 随机变量函数的分布一、一个随机变量函数的分布定理 1.设 为连续型随机变量， 为其密度函数。又 y=f(x) 严格单调其反函数 h(y)具有连续导数。则也是一个连续型随机变量，且其密度函数为 驅踬髏彦

17、浃绥譎饴憂锦。16 / 28其中 证明：略例 1 设证：为单调函数。且反函数 h(y)=一般地，若 ，则也服从正态分布。定理 1 在使用时的确很方便，但它要求的条件“函数( X)严格单调且反函数连续可微” 很强，在很多场合下往往不能满足。 事实上这个条件可以减弱为f(x)逐段单调， 反函数连续可微”。这时密度公式应作相应的修改。 一般地我们例2都是先求其分布函数，然后再求其密度函数。 猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。 设 试求 的密度函数。解： 当 y当上述密度函数为 分布的密度函数在 n=1时的特例，也就是说 N(0，1)变量的平方是自由度为 1 的变量。二、两个随机变量函数的分布若而 的联合密度函数

18、为 p(x,y) ，则同上面一样讨论可得到。1、和的分布若 而 的联合密度函数为 p(x,y) 则17 / 28如果 与 相互独立时，有，从而因此 的密度函数为也可写为由上式给出的运算称为卷积，通常记为 。证：例 3、设 与 相互独立且都服从 N（ 0， 1）证明由卷积公式故一般说，若 是 n个相互独立的服从 分布的随机变量则 仍然是 一个服 从正态分布 N 的随机变量，并 且参数这个事实有时也称为正态分布具有可加性。 锹籁饗迳琐筆襖鸥娅在前面已经证明了普阿松分布具有可加性， 这里也说明了正态分布具有可加 性 ， 其 实 还 有 其他 一 些 分布 ， 如 分 布 也 具 有 可 加 性 ，

19、即 若 大家自己证明，由此可知， 分布对他的第一个参数 具有可加性。由于 为参数为 n 的 分布，因此 分布也具有可加性。 構氽頑黉碩饨荠龈话骛。如果是 n 个相互独立的随机变量，每一个都服从 N（ 0， 1），由例 2 可知每一个都服从 分布且 仍然相互独立，这时由 分布的可加性并利用归纳法可知 是服从自由度为 n 的18 / 28分布，即 n 个相互独立的 N(0，1)的平方和是一个参数为 n的分布，习 惯上独立变量的个数称为“自由度” 。輒峄陽檉簖疖網儂號泶。2、商的分布设 是二维连续型随机变量，密度函数为 p(x,y) ，表示点落在阴影部分的概率。于是 密度函数为例 4 、设 与 相互

20、独立，分别服从自由度为 n 及 m 的分布的随机变量，试的密度函数。解： 的密度函数为的密度函数为于是 的密度函数为19 / 28上式的密度函数的分布称为参数为 n,m 的 F-分布，记作 F(n,m)它是数理统计中最常用的分布之一。在上例中，已知 相互独立，在计算中用到的的相互独立，当然例 5 、设相互独立，求的密度函数。解：这个密度函数称为自由度为 n的 t-分布。由 相互独立很快推出 的相互独立。一般的，若 是 n 个相互 独立的随机变量， 则 也是相互独立的， 这里 是任意 的一元波雷尔函数。 尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。三、随机变量的变换若 的密度函数为 ，求 的分布，这时有(*) 显然，

21、这是最一般的场合，当 m=1 时，便是随机向量的函数的情形， 当 m=n=1 时，得到单个随机变量的函数的情形，下面考虑另一个重要的特殊情形，即当与 有一一对应变换关系时，当然这时 m=n 必须成立。 识饒鎂錕缢 灩筧嚌俨淒。若对 存唯一的反函数且的 的密度函数为 ，那么20 / 28比较（*） 比行列式。与（ * ）可知其中 J 为坐标变换的雅可例 6 、设 与 相互独 立的随机变量，且具有相同的指数分布密度函数 求 的联合密度函数。解：对 做变换因此所以可以验证这里的 是相互独立的，分别具有密度例 7、设 与 相互独立，且均服从 N（ 0，1）试证是相互独立的。证：（U，V）的联合分布函数

22、为反函数有两支与当 s0 时做变换考虑到反函数具有两支，21 / 28分别利用两组变换得对 F（ u,v）求导，得（ U，V ）的联合密度为（其余为 0）所以 U，V 两随机变量独立。3.5随机变量的数字特征，契贝晓夫不等式、数学期望1、定义定义 1、设 为一个连续型随机变量，密度函数为当 时，称道理与离散型随机变量一样。 凍的数学期望 （均值 ）存在，且， 的数学期望 是 的可能取值（关于概率）的平均，这里要求鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴。例如 : 的密度函数为因为,所以 不存在。2、几种常用分布的期望1）均匀分布22 / 28,则2) 指数分布设, 则3) 正态分布设,则, 事实上4) 分布设 即

23、的密度函数为这里用到为 的分布密度函数，因而有再利用 函数的性质 知道 即为参数为 的指数分布 ，因而 。3、随机变量函数的数学期望定理 3、若 为连续型随机变量，密度函数为 p(x)，又 f(x)为实变量 x 的函数， 且则定理 4、设是二维连续型随机变量，联合密度函数为 p(x,y)又 f(x,y) 为二元函数，则随机变量的数学期望当然这也要求上述积分绝对收敛例 1 、 设。23 / 28解：例 2、 过单位圆上一点 P 作任意弦 PA， PA 与直径 PB 的夹角 服从均匀分布恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦。，求弦 PA 的长的数学期望。 解：由任意 的密度函数为例 3、 设 相互独立，且都服从

24、N（ 0， 1），求。解：联合密度函数为4、数学期望的性质性质 1、若则的数学期望存在，且 特别的若，则 Ec=c。性质 2、对任一二维连续型随机变量若 都存在，则对任意实数存在且 。性质 3、若 相互独立，则 存在且 性质 2 与性质 3可以推广到任意有限个情形对任意 n 个常数，有若 相互独立，则 。、方差24 / 281、定义定义 2、设 为一个随机变量， 又 存在，则称 是随机变量 的方差，记作 D ，并称 是 的根方差或标准方差。2、计算公式3、几种常用分布的方差1）均匀分布2）指数分布3）4）设 ，则 。正态分布设 ，则分布 设4、契贝晓夫不等式我们知道方差反映了随机变量离开数学期

25、望的平均偏离程度， 如果随机变量 ，数学期望 ，方差为 ，那么对任意大于零的常数 C，事件 （） 发生的概率 P（）应该与 有一定的关系，粗略的说，如果 越大那么 P（）也会越大，将这个直觉严格化，就有下面著名的契贝晓25 / 28 夫不等式。 鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫。定理 3 、对任意的随机变量，若 又 存在，则对任意正数 有。将契贝晓夫不等式给出的估计式中，只须知道方差 及数学期望 两个 数字特征就够了， 因而使用起来是比较方便的。 但因为它没有完整的用到随机变 量的统计规律分布函数或密度函数， 所以一般说来，它给的估计是比较粗的。 硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹。利用契贝晓夫不等式可以证明下列事实：随机变量 的方差 D =0 的充要条件是 取某个常数值的概率为 1，即 这个结论的