圆锥曲线综合试题全部大题目含答案

1、1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线2x2 2 py外一点 P（x0,y0） 的任一直线与抛物线的两个交点为 C、D，与抛物线切点弦 AB 的交点为 Q 。1）求证：抛物线切点弦的方程为x0x p（ y y0 ） ；2）求证：1 1 2 PC |PD | |PQ |2. 已知定点 F（1，0），动点 P在 y轴上运动，过点 P作 PM交x轴于点 M，并延长 MP到 点 N，且 PM PF 0,| PM | |PN |.（1）动点 N 的轨迹方程；（2）线 l与动点 N的轨迹交于 A，B两点，若 OA OB4,且4 6 | AB| 4 30，求直线

2、l 的斜率 k 的取值范围 .2 2 2 23. 如图，椭圆 C1 : xy1的左右顶点分别为 A、B，P 为双曲线C2 : xy1右支43 43上（ x轴上方）一点，连 AP交C1于C，连 PB并延长交 C1于D，且 ACD与 PCD的面积 相等，求直线 PD 的斜率及直线 CD的倾斜角 .4. 已知点 M（ 2,0）, N（2,0） ，动点 P满足条件 |PM | |PN| 2 2.记动点 P的轨迹为 W.）求 W 的方程；）若 A,B是W上的不同两点， O是坐标原点，求 OA OB的最小值 .225. 已知曲线 C的方程为 :kx2+（4-k）y2=k+1,（k R）（）若曲线 C是椭圆

3、，求 k的取值范围；（）若曲线 C是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60，求此双曲线的方程；（）满足（）的双曲线上是否存在两点P，Q关于直线 l： y=x-1对称，若存在，求出过 P，Q的直线方程；若不存在，说明理由。6. 如图（21）图，M（-2，0）和 N（2，0）是平面上的两点， 动点 P 满足： PM PN 6.（1）求点 P 的轨迹方程；2（2）若 PM PN ,求点 P 的坐标 .1 cos MPN227. 已知F 为椭圆 x2 y2 1（a b 0）的右焦点，直线 l过点 F 且与双曲线 ab的两条渐进线 l1,l2分别交于点 M , N ，与椭圆交于点 A,B.I）若 MON

4、，双曲线的焦距为3II）若 OM MN 0（ O为坐标原点）4。求椭圆方程。FA 1AN ，3求椭圆的离心率e。28. 设曲线 C1 : x2 y2 1（ a 为正常数）与 C2 : y2 2（x m） 在 x轴上方只有一个公共点 P 。 a（）求实数 m的取值范围（用 a 表示）；1（） O 为原点，若 C1与 x轴的负半轴交于点 A，当 0 a 1 时，试求 OAP 的面积的最 2大值（用 a 表示）。1. （1）略（2）为简化运算，设抛物线方程为2（x x0）2 2p（y y0），点 Q，C，D的坐标分别为（x3，y3），（x1，y1），（x2，y2），点 P（0,0） ，直线 y kx

5、，2(x x0)2p(kx y0)22x2 2(x0 pk)x x02 2py0 0一方面。要证1 PC12|PQ|PD|化斜为直后只须证：112x1x2x3由于11x1 x22(x0 pk)x1x2x1x2x 2pk另一方面，由于 P（0,0） 所以切点弦方程为： x0 （x x0） p（y 2y0）所以从而即x1x02 2pkx0 pkx2x31 1 2 PC |PD | |PQ|1x3x0 pk2x02 2pkM( x,0), P(0,x 0),PM ( x, y),(2)设 l 与抛物线交于点 A(x1,y1),B(x2,y2)，当 l 与 x轴垂直时， 则由 OA OB 4,得y1

6、2 2,y2 2 2,| AB| 4 2 4 6， 不合题意，故与 l与 x轴不垂直，可设直线 l的方程为 y=kx+b(k0),则由 OA OB 4,得x1x2 y1y2 46分由点 A， B在抛物线 y2 4x(x 0)上,有y12 4x1, y22 4x2,故y1y28.22又 y2=4x, y=kx+b 得 ky2 4y+4b=0, 8 分2所以 4b 8,b 2k. 16(1 2k2),|AB |2 1 2k k k232) 10分因为 4 6 |AB| 4 30 ,所以96 1 2k k32) 480. 解 得直 线 l 的 斜率的 取值 范围 是11 1, 2 2,1.12 分3

7、. 由题意得 C为 AP中点，设 C(x0,y0), A( 2,0)，P(2x0 2,2y0),解之得：x0 1 33,故C(1, 3),P(4,3),又 B(2,0)y0 2222把 C 点代入椭圆方程、 P 点代入双曲线方程可得 3x0 4y0 12 , 223(2x0 2)2 4y0 12故直线 PD的斜率为 3 0 3 ，直线 PD的方程为4223y 32(x 2),y(x 2)联立 2解得D(1, 3)，故直线 CD 的倾斜角为 90x 2 y 2 1D(1, 2)434. 解法)由 |PM| |PN|= 2 2 知动点 P 的轨迹是以 M,N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长 a 2

8、又半焦距 c=2，故虚半轴长 b c2 a2222所以 W 的方程为 x y 1,x222()设 A，B 的坐标分别为 (x1, y1), (x2,y2)22当 ABx轴时, x1 x2,从而 y1y2,从而OA OB x1x2 y1y2 x12 y12 2.当 AB 与 x 轴不垂直时 , 设直线 AB 的方程为 y kx m,与 W 的方程联立 ,消去 y 得(1 k2)x2 2kmx m2 2 0.故 x1 x2 2km1km2 2x1x2k2 1所以OA OB x1x2 y1y2 x1x222(kx1 m)(kx2 m) (1 k )x1x2 km(x1 x2) m2 2 2 2(1

9、k2)(m2 2) 2k2m222k2 1 1 k2m222k2 2 42 2 2k2 1k2 1又因为 x1x2 0,所以 k2 1 0,从而 OA OB 2.综上,当AB x轴时, OA OB取得最小值 2.解法二 :()同解法)设 A，B 的坐标分别为，则 (x1, y1) , (x2, y2),则xi2 yi2 (xi yi )(xi yi ) 2(i 1,2).令 si xi yi,ti xi yi,则siti 2,且si 0,ti 0(i 1,2) 所以OA OB x1x2 y1y2 41(s1 t1)(s2 t2) 14(s1 t1)(s2 t2)112s1s2 2t1t2 s1

10、s2t1t2 2,当且仅当 s1s2 t1t2 ,即 x1 x2, 时” ”成立 . y1y2所以OA OB 的最小值是 2.5. (1)2xk1kk14k k1当 k=0或 k=-1或 k=4时， C表示直线； y2y1 , 为椭圆的充要条件是k14k当 k0且 k-1且k4时方程为 k 1 k 1 k 1:0 且0,k 4 k k即是 0k2或 2k0，存在满足条件的 P、 Q，直线 PQ的方程为 6. (1)由椭圆的定义，点 P的轨迹是以 M、N 为焦点， 因此半焦距 c=2，长半轴 a=3，从而短半轴b= a2 c2 5 ，221.5所以椭圆的方程为 x y9(2)由 PM PN 1

11、cosMPN ,得PM PN cosMPN PM PN 2. 因为 cosMPN 1,P不为椭圆长轴顶点，故 P、M、 N构成三角形 .在 PMN 中，MN 4,由余弦定理有MN 2 PM 2 PN 2 2 PM PN cosMPN . 将代入，得42 PM 2 PN 2 2( PM PN 2).2 故点 P 在以 M、N 为焦点，实轴长为 2 3 的双曲线 x y2 1 上.322由(1)知，点 P 的坐标又满足 x y1，所以95即 P 点坐标为332，M ,N 是直线 l 与双曲线两条渐近线的交点，5分225x2 9y2 45,由方程组 2 222x2 3y2 3.7. 解：（ I） M

12、ON ，3b3tana 6 3双曲线的焦距为 4，22解得， a 3,b 1（ II）解：设椭圆的焦距为OM ON 0 ，直线 l1 的斜率为 ba即 a3b 2 分22a2 b2 4 4 分2x2椭圆方程为 y 2 132c ，则点 F 的坐标为 （c,0）l l1a直线 l 的斜率为 ，b直线 l 的方程为ay b(x c)7分ay (x a)bbyxa解得2axc ab yc即点 N(a ,ab)cc设 A(x, y),由FA 1AN ，3得 x c,y 13(acx,acb y)cx c 1(a2 x)x c ( x)3c1 aby(3cy)3c2 a2x4cab y4c223c a

13、abA( , )4c 4c10 分。点 A 在椭圆上，2 a1 16a 2c2 16c2 1(3c2 a2 )2212 分(3c2 a2)2 a4 16a2c2 ， (3e2 1)2 1 16e29e4 10e2 2 0 e2 5 79e573椭圆的离心率是 e 5 7 。8. （）由2x22 y2 1 2a2x2y2 2(x m)222a2x (2m 1)a2 0 ，设 f (x) x2222a2x (2m 1)a2 ，则问题（）转化为方程在区间 （ a, a）上有唯一解：若a2 12 2若0 m，此时 xP a2 ，当且仅当 a a2 a ，即 0 a 1适合；若f (a)f ( a) 0 ，则 a m a ；f （ a） 0 m a ，此时 xP a 2a2 ，当且仅当 a a 2a2 a，即 0 a 1 时适合；若 f (a) 0 m a，此时 xPa 2a2，但 a 2a2 a ，从而 m a。a2 1 综上所述，当 0 a 1时， m 或 a m a；当 a 1时， a m a 。211（） OAP 的面积是 S ayP 。因为 0 a ，所以有两种情形：2 P 2当 a m a时， 0 a2 a a2 2m 1 a ，由唯一性得 xP a