圆锥曲线十大题型全归纳

1、目录圆锥曲线十大题型全归纳题型一弦的垂直平分线问题2题型二 动弦过定点的问题3题型三过已知曲线上定点的弦的问题4题型四共线向量问题5题型五面积问题7题型六弦或弦长为定值、最值问题10题型七 直线问题14题型八轨迹问题16题型九对称问题19题型十存在性问题21El锥曲线题型全归纳题型一：弦的垂直平分线问题例题1、过点T(-l.O)作直线/与曲线N : y2交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(x.O),使得是等边三角形，若存在，求岀厲：若不存在，请说明理由。题型二：动弦过定点的问题例题2、已知椭圆C： 4 + 4 = 1(6/?0)的离心率为当，且在x轴上的顶点分别为 a If2Ai(2,0)

2、,A2(2,0)o(I) 求椭圆的方程；(II) 若直线l:x = t(t2)与x轴交于点T,点P为直线/上异于点T的任一点，直线PA1.PA2分別与椭圆交于M、N点，试间直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论题型三：过已知曲线上定点的弦的问题例题4、已知点A. B、C是椭圆E： 4 + 4 = 1 (b0)上的三点，其中点A(2/3.0)是 cr lr椭圆的右顶点，宜线BC过椭圆的中心O,且走就=0, |bc| = 2|ac|,如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程：(II)若椭圆E上存在两点P、Q,使得直线PC与直线QC关于直线x = J亍题型四：共线向量问题 1：如图所示，已知圆C

3、:(x + l)2 +y2 = &定点A(1,O),M为圆上一动点，点P在AM 点 N在CM上，且满足而 =2乔，丽罚 =0,点N的轨迹为曲线E.I)求曲线E的方程；II) 若过立点F(0,2)的直线交曲线E于不同的两点G、H(点G在点F、H之间)，且满足FG = AFH t 求兄的取值范围.2：已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在兀轴上,它的一个顶点恰好是抛物线y = -x2的焦点，49 /c离心率为斗（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的右焦点作直线/交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点， 若MA = AF ,=,求证：人+入=一10.题型五：面积问题例题1、已知椭圆C：二+二=1 （ab

4、o）的离心率为卫，短轴一个端点到右焦点的距离 cr lr3为屁（I ）求椭圆c的方程;5）设直线I与椭圆C交于A、B两点，坐标原点。到直线I的距离为牛，求“0B而积 的最大值。2、已知椭圆C:二+二=l(ab0)的离心率为心，短轴一个端点到右焦点的距离为JL( I) cr b3求椭圆C的方程;(H)设直线I与椭圆C交于A、B两点，坐标原点。到直线I的距离为亍, 求厶AOB面积的最大值.3、已知椭圆y + y = l的左、右焦点分别为片，竹.过斤的直线交椭圆于B, D两点，过竹 的直线交椭圆于A, C两点，且AC丄BD，垂足为P. （ I ）设卩点的坐标为（兀，儿），证明： 竝+魚1；32（II

5、）求四边形ABCD的而积的最小值.题型六：弦或弦长为定值、最值问题 1、已知 OF0的而积为2点. g 应(乎-1疋当丨负I(1)设V6/n/6 .求ZOFQ正切值的取值范用:(2)设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q (如图),OF=cjn取得最小值时，求此双曲线的方程。2、已知椭圆y + r = 1的左焦点为F, 0为坐标原点。2（I）求过点O、F,并且与椭圆的左准线/相切的圆的方程；（II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与兀轴交 于点G,求点G横坐标的取值范囤。3、已知点的坐标分别是（0,-1） , （0,1）,直线AM.BM相交于点且它们的斜率

6、之积 为-*.（1）求点21轨迹C的方程；（2）若过点）（2,0）的直线/与（1）中的轨迹C交于不同 的两点E、F （E在、F之间），试求0丘与4 ODF面积之比的取值范围（O为坐标原 点）.4、已知椭圆g：川r 1(/z?0)的右顶点为过g的焦点且垂直长轴的弦长 为.(I) 求椭圆G的方程；(II) 设点P在抛物线G： y = x2+h(heR)上，c?在点p处的切线与G交于点M，N.当线段AP的中点与M/V的中点的横坐标相等时，求力的最小值.题型七：宜线问题例题1、设椭圆C:二+二=1(0)过点且着焦点为(-72,0) a b(I )求椭圆C的方程：(II)当过点P(4,l)的动直线/与椭

7、圆C相交与两不同点AB时，在线段上取点Q,满足|AP|.|eS| = |Ag|.|pg| ,证明：点0总在某怎直线上2设片、化分别是椭圆+ y2 = 1的左、右焦点。4(I) 若P是该椭圆上的一个动点，求瓯戸可的最大值和最小值：(II) 设过泄点M(0,2)的直线/与椭圆交于不同的两点A、B,且ZAOB为锐角(其中O为 坐标原点)，求直线/的斜率斤的取值范用。题型八：轨迹问题一、相关点法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随列一动 点Q(x y)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给立或容易求得，贝IJ可先将X表示 为x,y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P

8、的轨迹方程，代入法也称相关点法。几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足 的条件，然而得出动点的轨迹方程。例1、如图，从双曲线x2-y2=l上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N。求线段QN的中 点P的轨迹方程。v A二. 参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中 间变量（参数），使x.y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得岀动点的轨迹方程。例2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点0的两不同动点A、B 满足AO丄BO （如图4所示）求 AOB的重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；图

9、4三、交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动宜线的交点时常用 此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数 法的一种变种。例3、抛物线=4/xv(/70)的顶点作互相垂直的两弦oa、OB,求抛物线的顶点O在 直线AB上的射影M的轨迹。题型九：对称问题 】、例：若椭圆宁+宁“上存在两点A.B关” 75对称，求，的取值范围2、已知实轴长为2a,虚轴长为2b的双曲线S的焦点在x轴上，直线y =-尽是双曲线S的 一条渐近线，而且原点O,点A (a, 0)和点B (0, -b)使等式OA2 +OB2=-OA2OB2 成立.3(I) 求双曲线S

10、的方程：(II) 若双曲线S上存在两个点关于直线l:y = kx+ 4对称，求实数k的取值范围.题型十：存在性问题1、设椭圆E:亠+二=1 （a,b0）过M （2,、任）,N（/6 J）两点，0为坐标原点， cr y（I）求椭圆E的方程：（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A.B,且丙丄西？若存在，写岀该圆的方程，并求IABI的取值范用，若不存在说明理由。21 2、设為分别是椭圆* +寸=1的左、右焦点.（I）若P是该椭圆上的一个动点，求 两两的最大值和最小值：（II）是否存在过点A （5, 0）的直线1与椭圆交于不同的两 点C、D,使得IF2CI=IF2DI?若存在，求直线1的方程：若不存在，请说明理由.3.椭圆 G：二 + 二二 cr=1(/?0)的两个焦点为Fl、F2,短轴两端点Bl、By已知Fl、氏、Bi、Bi四点共圆，且点N (0, 3)到椭圆上的点最远距离为5、伍.(1)求此时椭圆G的方程：(2)设斜率为k (kiO)的直线m与椭圆G相交于不同的两点E、F, Q为EF的中点，问E、 F两点能否关于过点P (0,斗)、Q的直线对称？若能，求出k的取值范用；若不能，请说明 理由.0 丄C : + = l（t/ b 0）4、