圆锥曲线上的最值问题

1、例说圆锥曲线有关最值问题中学数学最值问题遍及代数、三角，立体几何及解析几何各科之中，且与生产实际联系密切，最 值问题有两个特点：覆盖多个知识点（如二次曲线标准方程，各元素间关系，对称性，四边形面积， 解二元二次方程组，基本不等式等）求解过程牵涉到的数学思想方法也相当多（诸如配方法，判别式 法，参数法，不等式，函数的性质等）计算量大，能力要求高。常见求法：1、回到定义x2 y2例 1、已知椭圆1，A（4，0），B（2，2）是椭圆内的两点，P 是椭圆上任一点，求：（1）25 95 求 |PA| |PB| 的最小值；4（2）求|PA|+|PB的| 最小值和最大值。略解：（1）A 为椭圆的右焦点。作

2、PQ右准线于点 Q，则由椭圆 的第二定义 |PA| e 4 ，|PQ| 55|PA| |PB| |PQ| | PB |.问题转化为在椭圆上找一点 P，使其到点 B和右准线的距离之和最417小，很明显，点 P应是过 B 向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为 。4（2）由椭圆的第一定义，设 C 为椭圆的左焦点，则|PA|=2a-|PC|PA|+|PB|=2a-|PC|+|PB|=10+（|P -B|PC|） 根据三角形中，两边之差小于第三边，当 P运动到与 B、 C 成一条直线时，便可取得最大和最小值。即 -|BC| |PB| -|PC| |BC|.当 P 到 P位置时， |PB| -|PC|=|

3、BC|， |PA|+|PB|有最大值，最大值为 10+|BC|=10 2 10 ；当 P 到 P 位置时， |PB| -|PC|=-|BC，| |PA|+|PB|有最小值，最小值为 10-|BC|=10 2 10 。回到定义的最值解法同样在双曲线、抛物线中有类似应用。另外，（2）中的最小值还可以利用椭圆 的光学性质来解释：从一个焦点发出的光线经过椭圆面反射后经过另一焦点，而光线所经过的路程总是 最短的。2、利用闭区间上二次函数最值的求法例 2、在抛物线 y 4x2 上求一点，使它到直线 y=4x-5 的距离最短。122 4（t ）2 44t4t52解：设抛物线上的点P（t,4t2 ） ，点到直

4、线 4x-y-5=0的距离d217171 41当 t时， dmin，故所求点为 ( ,1) 。2min 17222例3、已知一曲线 y2 2x ，（）设点A的坐标为（ ,0） ，求曲线上距点 A最近的点P的坐标及相应3的距离 |PA|；（）设点 A 的坐标为（a,0）aR，求曲线上点到点 A 距离最小值 d，并写出 d=f（a）的 函数表达式。2解：（1）设 M（x,y）是曲线上任意一点，则 y2 2x （x 0）MA(x 23)2 y2 (x 23)2 2x (x 31)2 31 x03 3 33MA2min4 所求 P 点的坐标是（0，0），相应的距离是 AP92）设 M （x,y）是曲线

5、上任意一点，同理有 MA2 （x a）2 y(x a)2 2x2x (a 1)2 (2a 1) x 0综上所述，有d 2a 1 （当a 1时）a（当a 1时 ）3、运用函数的性质例 4、在ABC 中， A， B， C 的对边分别为 a,b,c，且 c=10, cosA cosB4 ， P 为 ABC3内切圆上动点，求点 P到顶点 A ，B，C的距离的平方和最大值与最小值。解：由cos Acos B413sinBsin Acos A cos Bsin A 0 sin2A sin2B sinA2A 2B ABC 为 Rt由 C=10，b4且 知 a=6 b=8a3设ABC 内切圆半径为 r，如图建

6、立直角坐标系，则RtABC 的内切圆M 的方程为： ( x 2)2 (y 2)2 4设圆M 上动点P（x,y）（0 x 4），则P点到顶点A，B，C 的距 2 2 2离 的 平 方 和 为 PA 2 PB 2 PC 2 （x 8）2y2 x2 (y 6)2 y2 x22 2 2 23x2 3y2 16x 12y 100 3(x 2)2 (y 2)2 4x 76 88-4x 点P在内切圆M 上，0 x 4，于是 max 88 0 88 min 88 16 72 例5、直线m：y=kx+1和双曲线x2-y2=1的左支交于A，B两点，直线L过点P（-2，0）和线段AB 的 中点M，求L在y轴上的截距

7、 b的取值范围。略解：设 A （x1,y1），B（x2,y2），M （x0,y0），将 y=kx+1 代入 x2-y2=1 得（1-k2）x2-2kx-2=0,由题意， 0且 x 1+x20,解之得1k2,且M ( k 21 k211 1k2 ）,又由 P（-2，0），M，Q（0，b）共线，1k12k2 k 2即b22k2 k 21k面可利用函数 f（k）=-2k2+k+2在（1, 2） 上是减函数，可得 b 22或b 2。2 x2 例6、已知 P是椭圆y2 1在第一象限内的点，A（2，0），B（0，1），O为原点，求四边形 OAPB4的面积的最大值。略 解 ：设 P（ 2cos ,sin ）

8、， （0 0 得x 45，当 x 54时， 由解得1 2 2 2 1 5 1y1y2，(y1y2)2y1y22y1y22x 22，可得 y1y22，4 2 4 2由 ，可得 y1 ， y2 ，由即得相应的 x1 ， x2 。故 AB 的中点 M 距 y 轴最短距离为 x0，且相应的中点坐标为( 5 , 2)或(5, 2)。4 2 4 22 2 2 2 法二： y1 x1 y2 x2y1y2x1x2 k y1 y2 1x1 x2 2y2 2 2 2 32 1 (2y)2(y1 y2)2 9 (1 4y2)(y1 y2)22 2x x1 x2 y1 y2 2y y1 y2 由 得2x 4y2 2y

9、1y2 得 4x 4y2 (y1 y2)2 9代入得 4x 21 4y24y2 2 9 1 5 x 54当且仅当9 2 4y2 1y21 4yy 2 时等式成立。2552M ( , )44 2说明：此法即为下面的基本不等式法。 5、利用基本不等式xmin2例 8、已知椭圆 xy2 1，F1，F2 为其两焦点，4(1)|PF1|PF2|的最大值；(2)|PF1|2+|PF2|2的最小值。P 为椭圆上任一点。求：mn略解：设 |PF1|=m,|PF2|=n,则 m+n=2a=4，|PF1|PF2|=mn22 2 2 2|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|4

10、2-2 4=82=4.b3a参考练习：1、 过椭圆 E：22x2 y2 1 （ab0）上的动点 P向圆 O：x 2+y2=b2引两条切线 PA，PB，切点分别为 a 2 b2A，B，直线AB 与x轴、y轴分别交于 M，N两点。求MON的面积的最小值。2、 设椭圆的中心在原点，长轴在 x轴上，离心率为e3，已知点 P（0，3/2）到这个椭圆上的点的2最远距离为 7 ，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点 P 的距离等于 7 的点的坐标。x 2 2 1y 2 1 ，所求点为 ( 3, 2) )23、P为椭圆 2 y2 1上的一个动点，它与长轴端点不重合， a2，点 F1和 F2分别是双曲线a2 x22 y2 1的左右焦点，= F1PF2, a（1）求 tg 的表达式；（用a及描述 P位置的一个变量来表示）（2）当 a固定时求的最小值 0；（3）当 a在区间 2, 3 上变化时，求0的取值范围。2 a 1y0a 1 2tg(a22 a1)y102y01， 0 a